圆周运动中临界问题

1、第 18 页 共 7 页教学目的:会运用受力分析及向心力公式解决圆周运动的临界问题教学重点:掌握解决圆周运动的两种典型的临界问题教学难点:会分析判断临界时的速度或受力特征教学内容一、有关概念1、向心加速度的概念2、向心力的意义（由一个力或几个力提供的效果力）二、内容1、在竖直平面内作圆周运动的临界问题（ 1）如图4 2 2 和图 4 2 3 所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况：v0图 4 2 2图 4 2 3临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用：mg=m v v临界 = Rg ；R能过最高点的条件：vRg ，当v>Rg 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力；

2、不能过最高点的条件：v< v 临界 （实际上球还没到最高点时就脱离了轨道）.（ 2）如图4 2 4 的球过最高点时，轻质杆对球产生的弹力情况：当v=0 时，FN =mg（ FN 为支持力）；当0< v<Rg时， FN随v增大而减小，且mg> FN>0，FN 为支持力；当 v= Rg 时， FN=0； 当v>Rg 时， FN为拉力，FN随 v的增大而增大端连接着一个质量m试讨论在下列两种情况若是图4 2 5 的小球在轨道的最高点时，如果vRg ，此时将脱离轨道做平抛运动，因为轨道对小球不能产生拉力.例 1 长 L 0.5m，质量可以忽略的的杆，其下端固定于O

3、点，上2kg 的小球A， A 绕 O 点做圆周运动（同图5），在A 通过最高点，下杆的受力：当 A 的速率v1 1m s时当 A 的速率v2 4m s时解析：V0= gL 10× 0.5 m s5 m s小球的速度大于5 m s时受拉力，小于 5 m s时受压力。4解法一：当v1 1m s<5 m s 时，小球受向下的重力mg 和mg N mN mg m2vL2vL 16Nmg即杆受小球的压力16N 。当v2 4m s>5 m s时，小球受向下的mg重力 mg 和向下的拉力F，由牛顿第二定律mg F2vF m L mg 44N即杆受小球的拉力44N 。解法二：小球在最高点

4、时既可以受拉力也可以受支持力，因此杆受小球的作用力也可以是拉力或者是压力。我们可不去做具体的判断而假设一个方向。如设杆竖直向下拉小球的情形。A ，则小球的受力就是上面解法中的22mg F m L 得F m（ L g）v1 1m s时，F1 16Nv2 4m s时，F2 44N 。F1 为负值，说明它的实际方向与所设的方向相反，即小球受力应向上，为支持力。则杆应受压力。F2为正值，说明它的实际方向与所设的方向相同，即小球受力就是向下的，是拉力。则杆也应受拉力。例 2 如图 4 所示，在倾角30°的光滑斜面上，有一长m 0.2 kg 的小球，使之在斜面上作圆周运动，求：（1） 小球（2）

5、 如细绳受到9.8N 的拉力就会断裂，求小球通过最低点l 0.4m 的细绳，一端固定在O点，另一端拴一质量为通过最高点A时最小速度；时的最大速度.2、在水平面内作圆周运动的临界问题在水平面上做圆周运动的物体，当角速度 变化时，B物体有远离或向着圆心运动的要根据物体的受力情况，判断物体受某个力是否存在以及这个力存在时方向朝哪绳的拉力等）。趋势。 这时，如静摩擦力、例 3 如图 9 所示， 一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为 30°，一条长度为L体可看质点），物体以速率v 绕圆锥体的轴线做水平匀速圆周运动。解析：设小球刚好对锥面没有压力时的速率为O

6、 处，另一端拴着一个质量为m 的小物体（物时，求绳对物体的拉力；当 v当 v32gL 时，求绳对物体的拉力。0 ，则有图9解得 062 3gl1）当gl 0时 , 有 T sin 30 N cos30ml sin 30（2分 ）T cos30 N sin 302）当l 0 时，小1 33mg （2分 ）解得Tmg 1 .03mg（2分 ）6球离开锥面，设绳与轴线夹角为，则Tcos mg（2分 ） Tsin m（2分 ） 解得 T 2mg（2分 ）l sin 30例 4 如图 6 所示，两绳系一质量为m 0.1kg 的小球，上面绳长L 2m，两端都拉直时与轴的夹角分别为30°与45&#

7、176;，问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧，当角速度为3 rad s时，上、下两绳拉力分别为多大？解析：当角速度 很小时，AC 和 BC 与轴的夹角都很小，BC并不张紧。当 逐渐增大到30°时，BC 才被拉直（这是一个临界状态），但 BC 绳中的张力仍然为零。设这时的角速度为 1，则有：TACcos30°mgTACsin30°m 12Lsin30 °将已知条件代入上式解得 1 2.4 rad s当角速度 继续增大时TAC 减小，TBC增大。设角速度达到 2时，TAC 0（这又是一个临界状态），则有：T BCcos45°mgTBCsin45

