数学分析研究五导数练习题

1、个人收集整理 仅供参考学习第五章 导数练习题1. 设lim xf (x)1，其中 f (0) 0，则f (0)等于( )x 0 1 cos2x( A)0(B)1(C)2(D)42. 设f (x)为可导函数且满足 lim f(a) f(a x) 1则曲线 y f(x)在 点(a，f (a)处的切线斜率为 ( ) ( A)2(B) 1(C)1(D) 2arctanx212 / 83.讨论4.f (x)x0x0，在 x 0 处地可导性 .证明 f (x)1x arctanx 0， x 0， 在 x 0处连续但不可导 .， x 0，5. 设 f(x)在 x 1处可导，且f(1) 2，求极限ltim0

2、f(1 s2int)3t f(1)6. 已知f (x0)5，求lxim0 f (x02x)f(x0x)1 cos3x f (x)7.设lim 21,其中f(x)在x 0处可导, f(0) 0则f (0)x 0x2 sin2x8.讨论 f (x)e ， x 0， 在 x 0处的可导性 .x 1， x 09.设 f (x)sinx，x 0x3求f (x)x ， x 0 610.22ln(x 2 a 2)设 f xsinb(x 1)， x 1，x 1 试确定常数 a,b使f (x)在 x 1处可导 ， x 1，x0sin ax，11. 设f (x)e2x b,x 0， 设x t2 tant t si

3、n(ln t) ，求x (t) 试确定常数 a,b, 使f (x)在x 0处可导3t214.设 y 13tt2 tan(2t)，求y (t)15 设y (cosx)sin x sec 3x，求y 1 x216. 设 y arcsin 2 arctan x, 求 y 1x1x17. 设 y arctan ，求 y 1x1 (n) ，求 y(n) 19.设 y x2 4x 318. 设f(x) ex lnx求f (x)20.设 y ln(x2 7x 12)求 y(n)121. 设 y(x) cos(sin )，求 dyx22. 设 y(x)23. 设y(x) sec3(lnx)，求dy 24.设

4、y( x)sin2x,求dyxln xx2x2 1 (x 1)，求d y25.设 y(x) arcsin(cosx)，求 dyx426.(x 1) x 2设 y (x3 (1x) 3x)2 2 ,求y 27. 设 y32x11 xx2 sin2 x,求y 28.设y y(x)由方程ex y yln x sin x所确定 ,求y 29.x设 y y( x)由方程arctan( xy)所确定 ,求y y30.x 2sint sin2tdy已知 确定了函数 y y(x)求 t 0 的值y 2cost cos2tdx31.x ln cost dyxy ltnanc(o1st et)，(0 t 2)确定

5、了函数 ,求 ddyx32.22 xy t2t3 2t3t2确定函数 y y(x)求 ddx2y33.x 1 t2d 2y确定了函数 y y(x) 试求 d 2y y costdx第六章 微分中值定理及其应用1. 验证罗尔定理对 f (x) x xx 2x 3在 1,3上的正确性 .2. 函数f(x) 1 10. 求极限lim e e 3x x2在 1,1上不具有罗尔定理的结论 ,其原因是由于 f (x)不满足 罗尔定理的一个条件； .3. 使函数f ( x) 3 x2(1 x2 )适合罗尔定理 ,条件的区间是34(A)0,1(B)1,1(C)2,2(D)3,x 0 1 cosx5514. 设

6、在f (x) 0,1 上连续 ,在(0,1)可导,且f (0) 1,f (1) ,求证 :在(0,1)内至少存在 e一点 , 使f ( ) e .5. 求证 :4ax3 3bx2 2cx a b c在(0,1)内至少一个根 .6. 设函数 f (x)在 0, 上连续 , 在 (0, )内可导 ,且f (0) 0, f ( ) 1,4 4 4试证明方程 cos2 xf (x) 1在(0, )内至少有一实根 .47. 设F(x) (x 1)f(x),其中f(x)在 1,2 具有一阶连续导数 ,在(1,2)内二阶可导,且 f (1) f(2) 0,试证明存在(1,2)使 F ( ) 0.8. 设f(

7、x)在0,1上连续,在(0,1)内可导,且f(1) 0,证明存在一点 c 使得2f (c) cf (c) 0.9. 证明 :当x 0时,x2 ln(1 x)2 2x.111. 求极限 lim( 1 sin 2 3x) ln cosx x012.x求极限 lim tan2x13. 求极限2ln(1 x2 ) lim x 0 1 x2 cosxex sinx x(1 x)14. 求极限 limx015. 设函数 f x 具有一阶连续导数f 1 cosxtanx2,且 f 0 0, f 0 2,试求 lim216. 设函数 f (x)具有连续二阶导数,且f(0) f (0), f (0) 6 , 试

