固体物理(2011)第1章晶体结构2倒格子

1、 ninxkekx 212:caseour llRrr 332211alalalRl量子力学如何描述一个自由粒子？2311232aabaaa1231232aabaaa3121232aabaaa根据原胞基矢定义三个新的矢量根据原胞基矢定义三个新的矢量 倒格子基矢量倒格子基矢量以以 为基矢构成一个倒格子为基矢构成一个倒格子321,bbb 倒倒Bravais格子格子倒格子基矢的性质倒格子基矢的性质2()20()ijijija bij3, 2, 1,ji 倒格子空间是正格子的倒易空间倒格子空间是正格子的倒易空间 332211321321bhbhbhKGhhhhhh 晶格具有周期性，一些物理量具有周期性

2、晶格具有周期性，一些物理量具有周期性势能函数势能函数1 12233( )()AAVxVxl al al a势能函数是以势能函数是以321,aaa为周期的三维周期函数为周期的三维周期函数由倒格子基矢由倒格子基矢231123312123123123222aabaaaaabaaaaabaaa)(0)(22jijibaijji332211aaax得到得到 11/2bx22/2bx33/2bx 321332211321,)(2,)(hhhhhhihhheVxV 代入代入原胞里任一点原胞里任一点傅里叶级数傅里叶级数332211aaax 宗宗 量量)()(332211alalalxVxV晶格周期性函数晶格周

3、期性函数 321332211321,)(2,)(hhhhhhihhheVxV 321,hhh为整数为整数)()(2310210110,332211321xVedddVhhhihhh 321, 积分在一个原胞中进行积分在一个原胞中进行例子？例子？321332211321,)(,)(hhhxbhbhbhihhheVxV得到得到1 2 3123,1231( )h h hiGxh hhVdxeV xa aa1 2 3123123,( )n n niGxh hhh hhV xVe332211321321bhbhbhKGhhhhhh )()()()2(21133233aaaaaa 倒格子与正格子间的关系倒

4、格子与正格子间的关系 1) 正格子原胞体积反比于倒格子原胞体积正格子原胞体积反比于倒格子原胞体积 )(*321bbb1a31213112()()aaaaaaa a CBABCACBA)()( 13223)()2(*aaa3(2 )* 3112AaaBaCa2）正格子中一簇晶面正格子中一簇晶面 和和 正交正交 )(321hhh321hhhKijjiba2332211321bhbhbhKhhh 1133/CAahah2233/CBahah 可以证明可以证明1 2 30h h hGCA1 2 30h h hGCB 321hhhG与晶面族正交与晶面族正交晶面方程晶面方程3）倒格子矢量倒格子矢量 为晶面

5、为晶面 的法线方向的法线方向321hhhK)(321hhhnxbhbhbh 2)(332211 各晶面到原点的距离各晶面到原点的距离3322112bhbhbhn面间距面间距1 1223 32dhbh bh b1 2 32/h h hdGijjiba24) 倒格子的倒格子的 “倒格子倒格子” 是什么？是什么？?),(),(),(321321321 cccbbbaaa 由倒格子定义由倒格子定义3213212aaaaab3211322aaaaab3212132aaaaab体心立方格子原胞基矢体心立方格子原胞基矢)(2),(2),(2321kjiaakjiaakjiaa倒格子基矢倒格子基矢)(2)(2

6、22321321kjiakjiaaaaaab)()(422kjikjia)(2kja同理同理)(22321132kiaaaaaab)(22321213jiaaaaaab可见由可见由 为基矢构成的格子为面心立方格子为基矢构成的格子为面心立方格子 321,bbb1.6 如果基矢如果基矢 构成简单正交系构成简单正交系，证明晶面族证明晶面族 的面间距为：的面间距为：并说明面指数简单的晶面，其面密度比较大，容易解理并说明面指数简单的晶面，其面密度比较大，容易解理c,b,a)(hkl222)()()(1clbkahd 简单正交系简单正交系cbakcaj bai aa321,倒格子基矢倒格子基矢321321

7、2aaaaab3211322aaaaab3212132aaaaabkcbjbbiab2,2,2321倒格子矢量倒格子矢量321b lbkbhK kcljbkiahK 222 晶面族晶面族 的面间距的面间距)(hklKd 2 222)()()(1clbkah 面指数越简单的晶面，其晶面的间距越大，晶面上格面指数越简单的晶面，其晶面的间距越大，晶面上格点的密度越大，这样的晶面越容易解理点的密度越大，这样的晶面越容易解理倒格子基矢倒格子基矢二维倒格子基矢二维倒格子基矢 布里渊区布里渊区, 特别是第一布里渊区（特别是第一布里渊区（1st BZ） 在倒格子空间把在倒格子空间把原点和原点和所有倒格矢所有倒

8、格矢中中点的垂直平分面画出，点的垂直平分面画出，倒格子空间分割为许倒格子空间分割为许多区域多区域几种晶格的布里渊区几种晶格的布里渊区 1) 简单立方格子简单立方格子 第一布里渊区为原点和第一布里渊区为原点和6个近邻格点的垂直平分面围个近邻格点的垂直平分面围成的立方体成的立方体kaaj aai aa321,kabjabiab2,2,2321倒格子基矢倒格子基矢正格子基矢正格子基矢 简单立方格子简单立方格子 第一布里渊区第一布里渊区2) 体心立方格子体心立方格子 正格子基矢正格子基矢123(),(),()222aaaaijkaijkaijk )(21kjab)(22kiab)(23jiab 倒格子

9、基矢倒格子基矢a4 边长边长 的面心立方格子的面心立方格子 第一布里渊区为原点和第一布里渊区为原点和12个近邻格点连线的垂直平分个近邻格点连线的垂直平分面围成的正十二面体面围成的正十二面体 第一布里渊区第一布里渊区原点和原点和12个近邻格点连线的垂直平分面围成的正十二面体个近邻格点连线的垂直平分面围成的正十二面体(菱菱形十二面体形十二面体)3) 面心立方格子面心立方格子123(),(),()222aaaajkakiaij)(21kjiab)(22kjiab)(23kjiab 正格子基矢正格子基矢 倒格子基矢倒格子基矢a4 边长边长 的体心立方格子的体心立方格子 第一布里渊区为原点和第一布里渊区为原点和8个近个近邻格点连线的垂直平分面围成的正邻格点连线的垂直平分面围成的正八面体，和沿立方轴的八面体，和沿立方轴的6个次近邻个次近邻格点连线的垂直平分面割去八面体格点连线的垂直平分面割去八面体的六个角，形成的的六个角，形成的14面体面体 第一布里渊区第一布里渊区