8、°m 22Lsin30 °将已知条件代入上式解得 2 3.16 rad s所以 当 满足 2.4 rad s 3.16 rad s， AC、 BC 两绳始终张紧。本题所给条件 3 rad s，此时两绳拉力TAC 、 TBC都存在。TACsin30°TBCsin45°m 2Lsin30 °TACcos30°T BCcos45°mg将数据代入上面两式解得TAC 0.27N，TBC 1.09N注意： 解题时注意圆心的位置（半径的大小）。如果 < 2.4 rad s时，TBC 0， AC 与轴的夹角小于30°。如果

9、> 3.16rad s时，TAC 0， BC 与轴的夹角大于45°。例 5 如图 7 所示，细绳一端系着质量M 0.6kg 的物体，静止在水平面上，另一端通过光滑的小孔吊着质量m0.3kg 的物体，M 的中与圆孔距离为0.2m，并知M 和水平面的最大静摩擦力为2N。现使此平面绕中心轴线转动，问角速度 在什么范围m 会处于静止状态？（g 10m s2） 先以m 0 为题引入，由浅入深解析：要使m 静止， M 也应与平面相对静止。而Mm图7与平面静止时有两个临界状态：当 为所求范围最小值时，M 有向着圆心运动的趋势，水平面对M 的静摩擦力的方向背离圆心，大小等于最大静摩擦力2N。此

10、时，对M 运用牛顿第二定律。有T fm M 12r且T mg解得 1 2.9 rad s当 为所求范围最大值时，最大静摩擦力2N。再对 M 运用牛顿第二定律M 有背离圆心运动的趋势，水平面对M 的静摩擦力的方向向着圆心，大小还等于解得 2 6.5 rad sT fm M 22r所以，题中所求 的范围是：2.9 rad s< < 6.5 rad s例 6 如图 8 所示，水平转盘上放有质量为m 的物块，当物块到物块和转轴的绳刚好被拉直（绳上张力为零）。 物体和转盘间最大 倍。求：当转盘角速度 1 2r 时，细绳的拉力T1。转轴的距离为r 时， 连接静摩擦力是其下压力的当转盘角速度 2

11、2r 时，细绳的拉力T2。解析： 设转动过程中物体与盘间恰好达到最大静摩擦力时转动的角速度为1 )因为擦力，细绳的拉力仍为0，即2)因为0，则FT则，对A： FfAm-F T=mrA 22、圆周运动3、连接体的临界问题例 1、如图所示，匀速转动的水平圆盘上，放有质量均为m 的小物体A、 B，A、 B 间用细线沿半径方向相连，它们到转轴距离分别为RA=20cm， RB=30cm。 A、 B 与盘面间的最大静摩擦力均为重力的0.4倍，试求：(1)当细线上开始出现张力时，圆盘的角速度 0；(2)当 A 开始滑动时，圆盘的角速度 ；(3)当即将滑动时，烧断细线，A、 B 状态如何?答案： (1) 当细

12、线上开始出现张力时，表明B 与盘间的静摩擦力已达到最大，设此时圆盘角速度为是 kmg=mrB 02解得：0 kg / rB =3.7rad/s(2) 当 A开始滑动时，表明A与盘的静摩擦力也已达到最大，设此时盘转动角速度为，线上拉力为对B： FfBm+FT=mrB 2又： FfAm=FfBm=kmg解得 =4rad/s 。(3) 烧断细线，A与盘间的静摩擦力减小，继续随盘做半径为rA=20cm的圆周运动，而 B由于FfBm不足以提供必要的向心力而做离心运动。答案： (1) 3.7rad/s (2) 4rad/s (3)A做圆周运动，B做离心运动分析： 1 、利用极限分析法的“放大”思想分析临界

13、状态。认清临界情景和条件，建立临界关系是解决此类问题的关键。中的连接体加速度一般不同，所以，解决这类连接体的动力学问题时一般用隔离法。但也可用整体法来求解。 1、汽车通过拱桥颗顶点的速度为10 m s 时，车对桥的压力为车重的4 。如果使汽车驶至桥顶时对桥恰无压力，则汽车的速度为A、 15 m s()B、 20 m sC、 25 m sD、2、如图所示，在匀速转动的圆盘上，沿直径方向上放置以细线相连的30m sA、 B 两个小物块。 A 的质量为B 的质量为A、 B 与盘面间相互作用的摩擦力最大值为其重力的0.5 倍，试求（ 1 ）当圆盘转动的角速度为多少时，细线上开始出现张力？（ 2）欲使A

