第22讲计数综合一-完整版

1、第 22 讲 计数综合一内容概述 巩固以前学过的各种方法， 综合应用分类与分布思想、 排列与组合公式及枚 举法来解决较复杂的计数问题； 学会使用排除法、 捆绑法、插空法解决排队问题。典型问题兴趣篇1 现有面值 1 元的钞票 3 张，面值 5 元的钞票 1 张，面值 10 元的钞票 2 张如果从中取出一些钞票 （至少取 1 张），一共可能凑出多少种不同的总钱数？答案：23 种解析：方法一：钞票总数并不多，可以直接使用字典排序法枚举，总共有23 种不同的钱数，方法二：只取 1 元的，可能的钱数有 1、 2、 3 元；如果取一张 5 元的，再取 1 元的，那么可能的钱数有 5、 6、 7、8 元；如

2、果不取 5 元，而取一张 10 元的，再取 1 元的，可能的钱数有 10 、11 、12 、11 元； 因为 1 元的很少，可以根据 10 元和 5 元的选取情况来分段考虑，这两种钞 票可以凑成 5、10 、15、 20、25 这些钱数，共有 5 类，加上 1 元的，每类可以 有 4 种不同的钱数但还有一类是只选 1 元的，共 3 种，所以，总共不同的钱 数有 3+4 ×5=23 种方法三：因为 1元的共 3张，不可能凑成 5元；1 元、5元的共 8 元，不可 能凑成 10 元，故可用乘法原理 取 10 元的，有 3 种取法（不取也算作一种） ； 取 5 元的，有 2 种取法； 取

3、1 元的，有 4 种取法但是要注意，一张钞票都不取并不符合要求 所以用乘法原理， 得总共的取 法有 3×2×4-1= 23 （种）对应的钱数就有 23 种2 一本书从第 1 页开始编排页码，到最后一页结束时共用了 1983 个数码， 这本书一 共有多少页？答案： 697 页解析：按照数的位数来进行分类： 一位数从 1 到 9，有 9 个数？共有 1×9=9 个数字； 两位数从 10 到 99，有 99-10+1=90 个数， 2×90=180 个数字； 三位数从 100 到 999 ，有 999-100+1= 900 个数，共有 3×900 2

4、700 个 数字，此时，已经有 9+180+2700=2889 个数字了，比题目给出的 1983 还大， 所以，这太书的页码肯定是个三位数每个三位数有 3 个数字，所以，本书一共 有(1983 -9 - 180) ÷3=598 个三位数的页码 100 是第一个三位数的页码，所以 第 598 个三位数页码是 100+598 -1=697 ，所以这本书一共有 697 页。3 卡莉娅带着萱萱、小高、墨莫一起到圆明园游玩，他们 4 人站成一排照 相，其中卡莉娅要站在最左边或者最右边一共有多少种不同的站法？答案：12 种解析：方法一：如图： 卡莉娅只能站在最左边或者最右边，也就是说只有位置 1

5、 和 4 这 2 种可 能， 萱萱能站在除卡莉娅的位置以外的其他三个位置当中的一个， 则有 3 种可 能类似地，小高有 2 种可能，墨莫有 1 种可能根据乘法原理，总共有 2×3×2×1=12 种不同的排列方法 方法二：如果卡莉娅站在最左边， 那么萱萱、 小高、墨莫需要站到位置 2、 3、4 中去总共有 A33 种排列方法，如果卡莉娅站在最右边？剩下的 3 人站到位置 1、2 、3 中去，也有躺种 排列方法总共有 A33 A33 =6+6=12 种排列方法4 有 13 个球队参加篮球比赛，比赛分两个组，第一组 7 个队，第二组 6 个队，各组内先进行单循环赛（即每

6、队都要与本组中其他各队比赛一场） ，然后 由两组的第 1 名再比赛一场决定冠亚军请问：一共需要比赛多少场？答案：37 场解析：第一组的单循环比赛场数，就是从 7 个队中选取 2 个队的组合数，2共有 C72 =21 场第二组的单循环此赛场数， 是从 6 个队中选取 2 个队的组合数， 共有 C62 =15场.冠亚军决赛还有 1 场比赛所以，总共的比赛场数是 21+15+1=37 场5 从 5 瓶不同的纯净水， 2 瓶不同的可乐和 6 瓶不同的果汁中，拿出 2 瓶 不同类型的饮料，一共有多少种不同的选法？答案：52 种解析：方法一：拿纯净水和可乐，有 5×2=10 种不同的拿法；拿纯净

