三角函数的图像与性质复习

1、学习好资料欢迎下载授课主题三角函数的图像与性质复习教学目的三角函数的图象和性质的考查中，以图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对 称性、最值等作为热点内容，并且往往与三角变换公式相互联系，有时也与平面向量， 解三角形或不等式内容相互交汇教学重点运用三角函数知识解决综合问题教学内容1 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数 ysin x，x0,2 的图象中，五个关键点是： （0,0），（2，1），（ ，0），（32， 1），（2 ，0）2、 三角函数定义、同角关系与诱导公式（1）定义：设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），则 sin y， cos x， tan yx.各

2、象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦2 2 sin (2) 同角关系： sin2cos21，tan .cos （3）诱导公式：在 k2，kZ 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”3 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数性 质y sin xycos xytan x定义域RR x|xk 2， kZ图象值域1,11,1R对称性对称轴： xk 2 (kZ)；对称中心：(k，0)(kZ)对称轴： x kk(Z)；对称中 心：(k2，0)(kZ)对称中心：(kZk2，0)周期22单调性单调增区间 2k 2，2k2(kZ)； 单调减区间 2k 3 2，2k 2 (kZ )单调增

3、区间 2k ，2k (kZ)；单 调减区间 2k，2k(kZ)单调增区间 (k 2，k2)(kZ)奇偶性奇函数偶函数奇函数4 三角函数的两种常见变换 y 3，2 ，ymax ymin 2 3.tan x10(2)要使函数有意义，必须有 ，x2k，kZx 4 k，kZ即4x k，kZ .2故函数的定义域为 x|x4k且 x2 k，k Z 思维升华 (1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式， 常借助三角函数线或三角 函数图象来求解(2)求解三角函数的值域 (最值 )常见到以下几种类型的题目：形如 y asin xbcos xc 的三角函数化为 yAsin(x)k 的形式，再求最值 (值域

4、)； 形如 yasin2xbsin xc的三角函数，可先设 sin xt，化为关于 t 的二次函数求值域 (最 值)；形如 yasin xcos xb(sin x±cos x)c的三角函数，可先设 tsin x±cos x，化为关于 t 的二 次函数求值域 (最值 )(1)函数 ylg(sin x) cos x 21的定义域为 (2)函数 ysin2xsin x1 的值域为( )5A1,1B4， 155C45，1D1，54sin x>0，解析 (1)要使函数有意义必须有1cos x20，sin x>0，2k<x< 2k，即 1 解得 (k Z )，c

5、os x2，32kx32k2k<x32k，kZ，函数的定义域为 x|2k<x32k，kZ 22(2)ysin2xsin x1，令 tsin x，则有 yt2t1，t1,1，画出函数图象如图所示，从图象可以看出，当 t 12及 t1时，函数取最值，代入 yt2t1，5可得 y 4，1(1)ysin 题型二 三角函数的单调性、周期性 例 2 写出下列函数的单调区间及周期： 2x3；(2)y|tan x|.解 (1)y sin 2x 3，它的增区间是 ysin 2x3的减区间，它的减区间是 ysin 2x3的增区间 由 2k22x32k2，k Z ，5 得 k 12xk12，kZ. 3

6、由 2k22x 3 2k 2 ， kZ，511得 k 12xk 12 ，kZ .故所给函数的减区间为 k 12，k 512，k Z ； 增区间为 k512，k1112， kZ.2最小正周期 T 22 .(2)观察图象可知， y|tan x|的增区间是 k，k2，kZ，减区间是 k2，k，kZ.最小正周期 T. 思维升华 (1)求形如 yAsin(x)或 yAcos(x)(其中，>0)的单调区间时，要视 “x ”为一个整体，通过解不等式求解但如果 <0，那么一定先借助诱导公式将 化为正 数，防止把单调性弄错(2)求函数的单调区间应遵循简单化原则， 将解析式先化简， 并注意复合函数单调

7、性规律 “同 增异减”(3)求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定(2013 ·阜新模拟 )求函数 ysin 34x cos 4x6的周期、单调区间及最大、最 小值解 3 4x 6 4x 2， cos 4x 6 y2sin 4x3，周期 T242. 当22k4x322k k(Z)时，函数单调递增， 函数的递增区间为 524k2，24k2 (k Z) 当22k4x3322k k(Z)时，函数单调递减， 函数的递减区间为 24k2，274k2(kZ)当 x24k2(kZ)时， ymax2；当 x524k2(kZ)时， ymin 2.题型三 三角函数的奇偶性和

