212 解一元二次方程

1、21.2解一元二次方程21.2.1配方法第1课时直接开平方法知识要点基础练知识点1用直接开平方法解一元二次方程1.用直接开方法解下列二次方程,其中无解的是(C)A.x2-1=0B.x2=0C.x2+4=0D.-x2+3=02.方程x2=32的解是(C)A.x=3B.x=-3C.x=±3D.x=±33.一元二次方程(x+2019)2-1=0的解是(A)A.x=-2019或x=-2019B.x=-2019C.x=-2019D.x=-20194.用直接开平方法解下列方程.(1)9x2=25;解:方程开方得3x=5或3x=-5,解得x1=53,x2=-53.(2)2x2-98=0;

2、解:方程变形得x2=49,开方得x1=7,x2=-7.(3)3(x-1)2=2.7.解:方程变形得(x-1)2=0.9,开方得x-1=±31010,解得x1=1+31010,x2=1-31010.知识点2变形后用直接开平方法解一元二次方程5.方程4x2-12x+9=0的解是(C)A.x=0B.x=1C.x=32D.无法确定6.若(x2+y2)2-6(x2+y2)+9=16,则x2+y2=7. 7.用直接开平方法解下列方程.(1)16x2-8x+1=2;解:16x2-8x+1=2,则(4x-1)2=2,所以4x-1=±2,即x1=1+24,x2=1-24.(2)(2

3、y-1)2=(3y+4)2.解:由已知得2y-1=±(3y+4),所以2y-1=3y+4,或2y-1=-3y-4,即y1=-5,y2=-35.【变式拓展】已知方程(x-1)2=m-1有实数解,则化简(m-1)2=m-1. 综合能力提升练8.若关于x的方程(x+5)2=m-2有两个不相等的实数根,则m的取值范围是(C)A.m>0B.m2C.m>2D.m29.如图,是一个简单的数值运算程序,则输入x的值为(B)输入x(x-1)2×(-3)输出-27A.3或-3B.4或-2C.1或3D.2710.若(x2+y2-3)2=25,则x2+y2的值为(A)A.8B

4、.8或-2C.-2D.511.若关于x的方程a(x+m)2+n=0(a,m,n均为常数,m0)的解是x1=-2,x2=3,则方程a(x+m-5)2+n=0的解是(D)A.x1=-2,x2=3B.x1=-7,x2=-2C.x1=3,x2=-2D.x1=3,x2=812.若对于任意实数a,b,c,d,定义abcd=ad-bc.按照定义,若x+1xx-12x-3=0,则x的值为(D)A.3B.-3C.3D.±3【变式拓展】在实数范围内定义运算“”,其规则为ab=a2+b2,则方程(21)x=29的解为x=±2. 13.给出一种运算:对于函数y=xn,规定y'=n

5、xn-1.例如:若函数y=x4,则有y'=4x3.已知函数y=x3,则方程y'=12的解是(B)A.x1=4,x2=-4B.x1=2,x2=-2C.x1=x2=0D.x1=23,x2=-214.(1)方程(x-1)2=5的非负数解是x= 5+1; (2)方程(x+22-5)2=8的整数解是x=5. 15.若一元二次方程ax2=b(ab>0)的两个根是3m+1与m-9,则ba=49. 16.已知n是不等式3n+22n-2的最小整数解,试求关于x的方程x2+4n=0的解.解:解不等式得n-4,则n=-4,方程可化为x2-16=0,移项得

6、x2=16,解得x=±4.17.已知一元二次方程(x-3)2=1的两个解恰好分别是等腰ABC的底边长和腰长,求ABC的周长.解:(x-3)2=1,x-3=±1,解得x1=4,x2=2.一元二次方程(x-3)2=1的两个解恰好分别是等腰ABC的底边长和腰长,当底边长和腰长分别为4和2时,4=2+2,此时不能构成三角形;当底边长和腰长分别是2和4时,ABC的周长为2+4+4=10.拓展探究突破练18.定义x表示不超过实数x的最大整数,如1.8=1,-1.4=-2,-3=-3.函数y=x的图象如图所示,则方程x=12x2的解为(A)A.0或2或2B.0或2C.1或-2D.2或-2