8、求 lim f (sin x)17 .求f (x) x6在点 x0 1处的泰勒展开式 .118.求f (x)1 x的三阶麦克劳林展开式 (皮亚诺型余项 ).1 ex 1119. 试写出 f (x) 1 ( x 1)的n阶麦克劳林展开式 (带皮亚诺型余项 ).1 2x 224. 关于函数 y x2 ln x的极值正确结论为 ( )( A)有极大值 1 (B)有极小值1 (C )有极小值 0 (D ) 有极大值2e 2e25. 关于函数 y(x) (x 1)x29. 求 f (x) xe x在( ， )内的最值30. 由y 0,x 8,y x2围成的曲线边三角形 OAB,在曲边OB上求一点 , 使

9、得过此点所作的 y x2的切线与 OA, AB所围成的的三角形面积最大的极值正确结论是 ()( A)极小值 0，极大值 2(B)极小值 1,极大值 058(C)极大值 1,极小值 0(D)极大值 0,极小值 3 3 48 5 2526.求 y x4 2x2 5的极值 27.求函数 y ln x 的极值 x28. 求y x4 8x2 2在 1， 3 上的最大值 ,最小值31. 在铁道线 (假设是直线 )上有一点 A与原料供应站 B相距100km, 在铁道线外 有一工厂 C,且CA垂直于 AB(如图)且C,A相距20km已知汽车运费为 m元 t km, 火车的运费为 n元t km(m n)现准备在

10、A, B之间选一点 D,向工厂修建一条公 路, 使原料供应站 B运货到工厂所用运费最省 ,问D应选在何处 ?32. 点(0，1)是曲线 y ax3 bx2 c的拐点 , 则必有 ()(A) a 1，b 3，c 1(B) a任意， b 0，c 1(C) a 1，b 0，c任意(D)b 3a， a任意， c 133. 关于曲线 y x ln x凹凸性及拐点的正确结论是 ()x(A) 在(0， )内向上凹(B)在(0， )内向下凹(C)有拐点(e2，3e2 e 2)(D)有拐点(e，e 1)2e34. 曲线 y x3 6x 5在区间 0，1内的特性是( )(A) 单调上升 ,向上凹(B) 单调上升

11、,向下凹2x2关于 F(x) 填写下表(C )单调下降 ,向上凹( D ) 单调下降 ,向下凹1F(x)地单调性2F(x)地奇偶性3极值性4y=F(x) 地向上凹区间5y=F(x) 地向下凹区间6拐点35. 设y F (x)适合：x436.设函数y x 2 4讨论下列问题 x2(1) 函数的单调增减区间及极值(2) 函数图形的凹凸及拐点(3) 函数图形的渐近线上课例题1.设f(x)在 a,b 上连续,在a,b可导,且当x (a,b)时, f(x) 0若f(a) f(b) 0, 证明对任意实数 k存在点 (a b)使 ff( ) k.(提示：F(x) f(x)ekx) 2.设f(x)在0,1上连

12、续,在(0,1)内可导,且f(0) 0,证明在(0,1)内存在一点 c, 使cf (c) 2f(c) f (c)(提示： F (x) (x-1)2f(x)3. 设函数 f (x)在0,1上连续 ,在(0,1)内可导 ,且f (0) 0, f (1) , 4 试证明 ,方程 (1 x2) f (x) 1在(0,1)内至少有一个实根 .4. 证明方程 ex x2 3x 1 0有且仅有三个实根6.设函数 f (x)具有二阶导数7. 设f ( x)具有连续一阶导数f (x) x2x5. 设f(x)在1,e上连续,在(1,e)内可导,且f (1) 0,f (e) 1, 证明方程 ,xf (x) 1在(1

13、,e)内至少有一实根 .,且f(0) 0,f (0) 1,f (0) 2,试求lim x0,且f(1) 0,f (1) 2,试求lxim0 f (sinxtaxn xcosx) .8.设f (x)在a h,a h上有直至 4阶的导数且 f(a h) f (a h) f (a) 0，f(4) (x) M，试证明 f (a) M h2.12求f(x)1 2 在点x0 1处的四阶泰勒展开式 (不要求写出余项的具体 表示式 ).2x x2求f (x) x4 2x3 1在x0 2处的泰勒展开式 .求f (x) sin2 x的2n 1阶麦克劳林展开式 (带高阶无穷小型余项 ).x22利用泰勒公式计算下列极

14、限 lim cosx 4ex 0x4ex3 1 x3求极限 lim e 61 xx 0 sin 6 2x版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理 版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.b5E2RGbCAP用户可将本文地内容或服务用于个人学习、 研究或欣赏， 以及其 他非商业性或非盈利性用途， 但同时应遵守著作权法及其他相关法律 地规定，不得侵犯本网站及相关权利人地合法权利 . 除此以外，将本

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