8、对称性例 3 (1)已知 f(x)sin x 3cos x(xR)，函数 yf(x ) | 2 的图象关于直线 x 0 对 称，则 的值为 (2)如果函数 y3cos(2x)的图象关于点 43，0 中心对称，那么 |的最小值为 ()A.6 B.4C.3 D.2解析 (1)f(x)2sin x 3，yf(x)2sinx3 图象关于 x 0 对称，即 f(x )为偶函数 3 2 k， kZ ， k6，k Z ，又|2，6.2324(2)由题意得 3cos 2× 3 3cos2 3cos 3 0，2 3 k2，kZ ， k6，kZ ，取 k0，得|的最小值为 6.思维升华 若 f(x)As

9、in(x)为偶函数，则当 x0 时，f(x)取得最大值或最小值 若 f(x)Asin(x)为奇函数，则当 x0 时，f(x)0. 如果求 f(x)的对称轴，只需令 x2k k(Z )，求 x.如果求 f(x)的对称中心的横坐标，只需令 xk k(Z)即可(1)若函数 f(x) sin axcos ax(a>0)的最小正周期为 1，则它的图象的一个对称中 心为 ( ) A (8，0)B(0,0)11 C (8，0)D (8，0) (2)设函数 ysin(x)(>0，( 2，2)的最小正周期为 ，且其图象关于直线 x12对称，则在下面四个结论：图象关于点 (4，0)对称；图象关于点 (

10、3， 0)对称；在 0 ，6 上是增函数；在 6，0上是增函数中，所有正确结论的编号为 答案 (1)C (2)解析 (1)由条件得 f(x) 2sin(ax 4)，2 又函数的最小正周期为 1，故 1， a2， a故 f(x) 2sin(2 x 4)1将 x 81代入得函数值为 0.(2)T， 2.又 2×12 k2(kZ)，k3(k Z )(2，2)，3，ysin(2x3)，由图象及性质可知 正确题型四 诱导公式的应用37例 2 已知 <<2， cos（ 7 ） 5，求 sin（3 ） ·tan 2的值（2）cos（ 7）cos（7 ）cos( ) cos 3

11、5，3 cos .5 sin（3 ） ·tan72sin（ ） ·tan 72sin·tan 2 sincos 3·sin cos 5.跟踪练习已知 sin 是方程 5x2 7x 6 0 的根， 是第三象限角，则sin 32cos 32·tan （ ）33方程 5x27x 6 0 的根为 5或 2，又 是第三象限角， sin 5，cos 1 sin2345，sin 5 3cos sin 2 2 9sin ·cos ，原式·tan tan .cos 4 4sin ·cos 16题型五 函数 yAsin(x )的图象及

12、变换 例 1 设函数 f(x)sin x 3cos x(>0)的周期为 .(1)求它的振幅、初相；(2)说明函数 f(x)的图象可由 ysin x 的图象经过怎样的变换而得到 解 (1)f(x) sin x 3cos x1 3 2(2sin x 2 cos x)2sin(x3)，2又 T， ，即 2.f(x)2sin(2x3) 函数 f(x) sin x 3cos x的振幅为 2，初相为 3.(3)方法一 把 ysin x 的图象上所有的点向左平移 3个单位，得到 ysin x3的图象，再把 ysin x3的图象上的点的横坐标缩短到原来的 12倍(纵坐标不变 )，得到 ysin 2x3的

13、图 象，最后把 ysin 2x 3上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变 )，即可得到 y 2sin 2x3的图象1方法二 将 ysin x 的图象上每一点的横坐标 x 缩短为原来的 21倍，纵坐标不变， 得到 y sin 2x 的图象；再将 ysin 2x 的图象向左平移 6个单位，得到 ysin 2 x6 sin 2x3的图象；再将 ysin 2x 3的图象上每点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2 倍，得到 y 2sin 2x3的图象思维升华 (1)五点法作简图：用“五点法”作 yAsin(x)的简图，主要是通过变量代换，2来求出相应的 x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后

