三角函数题型及通法

1、三角函数及解三角形一、知识要点、知识结构(1)注重公式的推导过程。每个公式又要结合具体问题做到“正用”、“逆用”、“隐用”、“创用”、“导用”、“它用”，乃至最高境界的“化用”和“不用”。 数以几十计的公式，丰富多样的变式，纵向引中，横向用接，可以构成浩瀚的“题 海”。如何从中理出若干容易把握的数学规律？数学思想方法的提倡和运用，使 解题得到升华，也许是解决问题的有效之路。(2)加强公式的理解记忆。从三角比的定义出发推导出一系列的公式 (网络 图)。诱导公式(奇变偶不变，符号看象限)。2.三角函数图像和性质(1)正弦函数定义域R值域1,1，ymax =1,(x =三 + 2kn,k W Z);

2、 ymin = 1, (x = , + 2kn ,k w Z) 22周期性sin(x+2kn) =sinx (k w Z) ； T =2n奇偶性sin(x) = sin x (kwZ)； y=sinx是奇函数，图像关于原点对称单调性TTTT单调增区间：-+2kn, + 2kn(k w Z);22单调减区间：±+2kn,之十2kn(kwZ).;22对称性冗对称轴方程：x=+kn ,(k Z Z)；对称中心坐标：(kn,0), (kwZ) 2(2)余弦函数名称y = cosx图象y t1y=ssm x定义域R值域1,1，ymax =1,(x = 2k/kWZ)； ymin =1,汽=n

3、+ 2依* W Z).周期性cos(x+2E) = cosx (k w Z) ; T =2几奇偶性cos(-x) - cosx(k = Z) ； y cosx是偶函数，图像关于 y轴对称单调性单调增区间：n +2kn,2kn(k w Z);单调减区间：2k%n +2kn(k w Z).;对称性对称轴方程：x = kn,(kZ);对称中心坐标：(一十kn ,0), (k w Z)23.正切函数定义域x wx| x # 三 十 kn,k z Z2值域R周期性tan(x + kn) =tanx(k w Z) ； T =n奇偶性tan(-x) = -tanx(k w Z) ； y = tan x是奇函

4、数，图像关于原点对称单调性单调增区间：二+2kn,' + 2kn(k w Z);22对称性对称中心坐标：(”,0),(k w Z)2注：y = Asin(ox + 5)+ B (A>0©>0)； y = Acosx+5)+ B (Aa0,8>0)；2二 .一一周期：T= ，令a =ccx +中，化归为 y=sinx, y=cosx的性质. co已知图象求解析式：利用“五点”作图法，结合方程求解。三角部分的公式 1121、弧长公式：1 =|o( | r .扇形面积公式： %形=lr = |c(| t公式组二2、三角函数在各象限的符号:y>yA+ +-J

5、+-o -o +工正弦、余割 余弦、正割(二)角与角之间的互换 公式组一s i r2： =2 si nzcos2. 222c o 二c o s-s i n- - 2 c o s.- -1 =1 2s i n、工cos(:工，P) =cos、工cos - -sin、工sin :cos(: - -) = cos 二 cos，,； ；sin sin -sin(:工P) =sin "cos ，cos、：sin 1,t a 2c(=2t an21 -t an、工tan(、工- I；)tan(? - -)sin(: - -) =sin _icos - -cosrsin :tan 二：；tan I

6、：-"1 -tan .：j tantan ：- Tan :1 tan .：itan解三角形(正弦、余弦定理)(1)三角形中的基本知识：大角对大边、内角和定理、任意两边之和大于第三边。内角和定理：在 AABC中，A + B+C=n, (A> 0,B a 0,C a 0)。从而有:_AB 二 C ，一，、， 人 a 一一A+B=n -C,=-一等变形条件，得出两角互补、互余三角函数关系。222(2)正弦、余弦定理在 MBC中，a,b,c分别是三角形内角 A,B,C的对边，R为AABC外接圆的半径。正弦定理：一_="_=_=2R sin A sin B sin C余弦定理：

7、a图像向右平 .移2个单位函数图像向平移)C 1 一 一=2x - 一，解得：口 , b2-2abcosC = c2,222b c -2bccosA = a222c a - 2ca cosB = b1 一一一 1 一二角形面积公式：S ABC absin C bcsniA = 221.-ca sin B =2abc4R重要的公式变形及应用:a = 2Rsin A, b=2RsinB, c=2RsinC,a sin Ab sin B2.2 .2b=a+c= 2sin B =sin A+sin C ； b =ac= sin B=sinAsinC.2 U22.ab-c .2.22.cosC =； s

