二次函数中的相似三角形10例精选及答案

1、3如图，已知二次函数 y axA（ 1，0）、点 C，与 y二次函数中的相似三角形 10 例精选及答案一填空题（共 1 小题）21如图，一次函数 y 2x的图象与二次函数 yx +3x图象的对称轴交于点 B（1）写出点 B 的坐标；2（2）已知点 P 是二次函数 y x2+3x 图象在 y 轴右侧部分上的一个动点，将直 线 y2x沿 y轴向上平移，分别交 x轴、y轴于 C、D 两点若以 CD 为直角边 的PCD 与OCD 相似，则点 P 的坐标为第 7 页（共 15 页）轴交于点 B（0， 5）解答题（共 9 小题）2已知：线段 OAOB，点 C为 OB中点， D 为线段 OA 上一点连接 A

2、C，BD 交 于点 P（1）如图 1，当 OA OB，且 D 为 OA 中点时，求的值；（2）如图 2，当 OAOB，且时，求 tan BPC 的值（3）如图 3，当 AD： AO： OB 1： n：时，直接写出 tan BPC 的值1）求该二次函数的解析式；2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P ，使得 ABP 的周长最小 请求出点P 的坐标，并求出 ABP 周长的最小值；（3）在线段 AC 上是否存在点 E，使以 C、 P、E 为顶点的三角形与三角形 ABC24如图，已知顶点为 C 的抛物线 yax5如图，抛物线 y ax +bx+c 与 x 轴交于点于点 C（ 0， 3），点 D 是抛物

3、线上的点，且（1）求抛物线的解析式；（2）平移该抛物线的对称轴所在直线L ，面积分为相等的两部分？（3）点 F 在线段 CD 上，若以点 C， E， 点F 的坐标4ax+c 经过点（ 2，0），与 y 轴交于点 A （0，3），点 B 是抛物线上的点，且满足 ABx 轴（1）求抛物线的表达式；（2）求抛物线上关于原点中心对称的两个点的坐标；（3）在线段 AB 上是否存在点 P，使得以 P、A、 C 为顶点的三角形与 AOC 相 似？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由足 AB x 轴，点 C 是抛物线的顶点（1）求抛物线的对称轴及 B 点坐标；（2）若抛物线经过点（ 2，0），求抛物

4、线的表达式；（3）对（2）中的抛物线，点 D在线段 AB上，若以点 A、C、D 为顶点的三角形 与AOC 相似，试求点 D 的坐标A（ 2， 0）和点 B（ 6， 0），与 y轴交 CDx轴，点 E 是抛物线的顶点当 L 平移到何处时，恰好将 BCD 的F 为顶点的三角形与 COE 相似，试求7如图，在平面直角坐标系中，直线AC 经过点 A（0，4）和点 C（8，0），P（ t，8如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线yx+c 过点 A（ 0，4）和 C（8，0）是 x 轴正半轴上的一个动点， M 是线段 AP 的中点，将线段 MP 绕点 P 顺时针 旋转 90°得选段 PB过 B

5、 作 x 轴的垂线，过点 A 作 y 轴的垂线，两直线相交于 点D（1）B 点的坐标为（用含 t 的代数式表示） ；（2）当点 B 落在直线 AC 上，求此时的 t 值；（3）是否存在 t，使得以 A， B，D 为顶点的三角形与 AOP 相似？若存在，求 此时 t 的值；若不存在，请说明理由0），P（t，0）是 x轴正半轴上的一个动点， M 是线段 AP 的中点，将线段 MP 绕 点 P 顺时针旋转 90 °得线段 PB过点 B 作 x 轴的垂线、过点 A 作 y 轴的垂线， 两直线相交于点 D 1）求此抛物线的对称轴；2）当 t 为何值时，点 D 落在抛物线上？3）是否存在 t，使

6、得以 A、B、D 为顶点的三角形与 PEB 相似？若存在，求此9如图，矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O， AOB60°， AB2cm（1）求证： AOB 是等边三角形；2）求矩形 ABCD 的面积10计算：2）设 D（0，2a），则直线 CD 解析式为 y 2x+2a，可知 C（a，0），即 OC：二次函数中的相似三角形 10 例精选及答案参考答案与试题解析OD1： 2，则 OD2a，OCa，根据勾股定理可得： CD a以 CD 为直角边的 PCD 与 OCD 相似，当CDP 90°时，），解答】 解：（ 1）抛物线 yx2+3x 的对称轴为 x ，解得

7、：填空题（共 1 小题）21如图，一次函数 y 2x的图象与二次函数 yx +3x图象的对称轴交于点 B（1）写出点 B 的坐标；2（2）已知点 P 是二次函数 y x2+3x 图象在 y 轴右侧部分上的一个动点，将直线y 2x沿y轴向上平移，分别交 x轴、y轴于 C、D两点若以 CD 为直角边的PCD 与OCD 相似，则点 P 的坐标为 （2，2），（ ， ），（ ，（，）若 PD：DCOC：OD1：2，则 PDa，设 P的横坐标是 x，则 P 点纵坐标是 x2+3 x，则 P的坐标是：（ ， ），当 x 时， y 2x 3，即 B 点（ ， 3）；若 DC：PDOC：OD 1：2，同理可以