7、水和果汁，有 5×6=30 种不同的拿法； 拿可乐和果汁， 有 2×6=12 种不同的拿法， 所以，总共有 10+30+12=52 种不同的拿法方法二：如果从所有的 13 瓶饮料中任选 2 瓶，共有 C123 =78 种不同的拿法其中 2 瓶饮料同类型的情况有：拿出 2 瓶纯净水，从 5 瓶纯净水中选出 2 瓶，有 C52 =10 种方法；拿出 2 瓶可乐，有 C22=1 种方法； 拿出 2 瓶果汁，有 C62=15 种方法排除上面的三和情况，就是拿出 Z 瓶不同类型饮料的方法数，总共有78-(10+1+15)=52 种6 从 3 个黄色的乒乓球和 4 个白色的乒乓球中，任

8、意取出 3 个乒乓球，其 中至少有一个白色乒乓球的取法有多少种？答案：34 种解析：方法一：取 2 个黄色的乒乓球和 1 个白色的乒乓球，有 C32 C41=3 ×4=12 种方法；取 1 个黄色的乒乓球和 2 个白色的乒乓球，有 C31 C42 =3×6=18 种方法；取 3 个白色的乒乓球，有 C43=4 种方法 所以，至少有一个白色乒乓球的取法有 12+18+4=34（ 种 ）方法二：从 7 个乒乓球中，任意取出 3 个乒乓球，共有 C73=35 种方法，而 其中没有白色乒乓球的取法有C33 =1 种，所以，至少有一个白色乒乓球的取法有 35-1=34 种7 从 1

9、9 中取出 7 个不同的数，要求它们的和是 36，共有多少种不同的 取法？答案:4种解析：因为 1+2+3+4+0+6+7+8+9=45 ，所以要选出 7 个不同的数字和为 36， 只需要考虑剩下的 2 个数字之和应该是 45-36=9.2 个数字和为 9 的可能性有 1+8 ，2+7 ，3+6 ，4+5 共 4 种，所以选出 7 个不同数字凑成 36 的不同方法也有 4.8 用 0 4 这 5 个数字可以组成多少个没有重复数字的五位数？答案：96 个解析：方法一：万位是最高位，不能填 0，只能在 1、2、3、4 中选取， 有 4 种选择干位可以选择除万位之外的其他任何数字，有 4 种选择 类

10、似地，百位有 3 种选择， +位有 2种选择，个位只有 1种选择 由乘法原理，共有 4×4 ×3×2×l=96 个不同的没有重复数字的五位数 方法二：O 不能排在首位，有 4 个位置可选择剩下的 4 个数排在剩下的 4 个位置上，有 A44 =24 种不同的排法，所以总共有 4×篾一96 个不同的没有重复 数字的五位数方法三： 5 个数字不考虑位置，有雕种可能，其中 O 在首位，有越种可能， 所以答案为 A55 A44 =120 24=96（个）9 用两个 1 、一个 2 、一个 3 、一个 4 可以组成多少个不同的五位数？答案：60 个解析：

11、方法一：从 5 个数位中选出 2 个来填 1，这个选取是没有顺序的，有 C52 =10 种方法，然后把 2、3、4 这三个数字填入剩下的 3 个数位上，有 A33=6 种填法 根据乘法原理，共有 C52 A33 =10 ×6=60 个不同的五位数方法二：从 5 个数位中选出 3 个来依次填上 2、3、4，这个选取是有顺序的， 有 A53=60 种方法，剩下的 2 个数位都必然填上 1所以 2、3 、4 的 60 种填法对 应着 60 个不同的五位数 .10. 5 名同学排成一排照相，如果阿呆和阿瓜一定要站在一起，有多少种照 相的方式？答案：48 种解析：如果把阿呆和阿瓜捆在一起， 则

