(整理)极坐标---摆线.

1、精品文档設滾動圓的半徑為a，固定圓的半徑為ka，其中k 是比 1 大的一個固定數。又設固定圓的圓心是原點O，而滾動圓上的定點在出發時的位置是A(ka,0)。設滾動圓到達某個位置時，其圓心為J、與固定圓的切點為I，而滾動圓上的定點移動到P(x,y)。設以為始邊、為終邊的有向角為t 弧度，我們以t 為參數(見圖九)。圖九因為弧 IP 與弧 IA 的長度相等，所以， 有向角是 kt 弧度。 過 P 與 J 分別作水平直線與鉛垂直線，則可就t 的值所屬的各種範圍分別討論(例如：圖九是的情形)，而得這就是內擺線的參數方程式。若將上述情形中的定點換成與滾動圓的圓心相距為d，且在出發時的坐標為(k-1)a+

2、d,0)，則此定點在滾動過程中，所描繪曲線的參數方程式為其次， 若將圖九中的滾動圓改成與固定圓外切，則仿照上面的處理方法，即可得外擺線的參數方程式為其中 k 表示固定圓與滾動圓的半徑之比，。 同理， 將定點改成與滾動圓圓心的距離為d，且在出發時的坐標為(k+1)a-d,0，則可得外次擺線的參數方程式為上述四組參數方程式可合併成下述形式：其中或 -1 ，而、 且。當，上述參數方程式，依d=a 或分別表示內擺線或內次擺線；當時， 上述參數方程式，依d=a 或分別表示外擺線或外次擺線。在圖二中，設A 點是滾動圓上的定點在出發時的位置。我們選取一個坐標系，使得 A 點為原點而且滾動圓在x 軸上向右滾動

3、。假設動圓滾動到某位置時，圓心為O， O 點至 x 軸的垂足為I， 圓上的定點的位置為P(x,y)， 以 為始邊，為終邊的有向角為t 弧度， P 點至直線OI 的垂足為M。又設滾動圓的半徑為a。因為滾動圓上的定點已由A 點移動到P 點， 而滾動圓與x 軸的切點已由A 點轉移到 I 點， 所以， 滾動圓上的弧PI 滾過線段， 亦即：= 弧 PI 的長 =at。於是，可得上面的表示法就是擺線的參數方程式。請注意：當時，； 當時，。 不過，與兩式卻對所有t 值都成立。我們甚至可讓參數t 代表任意實數，如此， 擺線成為可向兩邊無限延伸的週期曲線。x 坐標每經歷一段長度為的區間，圖形就恢復原狀。擺線與底

4、線相交的點都是尖點(cusp) 。當參數 t 由 0 增至 時，擺線就是圖二中由A 至 C 至 B 的部分，其中，這一部分圖形稱為擺線的一拱(arch) 。同理， t 由 2 至 4 、由 4 至 6 、等所對應的圖形也都是一拱。仿照前面的方法，我們也可求次擺線的參數方程式。假設一定點與滾動圓的圓心的距離為d，底線是x 軸，出發時定點的坐標為(0,a-d)，其中d 是滾動圓的半徑。 當動圓滾到圖二所示的位置時，定點的位置在上且與 O 點的距離為d。由此可知其參數方程式為習題：試根據上面參數方程式，說明長擺線(d>a) 為什麼會與本身相交而形成迴圈(見圖一的下圖)。在圖二中，當圓向前滾動時

5、，P 點描繪出擺線，那麼P 點在直線OI 上的垂足M 點會描繪出什麼圖形呢？1634年， Gilles Persone de Roberval( 1602 1675年， 法國人) 考慮這條曲線，而利用它求出擺線的一拱與其底線間的面積。所以，後世將這條曲線稱為Roberval 曲線。 圖二中的虛線，就是 Roberval 曲線在擺線一拱內的部分，根據前一小節所討論的結果，不難發現Roberval 曲線的方程式為。在圖二中，的中點是，而當時， Roberval 曲線上的點對的對稱點是。因為此對稱點也在 Roberval 曲線上，所以，Robertval 曲線在 A 與 C 間的部分對於點成對稱。

6、（圖二中的M 與 N 就是一對對稱點。）由此可知：在以與 為鄰邊的矩形中，Roberval 曲線將此矩形分成面積相等的兩個區域。更為鄰進一步可得：Roberval 曲線與 AB 所圍區域的面積，等於以 邊的矩形面積的一半，此值等於其次，我們討論擺線與Roberval 曲線間的區域面積。此區域在C 點的左、右兩側的面積顯然相等，所以，我們只須討論此區域左側部分的面積。圖二中以為直徑的半圓，乃是滾動圓在出發時的左半部分，直線PM 被此半圓截出一線段。 因為兩圓大小相等，而直線 PM 與兩圓圓心等距離，所以，=。因為每一條水平直線在兩區域上所截出的線段都等長，所以，依據Bonaventura Cav

