(修订版)八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球(学生版)

1、八个有趣模型搞定空间几何体的外接球与内切球1 球的定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫球面，简称球2性质：性质 性质 性质 性质 性质1 ：过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等；2：经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆；3：过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面（类比：圆的垂径定理）4：球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心；5：在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在同圆中，两相交弦的中垂线交点是圆心）.OONDFC初图 1初图 23结论：若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶

2、点，则所得多面体与原长方体的外接球相同；494若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直5与台体相关的，此略PPPO2ccCCABA561278O2.类型一、墙角模型（三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径）3：长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心，换言之，.C bbcCaBBbaBEMaA bO1b1图2图34方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2(2R)2a2 b2 c2，即2Ra2 b2 c2 ，求出R例1A1 ）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为16 B 20C 244 ，体积为16 ，则这个球的表面积是（D 322）若三棱锥的三个侧

3、面两两垂直，且侧棱长均为3 ，则其外接球的表面积是(3)题 -1(引理)A.11B.710 C.340 D.3( 3)在正三棱锥S ABC 中，M 、 N 分别是棱SC、 BC 的中点，且AM MN , 若侧棱 SA 2 3 , 则正三棱锥S ABC 外接球的表面积是.解：引理：正三棱锥的对棱互相垂直. 证明如下：如图( 3) -1 ，取 AB, BC 的中点 D, E ，连接 AE, CD ， AE,CD 交于 H ，连接 SH ，则 H 是底面正三角形 ABC 的中心，SH 平面 ABC ， SH AB ，AC BC ， AD BD ， CD AB， AB 平面 SCD ，AB SC ，同

4、理：BC SA， AC SB，即正三棱锥的对棱互垂直，本题图如图(3) -2， AM MN ， SB/ MN ，AM SB，AC SB， SB 平面 SAC，SB SA， SB SC，SB SA， BC SA，SA 平面SBC ，SA SC，故三棱锥S ABC 的三棱条侧棱两两互相垂直，(2R)2 (2 3)2 (2 3)2 (2 3)2 36，2即 4R2 36，正三棱锥S ABC 外接球的表面积是36 .4) 在四面体S ABC 中， SA 平面 ABC ， BAC 120 ,SA AC 2, AB 1,则该四面体的外接球的表面积为(5) 如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6

5、、 4 、 3 ，那么它的外接球的表面积是类型二、垂面模型(一条直线垂直于一个平面)6) 已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为 何体外接球的体积为1 的等腰直角三角形和边长为1 的正方形，则该几(6)题图c12r ) ， OO1 PA ；sinC122RPA2 (2r )2 ；三棱锥 P ABC 的底面 ABC 在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的顶点第一步：确定球心O 的位置，取PBABC 的外心O1 ，则P,O,O1 三点共线；1 题设：如图5， PA 平面 ABC解题步骤：第一步：将ABC 画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径 AD ，连接 PD ，则 PD 必过球心

6、O ；第二步：O1 为ABC 的外心，所以OO1 平面 ABC ，算出小圆O1 的半径 O1D r (三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得absin A sin B第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：(2R)2 PA2 (2r)2R2r2 OO12R r2 OO122 题设： 如图6， 7， 8， P 的射影是ABC 的外心三棱锥 P ABC 的三条侧棱相等第二步：先算出小圆O1 的半径AO1 r ，再算出棱锥的高PO1 h (也是圆锥的高)第三步：勾股定理：OA2 O1A2 O1O2R2 (h R)2 r2 ，解出 R方法二：小圆直径参与构造大圆.例 2 一个几何体的三视图如图所示

7、，则该几何体外接球的表面积为16A 3B 2C 16 D 以上都不对类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直）1 题设：如图9-1 ，平面 PAC 平面 ABC ，且 AB BC （即 AC 为小圆的直径）第一步：易知球心O 必是 PAC 的外心，即PAC 的外接圆是大圆，先求出小圆的直径AC 2r ；abc第二步：在PAC 中，可根据正弦定理ac2R，求出Rsin A sin B sin C2如图9-2 ，平面PAC平面ABC ，且ABBC （即AC 为小圆的直径）OC2 O1C2 O1O2R2 r2 O1O2AC 2 R2 O1O23如图9-3 ，平面PAC平面ABC ，且ABBC （即AC 为

8、小圆的直径），且 P 的射影是ABC 的外心 三棱锥 P ABC 的三条侧棱相等三棱 P ABC 的底面 ABC 在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的顶点解题步骤：第一步：确定球心O 的位置，取ABC 的外心O1 ，则P,O,O1 三点共线；第二步：先算出小圆O1 的半径AO1 r ，再算出棱锥的高PO1 h （也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：OA2 O1A2 O1O2R2 （h R）2 r2 ，解出 R4如图9-3 ，平面 PAC 平面 ABC ，且 AB BC （即 AC 为小圆的直径），且 PA AC ，则利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：（2R）2 PA2 （2r）22RPA2 （2r

9、）2 ； R2 r2 OO12Rr2 OO12例 3 （ 1） 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1 ， 底面边长为2 3 ， 则该球的表面积为.2）正四棱锥S ABCD 的底面边长和各侧棱长都为2 ，各顶点都在同一球面上，则此球体积为3） 在三棱锥P ABC 中，PA PB PC 3 , 侧棱 PA与底面 ABC 所成的角为60 ， 则该三棱锥外接球的体积为（）AB.C. 4D.O的求面上, ABC 是边长为1 的正三角形, SC为球 O的直4）已知三棱锥S ABC 的所有顶点都在球径 , 且 SC 2 ，则此棱锥的体积为（）A2B3 C 2D26632类型四、汉堡模型（直棱柱的外