12、相当于 4 名同学排成一排照相， 有成 种照相的方式，而阿呆和阿瓜还有 A22 排列方式根据乘法原理，共有 A44 A22 =24×2=48 种照相的方式拓展篇1 把自然数 12008 依次写成一排，得到一个多位数：123456789101112130620072008.请问： (l) 这个多位数一共有多少位？(2) 从左向右数，这个多位数的第 2008 个数字是多少？答案：( 1) 6925 位 (2)7解析：(1)19 是一位数，共有 9 个，因此占了这个数的前 9个数位；10 99 是两位数，共有 99-10+1=90 个，占了 2×90=180 个数位；100 99

13、9 是三位数，共有 999-100+1=900 个，占了 3×900=2700 个数位；1000 2008 是四位数，共有 2008-1000+1=1009 个，占了 4×1009=4036 个数位这个多位数有 9+180+2700+4036=6925 位(2) -位数和两位数一共占了这个多位数中的 9+180=189 个数位，而一位数、 两位数和三位数共占了 189+2700=2889 个数位，因此这令多位数的第 2008 位 数字一定是某个三位数的数位除去一位数和两位数的 189 个数位，所求数字是三位数中的第 2008-189= 1819 个数字，由于 1819 &#

14、247;3=606 1，因此第 20J8 位数字是第 607 个三位数的首位， 即 100+607-1=706 的首位，答案是 7 2 商场里举行抽奖活动，在一个大箱子里放着 9 个球，其中红色的、黄色 的和绿色的球各有 3 个，而且每种颜色的球都分别标有 1、2、3 号顾客从箱子里摸出 3 个球，如果 3个球的颜色全相同或者各不相同， 就可以中奖 已知这两种中奖方 式分别被设定为一等奖和二等奖， 并且一等奖比二等奖少 问：到底哪神中奖方 式是一等奖，哪种是二等奖呢？答案：摸出 3 个颜色相同的球是一等奖，摸出 3 个颜色各不相同的球是二解析：先考虑摸出 3 个颜色相同的球的方法数：如果 3

15、个球都是红球，由 于红球只有 3 个，所以只有 1种摸球方法，就是把红球全摸到，同样地， 3 个球 都是黄球或绿球，也各有 1 种摸球方法由加法原理，一共有 1+1+1=3 种方法再考虑摸出 3 个颜色各不相同的球的方法数： 由于摸出的球一定是红球、 黄 球、绿球各一个，于是分成三步考虑：先摸出 1 个红球，再摸出 1 个黄球，最 后摸出 1 个绿球由乘法原理，一共有 3×3×3=27 种诜法由题意，一等奖比二等奖少，因此摸出 3 个颜色相同的球是一等奖，摸出 3 个颜色各不相同的球是二等奖3 工厂某日生产的 10 件产品中有 2 件次品，从这 10 件产品中任意抽出 3

16、件进行检 查请问： (l) - 共有多少种不同的抽法？(2) 抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种？(3) 抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种？答案： (1) 120种(2) 56 种(3) 64种 解析：(l)要从10件产品中任意抽出 3件，一共有C130 = 120 种抽法(2)分2步：先抽出 1件次品，再抽出 2件正品根据乘法原理，共有C21 C82=56 种抽法(3)方法一：分 2 类：如果抽出的是 1 件次品和 2 件正品，由( 2)得，这 样的抽法有 56 种如果抽出的是 2 件次品和 1 件正品这样的抽法法有 C22 C81=8 种 由加法原理，至少

17、有：件次品的抽法有 56+8=64( 种)方法二：如果抽出的 3 件中没有次品，显然都是正品从 8 件正品中任意 抽出 3 件，有 C83 =56 种抽法由(1)得全部的抽法有 120 种，因此至少有 1 件次品的抽法就有 120-56=64 种4 从 4 台不同型号的等离子电视机和 5 台不同型号的液晶电视机中任意取 出 3 台，其中等离子电视机与液晶电视机至少要各有 1 台，一共有多少种不同的 取法？答案：70 种解析：方法一取怕等离子电视机和 2 台液晶电视机可以假定先从 4 台等离子电视机中再从 5 台液晶电视机中挑出 2 台，总共有 C41 C52=40 种不同的 取法取2台等离子电

