中考数学压轴题解题策略相似三角形的存在性问题解题策略

1、相似三角形的存在性问题解题策略专题攻略相似三角形的判定定理有3 个，其中判定定理1 和判定定理2 都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等判定定理2 是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验，如例题1 、 2、 3、 4应用判定定理1 解题， 先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等，如例题6应用判定定理3 解题不多见，如例题5，根据三边对应成比例列连比式解方程(组)例题解析13例 ? 如图 1-1 ， 抛物线 y 1 x2 3x 4与 x轴交于 A、 B 两点 ( A点在 B 点左侧) ， 与

2、y 82轴交于点C 动直线EF( EF/x轴) 从点 C开始， 以每秒 1 个单位的速度沿y轴负方向平移，且分别交y 轴、线段BC 于 E、 F 两点，动点P 同时从点B 出发，在线段OB 上以每秒2 个单位的速度向原点O 运动 是否存在t， 使得 BPF 与 ABC 相似 若存在， 试求出 t 的值；若不存在，请说明理由图 1-1【解析】BPF 与 ABC 有公共角B，那么我们梳理两个三角形中夹B 的两条边13 ABC 是确定的由yx2x 4，可得A(4, 0)、 B(8, 0)、 C(0, 4)82于是得到BA 4， BC 4 5 还可得到CE CO 1 EF OB 2 BPF 中，BP

3、2t，那么BF 的长用含t的式子表示出来，问题就解决了在 Rt EFC 中，CE t， EF 2t，所以CF 5t 因此 BF 4 5 5t 5(4 t) 于是根据两边对应成比例，分两种情况列方程：当 BA BP 时， 4 2t 解得 t 4(如图1-2) BC BF 4 55(4 t)3当 BA BF 时， 45(4 t) 解得 t 20(如图1-3) BC BP 4 5 2t7图 1-2图 1-3例 ? 如图 2-1 ，在平面直角坐标系中，顶点为M 的抛物线y ax2 bx（ a> 0）经过点A和 x轴正半轴上的点B， AO BO 2， AOB 120°（ 1）求这条抛物线

4、的解析式；（ 2）连结O M ，求AOM 的大小；（ 3） 如果点 C 在 x轴上， 且 ABC 与 AOM 相似，求点 C 的坐标ABC 与 AOM 中相等的一组角在哪里呢？本题由简到难，层层深入第（1 ）题求出抛物线的解析式，得到顶点M 的坐标，为第（ 2）题求AOM 的大小作铺垫；求得了AOM 的大小，第（3）题暗示了要在ABC 中寻找与 AOM 相等的角1）如图2-2，过点A作 AH y轴，垂足为H容易得到A（ 1, 3）再由 A（ 1, 3）、 B（2,0）两点，可求得抛物线的解析式为32 23y x x33322332332)由y x x (x 1) ，得顶点M (1,) 3333

5、33所以 tan BOM 所以BOM 30°所以AOM 150°33)由A( 1, 3)、 B(2,0)，可得ABO 30°C 在点 B 右侧时，ABC AOM 150所以 ABC 与 AOM 相似，存在两种情况：当 BA OA 3 时， BC BA 2 3 2此时C(4,0)(如图2-3) BC OM33当 BC OA 3 时， BC 3BA 3 2 3 6 此时 C(8,0)(如图 2-4) BA OM2-32-4例 ? 如图 3-1 ， 抛物线yax2bx3与 x轴交于 A（1,0）、B（3, 0）两点，与y轴交于点D，顶点为C（ 1）求此抛物线的解析式；（

6、 2）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，过 M 作 MN x轴于点 N，使以A、 M、 N为顶点的三角形与BCD 相似？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由3-1【解析】AMN 是直角三角形，因此必须先证明BCD 是直角三角形一般情况下，根据直角边对应成比例分两种情况列方程（ 1）抛物线的解析式为yx2 4x 3（ 2）由yx2 4x 3（x 2）2 1 ，得如图3-2，由B（3, 0）、 D（0, 3）、 C（2, 1），可知所以 CBD 90°，且BC 21 BD 3 23D(0, 3)， C(2, 1)CBO 45°， DBO 45°图 3-2图