7、alieri （ 1598 1647年，義大利人）在1629年所提出的Cavalieri 原理，這兩個區域的面積 相等。因此，擺線與Roberbval 曲線所圍的區域（左、右兩部分）與滾動圓面積相等，此值等於。綜合前兩段的結果，可知擺線的一拱與其底線間的面積，等於滾動圓面積的三倍，亦即：。圖二附帶一提：Cavalieri 所提的原理，中國數學家祖沖之在西元五世紀就已用來計算球體的體積。習題：試仿照本小節的方法，證明次擺線,的一拱與直線y=a-d 所圍區域的面積為： 習題：試使用定積分計算上述所提的面積。若曲線 C 的所有法線都是某一曲線E 的切線，則曲線E 稱為曲線C 的漸屈線 (evolut

8、e) 。要討論曲線C 的漸屈線，自然需要先討論曲線C 的法線，但因法線是切線的垂直線，所以，我們需要先討論曲線C 的切線。擺線的切線如何求呢？我們知道當一動點P 繞一固定點I 旋轉時， P 點的軌跡是一圓弧，此圓弧在P 點的切線就是過P 點而與垂直的直線。當一滾動圓在一直線上作不滑的滾動時，我們沒有一個可做為旋轉中心的固定點，但是，在滾動過程中，滾動圓與底線在每個時刻都有一個切點，這個切點就是該時刻的瞬間旋轉中心。若在某個時刻的瞬間旋轉中心是I ，而圓上某定點在此時刻已移動到 P 點， 則此定點所描繪的擺線在P 點的切線，就是過 P 點而與垂直的直線PJ， 其中 J 是滾動圓過I 的直徑的另一

9、端點，直線 PI 則是此擺線過P點的法線。在直線上選取一點P'，使 I 點成為的中點。若P 點的坐標是 ()， 則因為 I 點的坐標是( as,0)， 所以， P' 點的坐標是 () 。 當 P 點描繪出擺線時，所有對應的P' 點描繪出什麼圖形呢？觀察A 與 P' 的相關位置，不難發現它們的位置關係，與擺線上的C 點與參數是的 Q 點位置關係相同，因為C 的坐標是() ， 而 Q 點的坐標是() 。 換言之， 當 P 點描繪圖三中的擺線弧APC 時，對應的P' 點就會描繪出與擺線CQB 全等的弧AP'A。 事實上，弧 AP'A'

10、乃是將弧CQB 平移而得的(左移單位、 下移 2a 單位) 。 同理， 當 P 點描繪出擺線弧CQB 時， 對應的 P' 點就會描繪出弧A'Q'B，此弧乃是將擺線的下一拱的左半部分作同樣平移而得的。因此， 對整個擺線而言，當 P 點描繪出整個擺線時，對應的P' 點會描繪出一個全等的擺線。若前者的參數方程式是,，則後者的參數方程式為,，後者乃是將前者先向左平移單位，再向下平移 2a 單位而得的。我們將說明後者是前者的漸屈線。因為 P' 點的軌跡是一個全等的擺線，所以它必是當一個半徑為a 的圓在直線y=-2a 上滾動時，由圓周上某定點描繪而成的。因為 P 點

11、與 P' 點對 I 點對稱，所以當兩個滾動圓在I 點相切時，上滾動圓通過P 點而下滾動圓通過P' 點。此時， P' 點的瞬間旋轉中心是直線P'I' 與直線 y=-2a 的交點I'。 於是， 直線 P'I'是第二個擺線在P' 點的法線，直線P'IP 是第二擺線在P' 點的切線。由此可知：原擺線的每條法線PI 都與第二擺線相切。換言之，第二擺線是原擺線的漸屈線。曲線的漸屈線在弧長方面有一個重要性質，這個性質對擺線的討論特別有用，我們先介紹這項性質。此性質的證明只需使用微積分的方法即可。設曲線 E 是曲線 C 的