18、视机和 1台液晶电视机，总共有 C42 C51 =30种不同的取法， 所以，总共有 40+30=70 种不同的取法方法二：如果从 9 台电视机中任选 3 台，一共有 C93=84 种可能， 其中不符合题意的是，只选取了某一种电视机，分为两类情况： 只选取了 3 台等离子电视饥，有 C43=4 种可能；只选取了 3 台液晶电视机，有 C53 =10 种可能 所以，要想两种电视机至少各取 1 台，一共有 84-(4+10)=70 种不同的选法5 如图 22 -1 ，在半圆弧及其直径上共有 9 个点，以这些点为顶 点可画出多少个三角形？答案：80 个解析：方法一： 三角形的三个顶点不能都在直径上，

19、因此我们可以把满足题 意的取点方法分成三种：直径上没有选出的点，有 1 种方法（一个都不选） 从半圆弧上选出 3 个3点，有 Ci 种方法，根据乘法原理，共有 1 ×C5 种选法，从直径上选出 1 个点，余下的 2 个顶点要从半圆弧上选择， 共有C41 C52种 方法，从直径上选出 2 个点，余下的 1 个顶点要在半圆弧上选择， 共有 C42 C51种 方法综上所述，在原图中一共可以画出三角形1 C53 C41 C52 C42 C51 80个方法二：从全部 9 个点中，任意选取 3 个点，有 C93 种方法，唯一不能画出 三角形的选法，是 3 个点都在直径上的情况，这一共有 C43

20、种方法，因此，要使得选出的 3个点能构成三角形，共有 C93 - C43 =80 种方法，相应地 可画出 80 个三角形 .6 6 名学生和 4 名老师分成红、 蓝两队拔河， 要求每个队都是 3 名学生和 2 名老师一共有多少种分队的方法？答案： 120 种解析：先确定红队的人选，可以分为两步考虑：从 6 名学生中选出 3 人，有 C6 种选法；从 4 名老师中选出 2 人，有 C42 种选法，根据乘法原理，组成红队一共有 C63 ×C42 = 20 ×6=120 种方法， 当红队人员确定后， 余下的 5 人自然就组成蓝队了， 因此分队方法就是 120 种。7 在所有不超过

21、 1000 的自然数中，数字 9- 共出现了多少次？答案： 300 次解析：方法一：第一类 099:只有个位是 9 的，它们是 9、19 、29、39、49、59 、69、79、89，一共 出现了 9 个数字 9十位是 9 的（个位也可以是 9），90 到 99 这 10 个数的十位都是 9，由于99 当中含有 2 个教字 9，所以一共出现了 11 个数字 9所以，在 O 到99 之间，数字 9-共出现了 9+11=20 次第二类，100199：同第一类，共出现 20 次；同样地，200299，800899 这几类中，每类中数字 9都出现 20 次。 第十类， 900999：这 100 个数都

22、含有数字 9，而每个数的百位都是 9， 所以这一类比其他类多了 100 个数字 9数字 9 总共出现了 20+100=120 次综合起来，在 0999 中，数字 9-共出现了 20×9+120=300（ 次 ）方法二：9 出现在百位时，个位和十位都可以在 O9 中任选一个，也就是 说，9 在百位出现了10×10=100 （次）9 出现在十位时，有两种情况：如果这是一个两位数，那么个位可以在 O9 中任选一个，有 10 个如果这是一个三位数，那么百位可在 1 9 中选择，个位可在 O 9 中选 择，有 9×10=90 个，所以 9 在十位时也出现了 100 次9 出

23、现在个位时，要考虑一位数、两位数、三位数的情况， 9 出现的次数为 1+9+90=100 次，因此，从 0 999 中，数字 9-共出现了 100+100 +100=300 （次）方法三：9 出现在百位时，个位和十位都可以在 O9 中任选一个，也就是 说， 9在百位出现了 10×10=100 （次）9 出现在十位时，先约定，如果第一个空格填 O，比如 093 ，指的就是两位数 93 ，这样百位和个位都可在 O 9 中任意选择，总共有 10 ×10=100 个数类似地， 9 在个位也出现了 100 次，那么 0999 ，数字 9 共出现了100+100+100=300 （次）

