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文档简介

1、§6.2 不定积分的计算一 “凑”微分法有一些不定积分，将积分变量进行一定的变换后就能有基本的积分公式求出所需的积分。例：求。例：求。例：求。注：为了求积分，把它凑成如下的形式，作代换，于是有，如果这个积分可在基本积分公式中查到为，再代回原来的变量，就求得积分。二 换元积分法定理1 （换元积分法） 设连续，及皆为连续，的反函数存在且连续，并且，则。注：在换元积分法中是将被积函数的某一部分视为一个整体看作一个新的积分变量。例：求 。例：求 。例：求 。使用换元积分法的关键：在于把被积表达式凑成形式，从而作变换，化积分为：。但要注意的是最后要换回原积分变量。例：求 。三 分部积分法定理2

2、（分部积分法） 若与可导，不定积分存在，则不定积分也存在，且，即。例：求 。例：求 。例：求和.四 有理函数积分法定义：设和是两个多项式，凡形如的函数称为有理函数。重要结论：任何一个有理函数必定可以表示为若干个形如（称为简单分式）：（1） ； （2） ；（3）； （4）。的简单分式之和，其中A，B，为常数，为正整数。因此，对有理函数的积分只要讨论上述四种形式的积分即可。（1） 。（2） ， 。（3） ，令，并记，则。（4） 同（3）可得 ，。 记 ，则 =，于是，有递推公式。将这些结果代回，即可求得所求积分。例：求。例：求。五 其他类型的积分举例 1、形如 的积分只要令就可有理化。例： 求 。例：求 。2、形如的积分把积分分成两项右边的积分即可求出，第二个积分配成完全平方，使成为。例：求。3、形如的积分把积分分成两项右边的积分即可求出，第二个积分配成完全平方，使成为或的积分。例：求4、 形如的积分 对于三角有理式的不定积分，一般通过变换（万能变换），可把它化为有理函数的积分：； ；故 。例：求 。注意：上述变换对三角有理式的不定积分总是有效的，但并不一定是最好的变换，在实际计算中要注意选择不同的变换。例：求 。注意：初等函数的原函数不一定

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