8、in A +sin B -2sin Asin BcosC = sin C.2ab.三角函数图像变换(1)平移变换:y = f2(x 2) 1 = f (2x 5)y = f2(x-2) 1 = f (2x-3).1y = f (2x)232左右平移： 解题方法:例如，y = f (2x 1)y = f (2x 1)y = f (2x 1)令2(x人二), 1图像向左平 .移2个单位一 3所以，函数图像向右平移 一个单位。上下平移类似可得。2(2)伸缩变换.纵坐标不变.,左右伸缩：例如， y = f (2x 1)y y = f (4x 1)横坐标变为原来的121方法：f (2x1 +1) = f

9、 (cox2 +1)u 2x1 +1 = x2x2 +1 , x2 = x1,解得：o=4. 2例如，y = f(2x 1) 纵坐标不变y = f(!x 1)横坐标变为原来的y (21-万法：令2xi +1= x2+1= X2=4xi,横坐标变为原来的 4倍.2上下伸缩类似可得。三角函数图像变换是函数图象变换的特例。二卜三角题型及解题通法类型一 已知一些角的三角函数值，求另一些角的三角函数值通性通法：1 .分别列出已知角与所求角；2 .将所求角用已知角的和、差、倍、半表示；3 .利用和差角公式、二倍角公式以及同角三角函数之间的关系求值；4 .在变换过程中把握一个大方向：分式化整式；无理化有理；

10、多项式化单项式 例：.已知豆为锐角，且tan(土+口)=2。4(I)求tana的值；sin 2： cos 二 一sin :(II)求的值。cos2 ;类型二 与函数f (x) = A sing x+中)的图像、性质有关的问题通性通法：1 .利用三角变换将所给三角式化为同一个角、同一个函数名的形如f(x) =Asin(sx +平)+B9 >0)的形式:2 .通过换元，令t=cox+QxWD转化为y = Asin t + B,t亡M的形式；3 .利用正弦函数的图像与性质得出所求函数的周期性、对称性、单调性、最值等。例题、已知函数f (x) = Asin(cox +中)，(0 >0,|?

11、|r)部分图像如图所示。(1)求以中的值； H.(2)设 g(x) = f (x) f(x-) , 4求函数g(x)的单调递增区问。类型三与三角形有关问题通性通法：1 .利用A+B+C=180度减少角的种类；2 .根据题意画出三角形草图，分析三角形六个元素中那些是已知的， 那些是要求 的；3 .根据所求，选择正、余弦定理、三角形面积公式求解；4 .对于多解的情况注意检验、取舍。例题：在AABC中，角A、B、C所对的边分别为a,b,c,且a =1, c = J2,cos C =-4(1)求 sin(A + B)的值;(2)求sin A的值;(3)求CB CA的值。类型4、三角函数式的化简要遵循“

12、三看”原则.(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有 “切化弦”；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有 “遇到分式要通分”等.例题：(1)化简:sin2a+ cos2a 1 sin2a cos2a+ 1sin4 a2 0.八,2cos2-sin0- 1 已知tan2 8= 2点,兀 2 0< 2兀，化简:丁.&sin叶4)类型5、利用诱导公式化简求值时的原则为：1 .“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化

13、为 任意正角的三角函数.2 .“大化小”，利用公式一将大于2九的角的三角函数化为0到2九的三角函数，利用公式二将大于 180°的角的三角函数化为0到九的三角函数.二一223 .“小化锐”，利用公式六将大于的角化为0到 的 角的三角函数.4 .“锐求值”，得到0到工 的三角函数后，若是特殊角直 接求得，若是非特 殊角可由计算器求得.2.九，八.八sin(2 + 8) coS 九一8)例题.已知tan 8= 2,则=()冗.sin(2 8) Sin 九-8)A. 2B. -2_2C. 0D"3类型6、用同角三角函数的基本关系式求值1 .利用sin2a+ cos 1可以实现角a的

14、正弦、余弦的互化，利用 s”= tan a coSa可以实现角a的弦切互化.2 .应用公式时注意方程思想的应用：对于sina+ cosa, sin acosa, sin a cosa这三个式子，利用(sin a纪osa)2=1丝sin ocosa,可以知一求二.3 .应用sin2 a + coJ a = 1求sin a或cosa时，特别注意角a的三角函数值的符号，符号规律：“一全正，二正弦，三正切，四余弦” .4 .注意公式逆用及变形应用： 1 =sin2 a + coJ a , sin2 a = 1 cos a , cos a =21 sin一一 一。3 兀一 例题：已知sin(3张o)=2