14、得出图象2、图象变换：由函数 ysin x 的图象通过变换得到 y Asin(x)的图象，有两种主要途径： “先平移后伸缩 ”与“先伸缩后平移 ”3、在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换变换只是相对于其中的自 变量 x 而言的，如果 x 的系数不是 1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向例 2 (1)已知函数 f(x)2sin(x )(其中>0，|<2)的最小正周期是 ，且 f(0) 3，则 ()A21，6B21，3C2，6D 2，3(2)已知函数 f(x)Asin(x) (A>0，|<2，>0)的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式

15、为解析 (1)f(x)(>0， |<2)的最小正周期为 ， T 2 ， 2.f(0)2sin 3，即 sin 23， |<2， 3.(2)观察图象可知： A2 且点(0,1)在图象上，1 1 2sin(·0 )，即 sin 2.|<2，6.1111 又 1121是函数的一个零点，且是图象递增穿过 x 轴形成的零点， 1112 62， 2.f(x) 2sin 2x 6.思维升华 根据 yAsin(x)k 的图象求其解析式的问题， 主要从以下四个方面来考虑： 最高点最低点A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即 A最高点最低点 ； k 的确定：根据图象的最高点和最

16、低点，即 k最高点最低点 ；2 的确定：结合图象，先求出周期 T，然后由 T (>0)来确定 ；的确定：由函数 y Asin(x)k最开始与 x轴的交点(最靠近原点 )的横坐标为 (即 令 x 0， x ) 确定如图为 yAsin(x )的图象的一段(1)求其解析式；列方程组 ·30，5 ·6 ， 所求解析式为 y 3sin 22x23.(2)f(x) 3sinx63，(2)若将 y Asin(x)的图象向左平移 6个单位长度后得 yf(x)，求 f(x)的对称轴方程解 (1) 由图象知 A 3， 以M 3，0 为第一个零点，2，解之得223. 5k令 2x 3 2

17、kk(Z )，则 x12 2 (k Z )， f(x)的对称轴方程为 x152k2(kZ )、选择题1 下列函数中，周期为 且在0，2 上是减函数的是()B ycos(x 4)Dy cos 2xAysin(x4) Cy sin 2x 答案 D 解析 对于函数 y cos 2x，T， 当 x0，2时，2x0，ycos 2x是减函数2 (2012 ·湖南)函数 f(x)sin xcosA2,2C1,1x 6 的值域为 B 3， 3 D. 23， 23()答案 B解析 将函数化为 yAsin(x )的形式后求解 f(x)sin xcos x6sin xcos xcos sin xsin63

18、1sin x 2 cos x2sin x313 2 sin x2cos xR)，f(x)的值域为 3， 3 3、设 >0，函数 y sin(x3)是A.23答案42 的图象向右平移 3个单位后与原图象重合，则 的最小值()B.43 C.32 D3 C3kZ )，min2.4解析由函数向右平移 43个单位后与原图象重合，得 43是此函数周期的整数倍又 >0， 2 4 ·k 3 (kZ )，4 为得到函数 ycos（2x3）的图象，只需将函数 ysin 2x 的图象（ ）A 向左平移 152个单位长度5B向右平移 152个单位长度C向左平移 56个单位长度D向右平移 56个单

19、位长度 答案 A 5 解析 y cos（2x3）sin2（2x3）sin（2x 6 ）555故要得到 ysin（2x 6）sin 2（x12）的图象，只需将函数 ysin 2x 的图象向左平移 12个单位 长度5 （2012 ·天津 ）将函数 f（x） sin x（其中 >0）的图象向右平移 4个单位长度，所得图象经过点 34， 0 ，则 的最小值是（ ）1A.3B15C.3D 2答案 D解析 根据题意平移后函数的解析式为 ysin x4，将 4 ，0 代入得 sin 2 0，则 2k， kZ，且 >0，故 的最小值为 2.二、填空题6 函数 ycos（42x）的单调减区间为 5 答案 k8，k 8 （kZ）解析由 y cos2k2x42kk（Z），5 故 k8xk 8（kZ）所以函数的单调减区间为 k8，k58（kZ）7 当2x2时，函数 ysin x 3cos x的最大值为 ，最小值为 答案 2 1 5 解析 y2sin（x3），6x3 6 ，12sin(x3)1，1y2，故 ymax2， ymin 1.8 已知函数 f(x)Atan(x )(>0，|<2)，yf(x)的部分图象如图，则 f(24) .答案 3解析 由题中图象可知，此正切函数的半周期等于 388