积分方程一般概念与弗雷德霍姆方程

1、7 / 13第十五章 积分方程积分方程论是泛函分析的一个重要分支，它是研究数学其他学科(例如偏微分方程边值 问题)和各种物理问题的一个重要数学工具。本章叙述线性积分方程，重点介绍弗雷德霍姆 积分方程的性质和解法；并简略地介绍了沃尔泰拉积分方程以及一些奇异积分方程；此外， 还扼要地叙述积分方程的逐次逼近法和预解核，并举例说明近似解法；最后考察了一个非线 性积分方程。1 积分方程一般概念与弗雷德霍姆方程一 . 积分方程一般概念1. 积分方程的定义与分类(1)线形积分方程 在积分号下包含未知函数 y(x)的方程 bx y x F x K( x, )y( )da称为积分方程。式中(x),F(x)和K(

2、x,)是已知函数，,a,b是常数，变量x和可取区间 (a,b) 内的一切值； K(x,)称为积分方程的核， F(x)称为自由项，称为方程的参数。如果 K(x,) 关于 x, 是对称函数，就称方程 (1)是具有对称核的积分方程；如果方程中的未知函数是一次的，就称为线性积分方程， 方程 (1)就是线性积分方程的一般形式； 如果 F(x)0，就称方程 (1) 为齐次积分方程，否则称为非齐次积分方程。一维弗雷德霍姆积分方程( Fr 方程)第一类 Fr 方程K(x, ) y( ) dF (x)a第二类 Fr 方程y(x) F(x)K(x, ) y( ) da第三类 Fr 方程b(x)y( x) F (

3、x)K(x, ) y( ) dan 维弗雷德霍姆积分方程 (P) y(P) F (P) K(P,P1)y(P1)dP1称为 n维弗雷德霍姆积分方程，式中 D是 n维空间中的区域， P,P1 D，它们的坐标分别是 (x1,x2, ,xn)和 (x1,x2, ,xn), (P)= (x1,x2, ,xn),F(P)=F(x1,x2, xn)和 K(P,P1)=K(x1,x2, ,xn, x1,x2, ,xn) 是已知函数， f(P)是未知函数。关于 Fr 方程的解法，一维和 n(>1)维的情况完全类似，因此在以后的讨论中仅着重考虑 一维 Fr 方程。沃尔泰拉积分方程 如果积分上限 b 改成变

4、动上限，上面三类 Fr 方程分别称为第一、 第二、第三类沃尔泰拉积分方程。由于第三类 Fr 方程当 (x)在(a,b)内是正函数时，可以化成F (x)b K ( x, )(x) y(x)( )y( ) d(x)a ( x) ( )它是含有未知函数 (x)y(x),以 K(x, ) 为积分方程的核的第二类 Fr 方程。所以本章重点(x) ( )研究一维第二类 Fr 方程。2. 积分方程与微分方程之间的关系 某些积分方程可化为微分方程，也可从微分方程推导出积分方程。先来考虑二阶线性微 分方程的初值问题：d2 yd y2 A(x)B(x)y f (x)dxdx(2)y( ) y0,y ( ) y0若

5、从方程 (2)中解出 的计算不难得出 *，d2 yd 2y ，然后在区间 (a,x) 上对 x 求积分两次，利用初始条件，经过简单 dxxy(x)aA( ) (x )B( ) A( ) y( )daxa(x )f ( )d A( )y0 y0(x ) y0K(x, ) ( x)B( ) A ( ) A( )xF(x) 0(x ) f ( )d A( )y0 y0(x ) y0 上式就可写为如下的形式 :y(x) a K(x, )y( )d F(x) a这是一个第二类沃尔泰拉方程，核 K 是 x的线性函数。例 1 初值问题(3)变为积分方程xxy(x)0( x)y( )d 1 0( x) f(

6、)dd2 y y f (x)2 y f (x) dx y(0) 1,y (0) 0(4)(5) 反之，应用积分号下求导法则，微分两次就可把积分方程 (3)化为微分方程 (2)。在(3)及其 第一次求导的结果中令 x=a,就得给定初始条件。在例 1 中，对(5)式求导，得出 d y0* xy( )d 0x f( )dd x0 0并从方程 (6)和(5)给出初始条件y(0)=1, y (0) 0再求导一次得出原微分方程 (4)，(6)x(n11)!(x n 1) f ( ) d(n2)对于边值问题，方法类似，先考虑一个简单的例子。 例 2 从问题d2 2yy 0dxy(0) 0, y(a) 0出发

7、，积分两次，导出关系式xy(x) 0(x )y( )d Cx 从此立刻可知条件 y(0)=0 成立。从第二端点条件 y(a)=0 决定 C： a0(a )y( )d Ca所以有关系式ax则方程 (7)变为xy(x)0a (a x)y( )dxa (a )y( )dK(x, )(a x), x a x(a ), x ay(x)0aK(x, )y( )d要从这个积分方程回到微分方程，只需对方程 (8)求导两次，就得到 d 2 y2 xy(x) (a x)y(x) y(x) d x a在积分方程 (7)中，令 x=0 和 x=a,可以直接推出边值条件 y(0)=y(a)=0 。 注意：在这个例中，K

8、 在 x=处不连续，并当 x 增加而过 时有一跳跃 -1。x这是第二类 Fr 方程。K是 x的一个线性函数，即满足2K2 0 ，且 K 在端点 x=0,x=a 处等于零。 x23 如果利用类似的方法，对更一般的具有齐次端点条件的二阶齐次方程的边值问题： ddxy2 Addxy By 0dx dx y(0) 0, y(a) 0 则除 A=0 外，可得在 x= 不连续的一个核。二、格林函数及其物理意义K(x,)=K(,x),即核是对称的。格林函数 在区间a,b上，考虑微分方程Ly+(x)=0的边值问题，式中 L 是微分算子： dd pL dxdxq p d22 d p d qdx2 dx dx(7