15、sin(2 十 9,求下列各式的值:(1)*T； (2)sin2a+ sin2”5sina+ 2cos类型7、用两角和差和二倍角公式进行角的变换，求值和求角1 .当“已知角”有两个时，“所求角” 一般表示为两个时，所求角表示成“已知角”的和或差的形式；2 .当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与 “已知角”的和或差 的关系，然后应用诱导公式把“所 求角”变成“已知角”.3 .常见的配角技巧：a= 2 2 ； a= ( a+ 3 母3 + (a加；1a p ( p o) ; a 21(a+c 1.，八，片2(a+ 3 (a加；4+ a=注意：特殊的角也看成已知角，如 /=：(： 0).例

16、题：若 延(0, 2), cos(升 3)= 14，则 cosa=,类型8、证明三角恒等式(1)证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的的化繁为简、左右归一或变更论证.(2)三角恒等式的证明主要有两种类型：绝对恒等式与条彳牛恒等式证明绝对恒等式要根据等式两边的特征，化繁为简，左右归一，变更论证， 通过三角恒等式变换，使等式的两边化异为同.条件恒等式的证明则要认真观察，比较已知条件与求证等式之间的联系，选 择适当途径.常用代入法、消元法、两头凑等方法.例1求证:tan a+11一 =.冗 a cosatan4+2类型9、解sinx>a(cosQa)的方法1.用三角函数线解sinx&

17、gt;a(cosc>a)的方法(1)找出使sinx= a(cosx= a)的两个x b的终边所在位置.(2)根据变化趋势，确定不等式的解集.2、用三角函数的图象解 sinx>a(cosc>a, tanx>a)的方法.(1)作直线v= a,在三角函数的图象上找出一个周期内(不一定是0,2冗)在直线 y= a上方的图象.(2)确定 sinx=a(cos<=a, tanx=a)的 x 值，写出解集.例题.求函数y= >/sinx+yi6x2的定义域.类型10、求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下方法：(1)利用sinx、cos(的值域；(2)形式复杂的

18、函数应化为y=Asin(x+小)+k的形式逐步分析x+小的范围， 彳艮据正弦函数单调性写出y=Asin(x+(|) + k的值域；(3)换元法：把sinx、cos(看作一个整体，可化为二次函数.注意：换元后注意新元的范围.例题：.求下列函数的值域：sin2xsinx()y- 1 cost ,(2)y= sirx+ cosc+ sinxcosc.类型11.求三角函数周期的方法：(1)利用周期函数的定义.一一，、 一一一 一 一 一 一一，一一2 兀(2)利用公式：y= Asin(cD x+时和y=Acos(cox+时的取小正周期为y IM，,一 ，.一 兀= tan(cox+d)的最小正周期为

19、面.类型12.画y= Asin(在小图像用“五点法”作图应抓住四条：将原函数化为y= Asin(wx+ (A>0,>0)， 2兀一、，一或丫= Acos(cox+(|)(A>0,>0)的形式；求出周期丁=一；求出振幅 A;列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点.2.图象变换法(1)平移变换沿x轴平移，按“左加右减”法则；沿y轴平移，按“上加下减”法则.(2)伸缩变换沿x轴伸缩时，横坐标x伸长(0<必<1)或缩短一 1 .、(>1)为原来的飞倍(纵坐标y不变)；沿y轴伸缩时，纵坐标y伸长(A> 1)或缩短(0

20、<A<1)为原来的A倍(横坐标x不变).例题.设函数f(x)=sincox+ 43cos耳0>0)的周期为 九.(1)求它的振幅、初相；(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(3)说明函数f(x)的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变换而得到.类型13、确定y = Asin(升小升b的解析式的步骤(1)求A, b,确定函数的最大值 M和最小值m, M m M m则人:-2-, b= -2"-.求，确定函数的周期T,则3=中.(3)求小,常用方法有：代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A,，b已知)或代入图象与直线y =b的交点求解(此时要注意交点

21、在上升区间上还是在下降区间上 ).五点法：确定小值时，往往以寻找“五点法”中的第一零点(一',0)作为突破 口.具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为x+Q0; “第二点”(即图象的 -1T .峰点)为x+-2；第三点(即图象下降时与x轴的父点)为x+小=冗;“第四点”(即图象的“谷点”)为x+Q325; “第五点”为 x+-2冗.例题.已知函数f(x) = Asin(叶小)xC R(其中A>0 ,>0,0<小2)的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为 ,且图象上一个最低点为 M(§, -2). 3(1)求f(x)的解析式；,冗 冗 .(2)当x 石，2时，求f(x)的值域.类型14、求函数y = Asin(豆小的单调区问函数y= Asin(wx+(D(A>0,>0)的单调区间的确定，基本思路是把“x+.一 一 ，兀兀.6看作一个整体，比如：由2kL cox+产2k1（kCZ）解出x的范围所3得区间即为增区间，由2k兀+2&CDX+2 2k：t+ 2冗kC Z）解出x的范围，所得 区间即为减区间.2,若函数y= Asin（