7、第2课时配方法知识要点基础练知识点1用配方法解二次项系数为1的一元二次方程1.把x2-7x=31配方,需在方程的两边都加上(D)A.7B.49C.4.9D.4942.填空:(1)x2-2x+1=(x-1)2; (2)x2+6x+9=(x+3)2; (3)x2-5x+ 254=x- 52 2. 3.解方程:x2-8x=5.解:x2-8x=5,(x-4)2=5+16,即(x-4)2=21.x-4=±21,x1=21+4,x2=-21+4.知识点2用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程4.用配方法解方程2x2-8x-1=0,则方

8、程可变形为(D)A.(x-2)2=12B.2(x-1)2=12C.(2x-1)2=1D.(x-2)2=92【变式拓展】把方程2x2-3x+1=0化为(x+a)2=b的形式,正确的结果为(C)A.x-322=16B.2x-342=116C.x-342=116D.以上都不对5.把方程2x2-4x-1=0化为(x+m)2=n的形式,则m,n的值是(B)A.m=2,n=32B.m=-1,n=32C.m=1,n=4D.m=n=26.用配方法解下列方程.(1)2x2-7x-3=0;解:2x2-7x-3=0,x2-72x=32,x2-72x+4916=32+4916,x-742=7316,x-74=

9、7;734,x1=7+734,x2=7-734.(2)4x2-6x-4=0.解:4x2-6x-4=0,x2-32x=1,x2-32x+-342=1+-342,x-342=2516,x-34=±54,解得x1=2,x2=-12.综合能力提升练7.若一元二次方程x2+bx+5=0配方后为(x-3)2=k,则b,k的值分别为(D)A.0,4B.0,5C.-6,5D.-6,48.已知方程x2-6x+q=0可以配方成(x-p)2=7的形式,那么x2-6x+q=2可以配方成下列的(B)A.(x-p)2=6B.(x-p)2=9C.(x-p+2)2=5D.(x-p+2)2=89.设a,b是两个整数,

10、若定义一种运算“”,ab=a2+b2+ab,则方程(x+2)x=1的实数根是(C)A.x1=x2=1B.x1=0,x2=1C.x1=x2=-1D.x1=1,x2=-210.已知P=m2-2m,Q=2m-4,则P,Q的大小关系为(A)A.PQB.P>QC.PQD.P<Q11.小刚用配方法解2x2-bx+a=0得x-32=±152,则b的值为(C)A.-6B.-3C.6D.312.若一元二次方程x2-2x-3599=0的两根为a,b,且a>b,则2a-b的值为(D)A.-57B.63C.179D.18113.已知方程x2+6x+n=0可以配方成(x-m)2=7,则(m+

11、n)2019=1. 14.若方程25x2-(m-1)x+1=0的左边可以写成一个完全平方式,则m的值为-9或11. 15.若方程x2-8x+1=0能配方成(x-p)2+q=0的形式,则直线y=px+q不经过的象限是第二象限. 16.用配方法解下列方程.(1)14x2-3x+3=0;解:14x2-3x+3=0,x2-12x+12=0,即(x-6)2=24,x1=6+26,x2=6-26.(2)3x2+8x-3=0.解:3x2+8x-3=0,x2+8x3=1,x+432=1+169,即x+432=259.x+43=±53,x1=13,x2=-3.17.当x为

12、何值时,代数式5x2+7x+1和代数式x2-9x+15的值相等?解:使这两个代数式相等,即5x2+7x+1=x2-9x+15,4x2+16x=14.x2+4x=72,x2+4x+4=152,(x+2)2=152,x+2=±302,x1=-2+302,x2=-2-302.18.用两根长度均为a的铁丝分别围成的一个长方形和一个正方形,设长方形长为x.(1)若长方形的长宽比为32,求长方形的面积;(2)求证:长方形的面积不大于正方形的面积.解:(1)长方形长为x,则宽为12×(a-2x),由题意得,x12×(a-2x)=32,解得x=310a,则12×(a-2