24、8 10 个人围成一圈，从中选出 3 个人，要求这 3 个人中恰有 2 人相邻，一 共有多少种 不同选法？答案：60 种解析：如图，把这 10 个人分别用字母 AJ 表示，从圆周排列的 10 个人中选出相邻 2 人，有 10 种方法，分别是 AB 、BC 、 CD、DE、EF、FG、GH、HI、IJ、JA从余下的 8 人中选出第三个人，他与上步选出的相邻 2 人都不相邻， 那么这个人不能是与他们相邻的左右两人，因此有 8-2=6 种选法由乘法原理，选出的 3 个人中恰有 2 人相邻，共有 10 ×6=60 种选法9. 用 0 5 这 6 个数字可以组成多少个没有重复数字的四位数？其中

25、偶数 有多少个？答案： 300个； 156 个解析：(1) 千位不是 O，可以从 15 中任意选择， 有 5 种选法；百位、十位、 个位互相不能重复，这时在 05中除去千位数字，再从剩下的 5 个数字中选取 3 个进行排列，有 A53 种选法由乘法原理可知， 由 05组成的没有重复数字的四位数， 有5×A53=300 个.(2) 方法一：如果个位是 O，那么千位、百位、十位可以从 15 中任意选取 后排列，一共有 A53 种方法如果个位是 2 或 4，那么千位可以从 15 中余下的 4 个数字中选择，有 4 种方法；百位、十位可以从除去个位和千位之外的 4 个数字中选择并排列， 有越

26、 种方法，根据乘法原理，一共有 2×4×A42 种方法综上所述，有 A53+2 ×4×A42 =156 个，方法二：也可以计算奇数有多少个， 就不需要分类了， 然后用总共的情况减 去奇数的个数，剩余的就是偶数的个数 .10 用 1 4 这 4 个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？这些三位 数的和是多少？答案：24 个；6660解析 ;(1)无重复数字的三位数共有 A43=24 个(2) 百位上填 1 时，十位和个位还有 A2 种排法；百位上填 2、3、4 时，也分别有 A2 种排法，因此，在百位上 1、2、3、4 各出 现了 6 次，百位上的数字求

27、和是 6×(1+2+3+4)=60 同理，十位和个位上的和也是 60，所以这 24 个数的和就是 60×100+60 × 10+60=6660.11. 用两个 1 、两个 2 、两个 3 可以组成多少个不同的六位数？答案：90 个解析：考虑两个 1的位置，从6个数位中选出 2个，数位填人 1，有C62种 方法考虑两个 2 的位置，在两个 1 的位置确定后(如图 1 所示)，从余下的 4 个数位中选出 2 个，并填上数字 2，有 C42 种方法考虑两个 3 的位置，当数字 l 和 12 的位置确定后(如图 2 所示)，只余下 两个数位可选择，有 C22 种填法根据乘

28、法原理，由两个 1、两个 2、两个 3 组成的六位数有 A55= 15×6×1=90个12 5 名同学站成一排，在下列不同的要求下，请分别求出有多少种不同的 站法(1) 5 个人站成一排；(2) 5 个人站成一排，小强必须站在中间；(3) 5 个人站成一排，小强、大强必须有一人站在中间；(4) 5 个人站成一排，小强、大强必须站在两边；(5) 5 个人站成一排，小强、大强都没有站在边上答案： (1) 120 种(2)24 种(3) 48 种(4) 12 种(5) 36 种 解析： (1)5 名同学站成一排，有 A55 =120种方法(2) 如图 1，小强站在中间，只有 1

29、种选择； 其余 4 个人按顺序站在其余 4 个位置上，有 A44 种站法由乘法原理，小强必须站在中间的站法有1 A44 24种(3) 如图 2，考虑中间位置的站法，只能是从小强、大强中挑选一个人，有2 种选择，余下的 4 个人分别站 4 个位置，有 A44 种站法由乘法原理，小强、大强必须有一人站在中间，有 2 A44 =2×24=48 种站法(4) 如图 3，小强和大强必须站在两边，有 A33 种站法；余下 3 人随意站中间 3 个位置，有 A3 种站法由乘法原理，小强和大强必须站在两边，一共有 A22 A33 =2×1×3×2×1=12 种