14、、 B 与盘面间不发生相对滑动，则圆盘转动的最大角速度为多大？（）解析： （ 1） 较小时，A、 B 均由静摩擦力充当向心力，增大，可知，它们受到的静摩擦力也增大，而，所以 A 受到的静摩擦力先达到最大值。再增大，AB 间绳子开始受到拉力。由，得：（ 2）达到 后， 再增加，B 增大的向心力靠增加拉力及摩擦力共同来提供，A 增大的向心力靠增加拉力来提供，由于A 增大的向心力超过B 增加的向心力，再增加，B 所受摩擦力逐渐减小，直到为零，如再增加，B 所受的摩擦力就反向，直到达最大静摩擦力。如再增加，就不能维持匀速圆周运动了，A 、 B 就在圆盘上滑动起来。设此时角速度为，绳中张力为，对A、 B

15、 受力分析：对 A有对 B有联立解得：3、一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管半径大得多）。在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）。A 球的质量m1， B 球的质量为m2，它们沿环形管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v0，设A 球运动到最低点，B 球恰好运动到最高点。若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么（ 97 年高考题）m1、 m2、 R 与 v0 应满足的关系式是。4、如图39 3 所示，物体P 用两根长度相等、不可伸长的细线系于竖直杆上，它们随杆转动，若转动角速度为 ，则 ABC A 只有超过某一值时，绳子AP 才有拉力B 绳子 BP 的拉力随

16、的增大而增大C绳子BP 的张力一定大于绳子AP 的张力D 当 增大到一定程度时，绳AP 的张力大于BP 的张力5、 如图 2 所示， 在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细线连接的质量相等的两物体 A 和B，它们与盘间的摩擦因数相同当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，烧断细线，则两物体的运动情况将是【】A两物体均沿切线方向滑动B两物体均沿半径方向滑动，离圆盘圆心越来越远C两物体仍随圆盘一起做匀速圆周运动，不会发生滑动D物体A仍随圆盘一起做匀速圆周运动，不会发生滑动；物体 B 发生滑动，沿一条曲线向外运动，离圆盘圆心越来越远6、 半径为 R的光滑半圆球固定在水平面上，如图所示顶部有一小

17、物体v0= gR ，物体甲将A 沿球面下滑至M 点B 先沿球面下滑至某点N ，然后便离开球面做斜下抛运动C按半径大于R 的新的圆弧轨道做圆周运动D 立即离开半圆球做平抛运动7、长度为0 5m 的轻质细杆OA， A 端有一质量为3kg 的木球，以O 点为圆心，在竖直面内作圆周运动，如图所示，小球通过最高点的速度为2m/s，取g = 10 m/s2，则此时球对轻杆的力大小是，方向向。8、 如图所示，在匀速转动的水平盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量相等的两物体和B，它们与盘间的摩擦因数相同，当圆盘转速加快到两物体刚好没有发生滑动时，烧断细线，则两物体的运动情况将是A两物体均沿切线方向滑动B 两物

18、体均沿半径方向滑动，远离圆心C两物体仍随圆盘一起做匀速圆周运动，不会滑动D 物体 A 仍随圆盘做匀速圆周运动，物体B 沿曲线运动，远离圆心9、如图所示，木板B 托着木块A 在竖直平面内作匀速圆周运动，从与圆心相平的位置动到最高点b 的过程中()A、 B 对 A 的支持力越来越大B 、 B 对 A 的支持力越来越小C、 B 对 A 的摩擦力越来越大D 、 B 对 A 的摩擦力越来越小10、如图所示，两根长度相同的细绳，连接着相同的两个小球让它们在光滑的水平面内做匀速圆周运动，其中T1 T2 为 (O 为圆心，两段绳子在同一直线上，此时，两段绳子受到的拉力之比A、 1 1B、 2 1C、 3 2D

19、、 3 111、如图所示,小球 M 与穿过光滑水平板中央的小孔O 的轻绳相连，用手拉着绳的另一端使M 在水平板上作半径为a ， 角速度为 的匀速圆周运动，求： (1) 此时 M 的速率 .(2)若将绳子突然放松一段，O 作半径为b 的匀速圆周运动，求绳由放松到拉直的时间t .小球运动t 时R(比细管的半径大得多)，在圆管中有两个直径m1， B 球的质量为m2，它们沿环形圆管顺时针运动，B 球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的12、一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为与细管内径相同的小球(可视为质点)，A 球的质量为经过最低点时的速度都是v0，设A 球运动到最低点时，合力为零，那么m1， m2， R 与 v0应满足的关系。1一探照灯照射在云层底面上，云层底面是与地面平行的平面，如图所示，云层底面距地面高h，探照灯以角速度 在竖直平面内转动，当光束转到与竖直方向夹角为 时，云