13、x)=15a,长方形的面积为310a×15a=350a2.(2)长方形的面积为x×12×(a-2x)=-x2+12ax=-x-a42+a216,长方形的面积的最大值是a216,又正方形的面积为a42=a216,长方形的面积不大于正方形的面积.拓展探究突破练19.学完配方法解方程后,合肥育英中学的数学老师讲了这样一道题.已知x2-2x+y2+4y+5=0,求x,y.则有(x2-2x+1)+(y2+4y+4)=0,(x-1)2+(y+2)2=0.解得x=1,y=-2.根据老师的方法解下列各题:(1)已知x2-4x+y2+6y+13=0.求(x+y)2019的值;(2)

14、若a,b,c表示ABC的三边,且a2+b2+c2-ac-ab-bc=0,试判断ABC的形状,并说明理由.解:(1)x2-4x+y2+6y+13=0,(x-2)2+(y+3)2=0,x=2,y=-3,(x+y)2019=(2-3)2019=1.(2)ABC为等边三角形.理由如下:a2+b2+c2-ac-ab-bc=0,2a2+2b2+2c2-2ac-2ab-2bc=0,即a2+b2-2ab+b2+c2-2bc+a2+c2-2ac=0,(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,a-b=0,b-c=0,c-a=0,a=b=c,ABC为等边三角形.21.2.2公式法知识要点基础练知识点1一元二次方

15、程根的判别式1.下列的一元二次方程有实数根的是(B)A.3x2-2x+1=0B.x2-1=-3xC.x2-3x+5=0D.(x-3)2+2=02.一元二次方程2x2-4x+1=0的根的情况是(B)A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根3.不解方程,判断方程根的情况.(1)2y2+5y+6=0;解:2y2+5y+6=0,=b2-4ac=52-4×2×6=25-48=-23<0,方程2y2+5y+6=0没有实数根.(2)2x2=3x+1;解:由已知得2x2-3x-1=0,=b2-4ac=(-3)2-4×2×(-1

16、)=17>0,方程2x2=3x+1有两个不相等的实数根.(3)4y(4y-6)+9=0.解:由已知得16y2-24y+9=0,=b2-4ac=(-24)2-4×16×9=576-576=0,方程4y(4y-6)+9=0有两个相等的实数根.知识点2用公式法解一元二次方程4.用公式法解一元二次方程3x2-2x+3=0时,首先要确定a,b,c的值,下列叙述正确的是(D)A.a=3,b=2,c=3B.a=-3,b=2,c=3C.a=3,b=2,c=-3D.a=3,b=-2,c=35.方程x2-x-1=0的根是(B)A.x1=-1+52,x2=-1-52B.x1=1+52,x2

17、=1-52C.x1=1+32,x2=1-32D.没有实数根6.用公式法解下列方程,请完成解题过程:(1)2x2-7x-4=0;解:a=2,b=-7,c=-4, b2-4ac=81>0, x=-b±b2-4ac2a=7±814=7±94,x1=4,x2=-12. (2)(x-2)2=x-3.解:整理,得x2-5x+7=0, a=1,b=-5,c=7, b2-4ac=-3<0, 方程没有(无)实数根. 综合能力提升练7.已知a是一元二次方程x2-3x-5=0的较小的根,则下面对a的估计正

18、确的是(A)A.-2<a<-1B.2<a<3C.-3<a<-4D.4<a<58.若关于x的一元二次方程3x2-2x-a=0的一个根为1,则另一个根为(C)A.-2B.1C.-13D.729.已知a,b,c分别为RtABC(C=90°)的三边的长,则关于x的一元二次方程(c+a)x2+2bx+(c-a)=0根的情况是(C)A.方程无实数根B.方程有两个不相等的实数根C.方程有两个相等的实数根D.无法判断10.若关于x的一元二次方程kx2-4x+3=0有实数根,则k的非负整数值是(A)A.1B.0,1C.1,2D.1,2,311.(通辽中考