12、漸屈線，P 與 Q 是曲線 C 上兩點， 曲線 C 過P、 Q 的法線分別與漸屈線E 相切於P'、 Q'， 則在漸屈線E 上， 弧 P'Q' 的長等於與 兩線段長的差。在圖四中，比 小，所以，P'Q' 弧的長等於。這個性質可以作下面的幾何解說：假設有一條線纏繞在漸屈線E 上，現在將一端點拉緊在P 點，此時，在P' 往 Q' 的部分，線仍然纏在漸屈線上，但在P' 往 P 的部分，則已經拉直成線段。接著，將線繼續拉緊解開，纏在P'Q' 弧上的線逐漸被拉成線段，此時，因為有前面所提的性質，所以，在將線拉緊解開的過

13、程中，線的端點必定沿著曲線C 由 P 點移向 Q' 點。以擺線為例，在圖三中的漸屈線弧AP'A' 中，不論P' 點的位置在弧上何處，AP'A' 弧的長度都是等於P'A' 弧的長加上線段的長。 將 P' 趨近A'， 則 P趨近C。因此，擺線弧AP'A' 的長等於線段的長，此值為4a。因為擺線弧 AP'A' 與擺線弧CQB 全等，其長是擺線一拱ACB 的一半， 所以，可知：若滾動圓的半徑為a，則擺線一拱的長度為8a。圖三PC 弧的長等於Q'B 弧的長，此值等於線段的長，也等) ，

14、則因為J 的。於是，於前的兩倍。因此，若P 點的坐標是(坐標是 ( as,2a)，所以，PC 弧的長等於AP 弧的長為。習題：試使用微積分方法證明上述有關擺線的弧長公式。在力學上，擺線具有很重要的性質，我們首先介紹它的等時性質(tautochroneproperty) 。將擺線的一拱倒轉，亦即：對其底線作鏡射，則此段擺線的最高點C 變成最低點，見圖三與五。此時，若一質點從此段擺線上任意點出發，在重力作用下沿擺線向下滑，則此質點到達最低點C 所需的時間與出發點的位置無關，亦即：從任意兩相異點出發，它們到達C 點的時間相同。這就是擺線的等時性質。若我們以一條長為擺線一拱長之半AA'B 的中

15、點 A'。當擺錘擺動時，線的上端纏在漸屈線上，而下端有一段拉直。由於線長等於擺線一拱長的一半， 根據前小節的說明，擺錘擺動的路線就是圖五中的擺線孤。前段所提的等時性，則是表示：不論振幅為何，其週期是個定值，此定值等於，其中 a是擺線的滾動圓的半徑，g 是重力加速度。前段所提的設置，稱為擺線鐘（cycloidal pendulum）， 這是 Christiaan Huygens（ 1629 1695年，荷蘭人）在1673年所發明的，它是其有真正等時性的鐘擺。要證明前面所提的等時性質，必須使用一些物理與微積分知識，讓我們略作說明如下： 設倒置的擺線的參數方程式為， 質點下滑的出發點P 所對

16、應的參數為。（我們將參數t 換成 ，以免誤以為它就是時間。）當質點下滑到參數為 的點時，根據能量守恆定律，質點喪失的位能轉變成動能，所以質點在該處的瞬時速度為。圖四另一方面，弧長s 的微分為於是，質點滑落到最低點C（見圖五）所需的時間為此值等於，與 無關，而擺線鐘的週期則是此值的四倍。前段證明的細節留給有興趣的讀者自行補足。圖五擺線在力學上的另一項重要性質，乃是最速降性質(brachistochroneproperty) ，我們說明如下。若一質點在重力作用下，由P 點沿著某曲線滑落到較低的Q 點，設 P 與 Q不在同一鉛垂直線上，則當滑行的曲線是以P 為尖點的一段倒轉的擺線弧時，質點由 P 點

17、滑落到Q 點所需的時間為最短。這就是擺線的最速降性質。設 P 與 Q 的坐標分別是P(x1,y1)與Q(x2,y2)，x1<x2且y1>y2，而y=f(x) 是滿足f(x1)=y1 與f(x2)=y2 的一個函數，仿照前小節的方法，可知一質點沿著曲線 y=f(x) 由 P 點落到 Q 點所需的時間為在所有此種函數y=f(x) 中，那一個函數能使上述定積分的值最小，這個問題乃是一個以函數(或曲線)為變數的極值問題。研究這類問題的方法稱為變分法 (calculus of variation) 。它與微積分中討論極值的方法不相同，而且也困難得多。探討最速降曲線的問題，乃是變分學的先驅問題之一，一般的變分學書籍都會談到這個例子。在最速降曲線問題中，有一個問題必須交待，那就是：對任意二點P(x1,y1) 與Q(x2,y2)， x1<x2 且y1>y2，有多少擺線以P 為一尖點而又通過Q 呢？答案是：恰有一條。這條擺線是這樣來的。首先，利用微積分或其他方法可以證明：恰有一個