8、求得 P（2，2），当DCP 90°时，若PC：DCOC：OD1：2，则 P（ ， ），若 DC：PDOC：OD1：2，则 P（ ，故答案为：（ 2，2），（ ， ），），（，），（，解答题（共 9 小题）2已知：线段 OAOB，点 C为 OB中点， D为线段 OA上一点连接 AC，BD交于点P（1）如图1，当OAOB，且D 为 OA 中点时，求 的值；（2）如图2，当OAOB，且时，求 tan BPC 的值（3）如图3，当AD：AO：OB1： n：时，直接写出 tan BPC 的值解：（1）过 D 作 DECO交 AC于 E，D 为 OA 中点，AE CE，点 C 为 OB 中点，

9、BCCO，PC ， 2 ；2；（2）过点 D 作 DE BO 交 AC 于 E， ， ，点 C 为 OB 中点，PC ，过 D 作 DF AC，垂足为 F，设 ADa，则 AO4a，OA OB，点 C 为 OB 中点，CO 2a，在 RtACO中， AC2 a，又 RtADFRtACO，AF，DF ，PF ACAFPC2 a ，tanBPCtanFPD （3）与（ 2）的方法相同，设 ADa，求出 DF a，PFa，所以 tan BPC23如图，已知二次函数 y ax2 4x+c 的图象与 x轴交于点 A（ 1，0）、点 C，与 y 轴交于点 B（0， 5）1）求该二次函数的解析式；2）已知该

10、函数图象的对称轴上存在一点P ，使得 ABP 的周长最小 请求出点P 的坐标，并求出 ABP 周长的最小值；（3）在线段 AC 上是否存在点 E，使以 C、 P、E 为顶点的三角形与三角形 ABC解答】解：1）根据题意，得3）存在第 11 页（共 15 页）0），（1.4，0）解得 ， 故二次函数的表达式为 yx24x 5；（2）令 y0，得二次函数 yx24x5 的图象与 x 轴 的另一个交点坐标 C（ 5，0）由于 P 是对称轴 x 2 上一点，连接 AB，由于 AB ，要使 ABP 的周长最小，只要 PA+PB 最小由于点 A 与点 C 关于对称轴 x2 对称，连接 BC 交对称轴于点

11、P，则 PA+PBBP+PCBC，根据两点之间， 线段最短， 可得 PA+PB 的最小值为 BC 因而 BC 与对称轴 x2 的交点 P 就是所求的点设直线 BC 的解析式为 ykx+b，根据题意，可得：，解得 ，所以直线 BC 的解析式为 y x 5因此直线 BC 与对称轴 x2 的交点坐标是方程组的解，解得 ，所求的点 P 的坐标为（ 2， 3）A（ 1，0），C（5，0），AC 6， P（2，3），C（5，0）， PC 3 ，B（0，5），C（5，0），BC 5 ， 当 PEC ABC，解得： EC 5，E（0，0）； 当 EPC ABC，OE5 3.61.4，故 E 点坐标为：（ 1.

12、4， 0），综上所述：以 C、P、E 为顶点的三角形与三角形 ABC 相似，点 E 的坐标为：（0，2，0）、A（0，3），有：，解得抛物线的解析式： y x4如图，已知顶点为 C 的抛物线 yax24ax+c 经过点（ 2，0），与 y 轴交于点 A （0，3），点 B 是抛物线上的点，且满足 ABx 轴（1）求抛物线的表达式；（2）求抛物线上关于原点中心对称的两个点的坐标；（3）在线段 AB 上是否存在点 P，使得以 P、A、 C 为顶点的三角形与 AOC 相 似？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由+x+3（2）依题意，设这两个点的坐标为： （x， x2+x+3）、（ x， x

13、2x3）；22 x x3 （x） +（ x）+3解得： x1 2 、x2 2 ；这两个点的坐标为： （2 ，2 ）、（2 、 2 ） （3）由（ 1）的抛物线解析式知： C（2， 4）；过点 C作CGy轴于 G，如右图；A（0，3）、C（2，4）OG4，CG2，CF1， AF2，AC ，OC2 ；面积分为相等的两部分？第 13 页（共则： tanCOGtanCAF ，即 AOC CAP ；3）点 F在线段 CD上，若以点 C，E，F为顶点的三角形与 COE 相似，试求若以 P、A、C为顶点的三角形与 AOC 相似，那么应有两种情况：，3）；AP ，即 P（ ，3）； ，即AP ，即 P ，即综