19、)若关于x的一元二次方程x2-2x-k+1=0有两个不相等的实数根,则一次函数y=kx-k的大致图象是(B)12.已知y=x2-4x,当x=2+11或2-11时,y=7. 13.安徽太湖中学的小明设计了一个魔术盒,当任意实数对(x,y)进入其中,会得到一个新的实数x2-2y+4,若将实数对(a,-2a)放入其中,得到一个新数为6,则a=-2±6. 14.已知等腰三角形的一腰为x,周长为20,则方程x2-12x+31=0的根为6+5. 15.用公式法解下列方程.(1)8x2-42x+1=0;解:这里a=8,b=-42,c=1.=32-32=0,x=4216

20、=24,即x1=x2=24.(2)4t2+4t=-2;解:方程整理得2t2+2t+1=0,这里a=2,b=2,c=1.=4-8=-4<0,此方程无解.(3)(y-2)(3y-5)=1.解:方程整理得3y2-11y+9=0,这里a=3,b=-11,c=9.=121-108=13,x=11±136,即x1=11+136,x2=11-136.16.已知关于x的一元二次方程(m-1)x2-2mx+m+1=0(m1).(1)求证:方程有两个不相等的实数根;(2)m为何整数时,此方程的两个根都为正整数.解:(1)=b2-4ac=(-2m)2-4(m-1)(m+1)=4>0,方程有两个

21、不相等的实数根.(2)由求根公式,得x=2m±22(m-1),x1=2m+22(m-1)=m+1m-1,x2=2m-22(m-1)=1.m为整数,且方程的两个根均为正整数,x1=m+1m-1=1+2m-1,且x1必为正整数,m-1=1或2,m=2或m=3.拓展探究突破练17.(巴中中考)定义新运算:对于任意实数m,n都有mn=m2n+n,等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算.例如:-32=(-3)2×2+2=20.根据以上知识解决问题:若2a的值小于0,请判断方程:2x2-bx+a=0的根的情况.解:2a的值小于0,22a+a=5a<0,解得a<0.在方程

22、2x2-bx+a=0中,=(-b)2-8a-8a>0,方程2x2-bx+a=0有两个不相等的实数根.18.根据如图所示的程序计算.(1)选取一个你喜欢的x的值,输入计算,试求输出的y值是多少?(2)是否存在这样的x的值,输入计算后始终在内循环计算而输不出y的值?如果存在,请求出x的值;如果不存在,请说明理由.解:(1)x=1,则x2×2-4=-2<0,再输入则x2×2-4=4.(2)当y=x,且y<0时,输入x计算后始终输不出y的值.此时x=2x2-4,2x2-x-4=0,x=-(-1)±(-1)2-4×2×(-4)2

23、5;2=1±334.1+334>0,1-334<0,x=1-334为所求的x的值,输入计算后始终输不出y的值.21.2.3因式分解法知识要点基础练知识点1用因式分解法解一元二次方程1.一元二次方程x2-3x=0的根是(D)A.x1=0,x2=-3B.x1=2,x2=3C.x1=1,x2=-1D.x1=0,x2=3【变式拓展】方程x(x-3)=5(x-3)的解的情况是(C)A.x=3B.x=5C.x1=3,x2=5D.无解2.若多项式x2+x-6可以分解为(x+3)(x-2),则方程x2+x-6=0的根是(C)A.x=-3B.x=2C.x=-3或x=2D.无法确定3.用因式

24、分解法解下列方程.(1)x2-2x-3=0;解:分解因式得(x-3)(x+1)=0,x-3=0,x+1=0,x1=3,x2=-1.(2)(x-1)2+2x(x-1)=0.解:分解因式得(x-1)(x-1+2x)=0,x-1=0,x-1+2x=0,x1=1,x2=13.知识点2一元二次方程解法的选择4.方程(x+2)2=9的适当的解法是(A)A.直接开平方法B.配方法C.公式法D.因式分解法5.解一元二次方程(y+2)2-2(y+2)-3=0时,最简单的方法是(B)A.直接开平方法B.因式分解法C.配方法D.公式法6. 用适当的方法解方程.(1)x2+x-12=0;解:分解因式得(x-3)(x+