30、 站法(5) 如图 4，小强和大强都不在边上，那么只能在中间三个位置中的两个， 有 A2 种站法；再考虑其余 3 人，他们分别站在余下的 3 个位置上，有 A33种站法由乘法原理，小强和大强都没有站边上的站法 A32 A33=3 ×2×3×2×1=36 种13 6 名小朋友 A、B、C、D、E、F 站成一排请问：(1) 若 A、B 两人必须相邻，一共有多少种不同的站法？(2) 若 A、B 两人不能相邻，一共有多少种不同的站法？答案：( 1) 240 种 (2) 480 种解析： (1)把 A、B 两人看作一个整体来分析：AB 与 C、D、 E、F 站成一

31、行，有 A55种站法；把 AB 这个整体拆开，可以是 A 左 B 右，或者 A 右 B 左，因此有 2 种站法由 乘法原理， A、B 两人必须相邻的站法共有 A55×2=240 种(2)6 名小朋友所有的站法有 A65种，其中 A、B 两人必须相邻的站法有 A55 ×2 种，那么 A、B 两人不能相邻的站法有 A66 A55 2 =720-240=480 种。14 学校乒乓球队一共有 4 名男生和 3 名女生，某次比赛后他们站成一排照 相请问：(1) 如果要求男生不能相邻，一共有多少种不同的站法？(2) 如果要求女生都站在一起，一共有多少种不同的站法？答案： (1) 144

32、 种(2) 720 种解析： (1)男生不相邻，那么每两个男生之间都有女生，由于男生有4 个，而女生只有 3 个，因此每两个男生之间恰好有一个女生，而且队伍的两端都是 男生，这样，男生和女生的位置就都固定了，如图 1 所示：4 个男生站在 4 个位置上，有 A44 种站法；3 个女生站在男生中间的 3 个位置上，有 A33 种站法根据乘法原理，男生不能相邻的站法一共有 A44 A33=4×3×2×1×3×2×1= 144种(2)方法一：由于女生都站在一起，那么她们有 5 个位置可以选择，如图 2 所示：当男生与女生各自的位置都确定后，

33、 4个男生、 3 个女生分别站人对应的位 量中，有 A44 A33 种站法，根据乘法原理，要求 3 个女生都站在一起的站法有 5 A44 A33 =5×24×6=720种，方法二：把 3个女生看作一个整体，与 4 个男生站成一行，有 A55种站法；3 个女生直接的排列顺序， 有 A33 种站法，根据乘法原理 女生都站在一起 的站法共有53A55 A33 = 120 ×6=720 (种)超越篇1 有 6 种不同颜色的小球，请问：(1) 如果每种颜色的球都只有 1 个，从这些球中取出 3 个排成一列，共有多少种 方法？(2) 如果每种颜色的球都只有 1 个，从这些球中

34、取出 3 个装到袋中，共有多少种 方法？(3) 如果每种颜色的球都足够多，从这些球中取出 3 个排成一列，共有多少种方 法？(4) 如果每种颜色的球都足够多，从达些球中取出 3 个装到袋中，共有多少种方 法？答案:(1) 120 种(2) 20 种(3) 216 种(4) 56 种解析： (1)每种颜色的球只有 1 个，也就是说恰好有 6 个不同的球从 6 个 不同的球中取出 3 个并排列，直接由排列公式得 A63=120 种方法(2)每种颜色的球有 1 个要从这 6 个不同的球中取出 3 个来装入袋中，不 需要考虑顺序，直接由组合公式得 C63 =20 和方法(3) 如图，位置 1 上可能有

35、 6 种选择由于每种球都足够多，位置 2 上 也有 6 种选择 位置 3 上也有 6 种选择由乘法原理，一共有 6×6×6 = 216 种方法(4) 3 个球的颜色都相同那么只要选定 1 种 l颜色就可以了，有 C51种 3 个球中有 2 个球颜色相同，另 1 个球不同a. 选定 1 种颜色，并从中取出 2 个球(这种颜色里的所有球都一样) ，有 a 种方法；b. 从剩下的 5 种颜色的球中选定 1 种颜色，并取 出 1 个球，有 a 种方法， 综合 a、b，有 C61 C51 种方洼3个球的颜色都不相同，这时， 从 6 种颜色中选定 3 种颜色，各取出 1 个 球即可，有