14、上，存在符合条件的点 P，且坐标为（ ， 3）或（，3）于点C（ 0， 3），点 D 是抛物线上的点，且点 F 的坐标则抛物线的解析式是 y x2+ x+3；22）抛物线 y x2+x+3 的对称轴是 x21）求抛物线的解析式；2）平移该抛物线的对称轴所在直线 L ，A（ 2， 0）和点 B（ 6， 0），与 y轴交CDx 轴， C的坐标是（ 0，3），CDx轴，点 E 是抛物线的顶点当 L 平移到何处时，恰好将 BCD 的D 的坐标是（ 4， 3），SBCD CD?OC × 4×36如图，当 l 平移至 l1，l1与 CD、BC 分别交于点 M、N15 页）CF ，F 的

15、坐标是（， 3）；当 COE FCE 时， ，CF A（ 0，3），点 B 是抛物线上的点，且满F 的坐标是（ ，3），3）足 AB x 轴，点 C 是抛物线的顶点1）求抛物线的对称轴及 B 点坐标；2）若抛物线经过点（ 2，0），求抛物线的表达式；（3）对（2）中的抛物线，点 D 在线段 AB上，若以点 A、C、D 为顶点的三角形 与AOC 相似，试求点 D 的坐标 MCN CBO， CMNBOC90°， CMN BOC， 2， 2，CM2MN，2SCMN CM ?MN CM 2 SCMN S BCD， CM 2 3，CM 2 当 l 平移到直线 x 2 处时，恰好将 BCD 的面

16、积分成面积相等的两部分；（3）设对称轴 l 交 CD 于点 P，过点 E 作 EQy 轴，垂足为点 Q E（2，4），C（0，3），CDx 轴， ， ，又 EQO EPC 90°， EQC EPC， COE ECD C（0，3），E（2，4），CE ， OE2 分成两种情况：当 COE ECF 是， ，第 23 页（共 15 页）解答】 解：（ 1）由题意得，ABx轴， CEA 90°， CEO CGA，又又对称轴为直线 x 2；点 A（ 0， 3），点 B 是抛物线上的点， AB x轴，AB 被直线 x2 垂直平分，B（4，3） AOC CAG ，当 AOC DAC 时，

17、有，2）抛物线经过点（0，3），（ 2，0），所以有 ， ；当AOCCAD 时，有解得抛物线的表达式为 ， ，点 D 的坐标为或3）抛物线的对称轴为直线x 2，C（2，4），过点 C 作 CEy 轴，垂足为点 E，设对称轴与 AB交于点 G， 连接 OC，交 AB 与点 F ，0）是 x 轴正半轴上的一个动点， M 是线段 AP 的中点，将线段 MP 绕点 P 顺时针 旋转 90°得选段 PB过 B 作 x 轴的垂线，过点 A 作 y 轴的垂线，两直线相交于点D（1）B 点的坐标为 （2+t， t） （用含 t 的代数式表示） ；（2）当点 B 落在直线 AC 上，求此时的 t 值；

18、APO+BPE90°， BPE+PBE90°， AOP PBE， AOP PEB，PA2PB， 2，PE2， BE t，OE t+2，B（ 2+t， t）故答案为（ 2+t， t）2） A（0，4），C（8，0），解答】 解：（ 1）如图，设 BD 交 x 轴于 E设直线 AC 的解析式为 Ykx+b，则有（3）是否存在 t，使得以 A， B，D 为顶点的三角形与 AOP 相似？若存在，求 此时 t 的值；若不存在，请说明理由解得 ，直线 AC 的解析式为 y x+4，把 B（2+t， t）代入得到， t （ 2+t）+4，解得 t 33）以 A， B，D为顶点的三角形与A

19、OP 相似有两种情形：解得 当 时，解得 t 2+2 或 2 2 （舍弃）故抛物线的解析式为： y x2+ x+4，它的对称轴为： 当 时，方程无解，这种情形不存在，综上所述，当 t 2+2 时， AOP BDA8如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yax2+ x+c 过点 A（ 0，4）和 C（8，0），P（t，0）是 x轴正半轴上的一个动点， M 是线段 AP 的中点，将线段 MP 绕点 P 顺时针旋转 90 °得线段 PB过点 B 作 x 轴的垂线、过点 A 作 y 轴的垂线，（2）由题意得： M（ ，2），（t> 0）PB 是 PM 绕点 P 顺时针旋转 90°而得， E（t+2，0），b（t+2， t） 从而有 D（t+2， 4）2假设 D（t+2，4）在抛物线上，有（t+2）2+ （t+2）+4 4，解得 t 3 或 t 2t 3 时，点 B 在直线 AC 上t>0，t3，即当 t 3时，点 D 落在抛物线上3） 当 0< t<8 时，如图 1，两直线相交于点 D 1）求此抛物线的对称轴；2）当 t 为何值时，点