25、4)=0,可得x-3=0或x+4=0,解得x1=3,x2=-4.(2)2x(x-3)-1=0;解:由原方程,得2x2-6x-1=0,则a=2,b=-6,c=-1,所以=b2-4ac=(-6)2-4×2×(-1)=44,所以x=6±2114=3±112,解得x1=3+112,x2=3-112.(3)2(2t+3)2=3(2t+3);解:原方程化为(2t+3)2(2t+3)-3=0,解得t1=-32,t2=-34.(4)(x+4)2-(2x-1)2=0.解:分解因式得(x+4+2x-1)(x+4-2x+1)=0,即(3x+3)(-x+5)=0,解得x1=-1

26、,x2=5.综合能力提升练7.解下列方程:3x2-27=0;3x2-7x-1=0;2x2-5x+2=0;2(3x-1)2=3x-1.较简便的方法是(D)A.依次为:直接开平方法,配方法,公式法,因式分解法B.依次为:因式分解法,公式法,配方法,直接开平方法C.用直接开平方法,用公式法,用因式分解法D.用直接开平方法,用公式法,用因式分解法8.若代数式3x2-2x+1与-x2+5x-3的值互为相反数,则x的值为(C)A.-12或-2B.12或2C.-2或12D.-12或29.已知(2x+1)2-(2x+1)-12=0,则x的值为(A)A.-2或32B.2或-1C.3或-2D.-110.已知x2-

27、5xy+6y2=0,则xy等于(B)A.13或12B.2或3C.16或1D.6或111.在正数范围内定义运算“”,其规则为ab=a+b2,则方程x(x+1)=5的解是(B)A.x=5B.x=1C.x1=1,x2=-4D.x1=-1,x2=412.已知三角形两边的长是2和5,第三边的长是方程x2-7x+12=0的根,则该三角形的周长为(A)A.11B.10C.11或10D.以上都不对13.对于实数a,b,先定义一种新运算“”如下:ab=a2b+a(ab),ab2+b(a<b),若2n=36,则实数n等于(B)A.-4.5B.4C.4或-4.5D.4或-4.5或8.514.若实数a,b满足(

28、4a+4b)(4a+4b-2)-8=0,则a+b=-12或1. 15.已知一组数据a,4,2,5,3的中位数为b,且a是方程x2-7x+10=0的根,则b的值是3或4. 16.已知3是关于x的方程x2-(m+1)x+2m=0的一个实数根,并且这个方程的两个实数根恰好是等腰ABC的两条边的边长,则ABC的周长为10或11. 17.按要求解下列方程.(1)25x2+10x+1=10(公式法);解:由原方程,得25x2+10x-9=0,则a=25,b=10,c=-9,所以=b2-4ac=100+900=1000,所以x=-10±101050=-1±1

29、05,解得x1=-1+105,x2=-1-105.(2)7x2-23x+6=0(配方法);解:方程变形得x2-237x=-67,配方,得x2-237x+23142=361196,即x-23142=361196,开方得x-2314=±1914,解得x1=3,x2=27.(3)(y+2)2=(3y-1)2(因式分解法);解:(y+2+3y-1)(y+2-3y+1)=0,(4y+1)(3-2y)=0,所以y1=-14,y2=32.(4)x2-4x-396=0(适当的方法).解:由原方程移项,得x2-4x=396,配方,得x2-4x+4=400,所以(x-2)2=400,所以x=2±