10、接球、圆柱的外接球）图 10-1图 10-2图 10-3题设：如图10-1 ，图 10-2 ，图 10-3, 直三 棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）第一步：确定球心O 的位置，O1 是ABC 的外心，则OO1 平面 ABC ；11第二步：算出小圆O1 的半径AO1 r ， OO1AA1h （ AA1 h 也是圆柱的高）；第三步：勾股定理：OA2 O1A2 O1O2R2 （h）2 r2 R r2 （h）2 ，解出 R例 4 （ 1 ）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，9且该六棱柱的体积为9 ，底面周长为3 ，

11、则这个球的体积为8（ 2）直三棱柱ABC A1B1 C1的各顶点都在同一球面上，若AB AC AA1 2, BAC 120 ，则此球的表面积等于.（ 3）已知EAB 所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，EA EB 3, AD 2, AEB 60 ，则多面体E ABCD 的外接球的表面积为.4) 在直三棱柱ABC A1B1C1中，AB 4,AC 6,A,AA1 4则直三棱柱ABC A1B1C1的外接球1113111.（ 如图 11）图 11类型五、折叠模型 题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠第一步：先画出如图所示的图形，将BCD 画在小圆上，找出BCD 和 A BD

12、的外心H1和 H2；第二步：过H1 和 H 2 分别作平面BCD 和平面 A BD 的垂线，两垂线的交点即为球心O ，连接 OE,OC ；第三步：解OEH1 ，算出 OH1，在 Rt OCH1 中，勾股定理：OH12 CH12 OC2例 5（ 1）三棱锥P ABC 中，平面PAC 平面 ABC ， PAC 和 ABC 均为边长为2 的正三角形，则三棱锥 P ABC 外接球的半径为（ 2）在四面体S ABC 中， AB BC ， AB BC 2 ，二面角S AC B 的余弦值为3 ，则四3面体 S ABC 的外接球表面积为（ 3）在边长为2 3 的菱形ABCD 中， BAD 60 ，沿对角线BD

13、 折成二面角A BD C 为 120 的四面体 ABCD ，则此四面体的外接球表面积为（4）在四棱锥ABCD 中， BDA 120 ， BDC 150 ， AD BD 2， CD 3， 二面角 A BD C的平面角的大小为120 ，则此四面体的外接球的体积为类型六、对棱相等模型（补形为长方体）题设： 三棱锥 （即四面体）中， 已知三组对棱分别相等，求外接球半径（ AB CD ， AD BC ， AC BD ）第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；第二步： 设出长方体的长宽高分别为a,b,c， AD BC x， AB CD y， AC BD z， 列方程组，2ab22c22bx22

14、2222c y (2R) a b c22az222 xyz补充：VA BCD11abc abc 4 abc63第三步：根据墙角模型，222222 xyz 2R a b cR2222xyz8，222xyz，求出 R ，8例如，正四面体的外接球半径可用此法，很有效例6（ 1）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形（ 正四面体的截面） 的面积是（ 2）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1 的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（A 3 3 B4)3123）在三棱锥A BCD 中， ABCD 2, AD BC 3, AC BD

15、 4, 则三棱锥A BCD 外接球的表面积为4）如图所示三棱锥A BCDAB CD 5, AC BD 6, AD BC 7, 则该三棱锥外接球的表面积为5）正四面体的各条棱长都为2 ，则该正面体外接球的体积为（4）题图类型七、两直角三角形拼接在一起（ 斜边相同, 也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥） 模型P题设：APB ACB 90 ，求三棱锥P ABC 外接球半径（分析：取公共的斜边的中点O，连接1OP,OC ，则 OA OB OC OP AB ， O 为三棱锥P ABC 外接球球心，然后在OCP 中求出2半径） ，当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半

16、径都为定值.例 7（ 1 ）在矩形ABCD 中， AB 4， BC 3，沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角B AC D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为（）A125B125C125D12512963（ 2） 在矩形ABCD 中， AB 2， BC 3， 沿 BD 将矩形ABCD 折叠，的外接球的表面积为类型八、锥体的内切球问题1 题设：如图14，三棱锥P ABC 上正三棱锥，求其内切球的半径.第一步：先现出内切球的截面图，E, H 分别是两个三角形的外心；1第二步：求DHBD ， PO PH r ， PD 是侧面ABP 的高；3第三步：由POE 相似于PDH ，建立等式：OE P

17、O ，解出rDH PD2题设：如图15，四棱锥P ABC 是正四棱锥，求其内切球的半径第一步：先现出内切球的截面图，P,O, H 三点共线；1第二步：求FHBC ， PO PH r ， PF 是侧面PCD 的高；2第三步：由POG 相似于PFH ，建立等式：OG PO ，解出HF PF连接 AC ， 所得三棱锥A BCDPEOACDHCB 图 14POrGArEHFDBC153题设：三棱锥P ABC 是任意三棱锥，求其的内切球半径方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为r ，建立等式：VPABCVOABCVOPABVOPACVOPBC111VP ABC S ABC rSPAB rSPAC33311SPBC r (S ABC S PAB SPAC S PBC ) r33第三步：解出r3VP ABCSO PBCSO ABCSO PABSO PAC例 8 棱长为 a 的正四面体的内切球表面积是 习题：1 若三棱锥S ABC 的三条侧棱两两垂直，且 SA 2， SB SC 4， 则该三棱锥的外接球半径为（）A. 3B. 6C. 36D. 92 三棱锥 S ABC 中， 侧棱 SA 平面 ABC ，底面 ABC 是边长为3 的正三角形，