36、 C63 种，综合，共有 C16 C61 C51 C63 =56 种方法，2. 有一些四位数的 4 个数字分别是 2 个不同的奇数和 2 个不同的偶数，而 且不含有数字 0这样的四位数有几个？答案： 1440 个解析：确定组成四位数的 4 个数字先从 1、3、5、7、9 这 5 个奇数中选出 2 个，有 C52 种方法；再从 2、4、6、8 这 4 个偶数中选出 2 个，有 C4 种方法，由乘法原理，有 C5 C4 种方法， 将所选出的 4 个数字任意排序，有 A44 方法， 综合，最终可以得到所有满足要求的四位数， 一共有 (C52 C42) A44 =1440 个.3 用 1 4 这 4

37、个数字组成四位数，至多允许有 1 个数字重复两次例如 1234、1233和 2414是满足条件的，而 1212、 3334和 3333都不满足条件请问：一共能组 成多少个满足条件的四位数？答案： 168 个解析： 4 个数字互不相同1、2、3、4这 4个数字每个数字都会被用一遍，将 4个不同的数字任意排 列，有 A44 =24 种， 恰有 1 个数字重复 2 次A.确定组成四位数的数字， 先选出重复 2次的那个数字， 有 4种选法；再选 出不重复的 2 个数字，有 C32种方法所以共有 4 C32 种方法；b将选出的 4 个数字填入 4 个空位中，先从 4 个空位中选出 2 个填人重复 的那个

38、数字，有 C42 种方法；再将另外 2 个数字填入剩下的两个空位中并排序， 有 A22种方法，所以共有 C42 A22 种方法结合 a、b，恰有 1 个数字重复 2 次时，一共有 (4 C32) (C42 A 22) 144种方 法，综合两类情况，满足题意的匹位数一共有 24+144=168 个，4 四年级 (3) 班举行“六一”儿童节联欢活动，整个活动由 2 个舞蹈、 2 个演唱和 3个小品组成请问： (1) 如果要求同类型的节目连续演出，那么一共 有多少种不同的出场顺序？(2) 如果第一个和最后一个节目不能是小品，那么一共有多少种不同的出场 顺序？答案： (1)144 种(2)1440 种

39、解析： (1)将舞蹈、演唱、小品三组 j 芎目排序，有 A 33种排法；分别把每一组中的节目进行排序A.排 3 个小品的顺序，有 A 33种；b排 2 个舞蹈的顺序，有 A22 种；c. 排 2 个演唱的顺序，有种 A 22由乘法原理，一共有 A 22 A22 A33 种，综合两类情况，满足题意的出场顺序一共有 A33 (A 33 A22 A 22 ) =144 种(2)题目规定了第一个和最后一个节目都不能是小品，如图所示：小品只能排在中间的 5 个空位中 从中间 j个空位中选出 3 个来安排小品，并排序，有 A63种 将另外的 4 个节目排在剩下的 4 个空位中有 A44 种所以一共有 A5

40、3 A44 =1440 种不同的出场顺序。5 在一次合唱比赛中， 有身高互不相同的 8 个人要站成两排， 每排 4 个人， 且前后对 齐，而且第二排的每个人都要比他前面的那个人高， 这样才不会被挡住 那么一 共有多少种不同的排队方法？答案： 2520 种解析：如图，把两排人划分成 4 小列之后，只要依次挑出每列的 2 个人， 矮的站在前面，高的站在后面就可以确定第 1 列的排法先从 8 个人中挑出 2 个，有 C82 种方法，其中矮的站 第一排，高的站在第二排，前后顺序已经固定，不需要再进行排列确定第 2 列的排法现在从剩下的 6 个人中挑出 2 个，前矮后高即可， 有 C62 种方法 同理，再分别确定第 3 列和第 4 列的排法，分别有 C42 和C22种方法综合，得到所有满足题意的排队方法有C82 C62 C42 C22= 2520 种6 有 9 张同样大小的圆形纸片，其中标有数字“ 1”的纸片有 1 张；标有数 字“ 2”的纸片有 2 张；标有数字“ 3”的纸片有 3 张；标有数字“ 4”的纸片也 有 3 张，把这 9 张圆形纸片如图 22-2 所示放置在