30、;20,所以x1=22,x2=-18.拓展探究突破练18.阅读下面的例题:解方程:x2-|x|-2=0.解:(1)当x0时,原方程化为x2-x-2=0,解得x1=2,x2=-1(不合题意,舍去).(2)当x<0时,原方程化为x2+x-2=0,解得x1=1(不合题意,舍去),x2=-2,原方程的根是x1=2,x2=-2.请参照例题解方程x2-|x-3|-3=0,求此方程的根.解:当x3时,原方程化为x2-(x-3)-3=0,即x2-x=0,解得x1=0(不合题意,舍去),x2=1(不合题意,舍去).当x<3时,原方程化为x2+x-3-3=0,即x2+x-6=0,解得x1=-3,x2=

31、2.所以原方程的根是x1=-3,x2=2.*21.2.4一元二次方程的根与系数的关系知识要点基础练知识点1利用根与系数的关系求字母的值1.若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为1,则另一个根为(A)A.-4B.2C.4D.-3【变式拓展】若关于x的一元二次方程(a+1)x2+x+a2-1=0的一个根是0,则这个方程的另一个根是(B)A.12B.-12C.1D.-12.若关于x的一元二次方程x2-x-a+3=0的两根x1,x2满足(x1-1)(x2-1)=-2,则a的值为(C)A.4B.-3C.5D.-23.已知关于x的方程x2+kx-2=0.(1)求证:方程有两个不相等的实数根;解:=k2

32、-4×1×(-2)=k2+8>0,方程有两个不相等的实数根.(2)若方程的一个根是-1,求另一个根及k值.解:将x=-1代入原方程,得1-k-2=0,k=-1.设方程的另一个根为x1,根据题意得-1·x1=-2,x1=2.方程的另一个根为2,k值为-1.知识点2利用根与系数的关系求代数式的值4.设x1,x2是方程x2+5x-3=0的两个根,则x12+x22的值是(C)A.19B.25C.31D.305.已知x1,x2是方程x2=2x+1的两个根,则1x1+1x2的值为(D)A.-12B.2C.12D.-26.设x1,x2是方程2x2+4x-3=0的两个根,利

33、用根与系数关系,求下列各式的值.(1)(x1-x2)2;(2)x1+1x2x2+1x1.解:根据根与系数的关系可得x1+x2=-2,x1·x2=-32.(1)(x1-x2)2=x12+x22-2x1x2=x12+x22+2x1x2-4x1x2=(x1+x2)2-4x1x2=(-2)2-4×-32=10.(2)x1+1x2x2+1x1=x1x2+1+1+1x1x2=-32+2+1-32=-16.综合能力提升练7.如果,是一元二次方程x2+3x-1=0的两根,则2+2-的值是(C)A.6B.5C.4D.38.一元二次方程x2+kx-3=0中,若k>0,则这个方程根的情况是

34、(D)A.有两个正根B.有一正根一负根且正根的绝对值大C.有两个负根D.有一正根一负根且负根的绝对值大9.关于x的一元二次方程x2+(a2-2a)x+a-1=0的两个实数根互为相反数,则a的值为(B)A.2B.0C.1D.2或010.设a,b是方程x2-8x+4=0的两个根,则a+b的值为(C)A.18B.6C.23D.±3211.已知a2+3a-1=0,b2+3b-1=0且ab,则ab+a+b的值为(B)A.4B.-4C.-2D.212.设a,b是方程x2+x-2019=0的两个不等的根,则a2+2a+b=2019. 13.已知x1,x2是关于x的方程x2+ax-2b=0

35、的两实数根,且x1+x2=-2,x1·x2=1,则ba的值是 14. 14.定义运算:a*b=a(1-b).若a,b是方程x2-x+14m=0(m<0)的两根,则b*b-a*a的值为0. 15.ABC的一边长为5,另两边分别是方程x2-6x+m=0的两根,则m的取值范围是 114<m9. 16.(南充中考)已知关于x的一元二次方程x2-6x+(2m+1)=0有实数根.(1)求m的取值范围;(2)如果方程的两个实数根为x1,x2,且2x1x2+x1+x220,求m的取值范围.解:(1)根据题意,得=(-6)2-4(2m+1)0,解得m4.(2)根