7、3-3图 3-4设点 M、 N 的横坐标为x，那么NMyM，而NA 的长要分N 在 A 的右边或左边两种情况，因此列方程要“两次分类”N 在 A 右侧时，NA x 1 ，分两种情况列方程：当 NANMBBDC3时，P 在直线式当 NABCNM BD1时， 3x 13解得 x 10 此时 M (10, 7) (如图3-3) (x 1)(x 3)339x1 1x 11 解得x 6此时M(6, 15)(如图3-5) (x 1)(x 3) 3N 在 A 左侧时，NA 1 x，也要分两种情况列方程：当当NANMNABD 3时，BCBC 1 时，1x83 解得 x 8 > 1 ，不符合题意(如图3-

8、4) (x 1)(x 3)31x如图 4-1 ， 在平面直角坐标系中，例?AB 上，直线CP 与 y 轴交于点F ，如果ACP 与 BPF 相似，求直线CP 的解析【解析】首先求得点C(3,0)ACP 与 BPF 中，相等的角在哪里啊？如图 4-2，当点 P 在线段 AB 上时，ACP 与 BPF 中， APC 与 BPF 是邻补角，如果这两个邻补角一个是锐角，一个是钝角，两个三角形怎么可能相似呢？因此是垂直的可以求得F(0, 4)，于是直线CF(CP)为 y 4x 43CP 与 AB如图4-3，当点P 在 AB 的延长线上时，PFB A，可以求得F(0, 4)，因此直线如图 4-4，当点据大

9、边对大角，P 在 BA 的延长线上时，B>BAO； BAO 又是ACP 与 BPF 有公共角P于是OFCCF(CP)为 y 4x 43B 与 PCA 不可能相等在AOB 中，根PCA 的一个外角， BAO>PCA4-24-34-4例? 物线于点A、D、 B 都是确定的，可以求得A（1, 4）， D（ 4, 4）， B（ 2, 2）所以 AO 17 ，BO 2 2 ， AB 3 5 ， DO 4 2 EODAOB，对应边已经确定，因此我们可以根据判定定理3 列方程EO OD DEEO，得AO OB BA174 2 DE 所以 EO 2 17，2235DE 6 5 设 点 E 的坐标为

10、（x, y）， 根据x2 y268,EO2 68， DE2 180， 列方程组(x 4)2 (y 4)2 180.得x1 8,y12,x22,y28,如图 5-1 ，二次函数y x2 3x的图象经过点A（1,a），线段AD 平行于 x 轴，交抛D 在 y轴上取一点C（0, 2）， 直线 AC 交抛物线于点B， 连结OA、 OB、 OD、 BD 求坐标平面内使EOD AOB 的点 E 的坐标；所以点E 的坐标为（8, 2）或 （ 2, 8）上面的解题过程是“盲解”，我们并不明白两个三角形的位置关系【解法二】如图5-2， AOB 是确定的， AOB 与 EOD 有公共点O， OB OD 1 2，B

11、OD 90°如果 EOD AOB， 我们可以把AOB 绕着点 O 顺时针旋转，使得点B落在OD 上，此时旋转角为90°，点B 恰好落在OD 的中点按照这个运动规则，点A（1, 4） 绕着点 O 顺时针旋转90°，得到点A （4, 1），点A是线段 OE 的中点，因此点E 的坐标为（8, 2）如图5-3，点E（8, 2）关于直线OD（即直线yx）对称的点为E（2, 8）例?B 出发沿 A 于点如图 6- 1 ，在ABC 中，AB AC 4 2 ， BC 8 A的半径为BC 方向以每秒1 个单位的速度向点C 运动延长BA 交 A于点2，动点P 从点D ，连结AP 交E

12、 ，连结DE 并延长交BC 于点 F设点 P 运动的时间为t 秒，当ABP 与 FBD相似时，求t 的值图 6-1【解析】ABC 是等腰直角三角形，A 是确定的，先按照题意把图形补充完整如图 6-2，容易发现ABP 与 FBD 有公共角B，如果根据对应边成比例列方程BA BD或BP BFBA BF，其中BA42，BPt，BD4 22，但是用含t的式子表示BF6-4BP BD图 6-2我们另起炉灶，按照判定定理1 来解决 ABP 与 FBD 有公共角B，我们以D 为分类标准，分两种情况讨论它们相似：第一种情况，如图6-3，BAPD 是不可能的，这是因为BAP 是等腰三角形ADE的外角，BAP 2 D第二种情况，如图6-4， 当 BPA D 时， 在 ABP 中， 由于