9、)(8)dx齐次边界条件为在端点 x=a, x=b 处，满足 yd y 0，其中 ,为常数为了得出这个问题解的形式，首先构造函数 G,使对一给定数 ，G1(x), xGG2 (x), x并且满足条件：(i) 函数 G1和 G2在它们的定义区间上满足LG=0,即当 x<时,LG1=0。当 x>时，LG2=0。(ii) 函数 G 满足边界条件，即 G1满足在 x=a 的边界条件， G2满足在 x=b 的边界条件(iii) 函数 G 在 x=连续，即 G1( )=G2()。1p( )G2 ( ) G1( )(iv) G 的导数以 x= 为一不连续点，其跳跃是1 ，即p( )可以证明，若以

10、 为参数的这个函数 G 存在，则原问题的解有如下的形式：(2)y a ( )G(x, )d例如 G(x,)可取G(x, )1 u( )v( x),A(3)式中 A 是由关系式u( )v ( ) v( )u ( )p( )决定的一个常数， u(x)是 Ly=0 满足在 x=a 处所给定的齐次边值条件的一个解， v(x)是在 x=b 处满足边值条件的一个解。则 G(x,)显然满足条件 (i)(iv) 。此外，还可证明，对由(3)定义的 G(x, ),由关系式 (2)确定的函数 y 满足微分方程 (1)并且满 足 u(x)在 x=a 与 v(x)在 x=b 所规定的相同的齐次边界条件。满足条件( i

11、 ) (iv)或由(3)式所定义的函数称为与微分表达式 Ly 和边界条件相联系的格 林函数。在许多物理问题中，这个函数具有简单的物理意义，将在下一段中说明。线性积分方程的一个典型实例 考虑一条长为 l 的有弹性的弦，假定在平衡位置时，弦 的位置在 Ox轴的线段 Ol 上。在点 x 施加单位力，于是弦的每一点 得到一个离差，在点 处所产生的离差以G(x, )表示(图15.1)。函数 G(x, ) 为两点(x和 )函数，在点 x 施加外力，在点 计量离差，称 G 为影 响函数。如果弦的两端固定在 x轴上 A,B 两点，弦的张力为 T0,则在点 x 外处施加的单位力作用下，弦成图 15.1 所示的形

12、状。根据虎克 (Hooke)定律与力的平衡条件，在点 处有x(l ), x这就是弦的影响函数。从能量守恒定律可导出 G(x, )的互易原理：在点 x 处施加外力在点 处产生的离差等于在 点 处施加大小相同的力在点 x 处产生的离差，即G(x, )=G( , x)如果在弦上施加的力 F 是连续分布的，并设线性强度是 p( ),则作用于弦上点 和 + 之 间的一小弦段的力就接近于 p( ) 。把引起弦变形的这些力元素相加，便得弦的形状ly(x) 0G(x, )p( )d1° 设在某个力的作用下，弦成已知形状 y=y(x),求定力分布强度 p( ),就得到含未知函数 p( ) 的第一类 F

13、r 积分方程ly 0 G(x, )p( )d2° 设作用力随时间 t 改变，且在点 的强度是( >0)p( )sin t(1)则弦的运动是由方程y=y(x)sin t描写的周期运动。设 ( ) 为弦在点 的线性密度，则在时刻 t,点 与 + 之间的小弦段除受力 p( )sin t 的 作用外，还受惯性力( ) d 2y( )y( ) 2sin tdt2 的作用，则等式 (1)可化为如下的形式：ly(x) 0 K(x, )y( )d F(x)(2)式中 F(x) 0G(x, )p( )dK(x, )=G(x, ) ( ), = 2如果函数 p( )给定，那么 注意，由于 F(x)

14、的定义，有若密度 ( )= 是常数，而2y(x) 2 0F(0)= F(l)=0F(x)有二阶的连续导数，则方程 (2)的解为 x (l x) y( )d 2 lxT0lx(l ) y( )d F(x)T0lF(x)也就给定，这样积分方程 (2)就是确定函数 y(x)的 Fr 方程。x 2 l(3)y(x) l (l x) 0 y( )dlcx x(l )y( )d F(x)式中cT0把(3)式微分两次就得到三、y (x) 2cy (x) F (x)另一方面，可以证明这个微分方程的任一在 x=0 及 x=l 处等于 0 的解是积分方程 (2)的解。具有可分离核(退化核)的 Fr 方程 可分离核

15、(退化核) 若核 K(x, )可分解为如下的形式：nK(x, )fk (x)gk ( )k1则称 K(x, )为可分离核或称为退化核。不妨假定 n 个函数 fk(x) (k=1,2, ,n)在有关区间上是线性无关的。例如，如果核是关于 x 和 的任一多项式，那么这个核就是退化核，核 sin(x+ )也是退化 核。具有可分离核的第二类 Fr 方程解法 具有可分离核的第二类 Fr 方程by(x) a K(x, )y( )d F(x) (1)即的解法如下，首先设ny(x)k1bfk(x) a gk( )y( )d F(x)a(2)y(x)=c2(1-3x)11 / 13bck a gk(x)y(x)

16、dx(k=1,2, ,n)则 n y(x) F(x)ck fk(x)k1 于是给定积分方程 (1)的一切解应取这个形式。因此问题归结为求出常数 c1,c2, ,cn。 再用 gi 乘(2)式两边且积分，令 bb aijagi(x) fj(x)dx，bi agi(x)F(x)dxi=1,2, ,n , j=1,2, ,n)则 c1,c2, ,cn 满足方程组即nciaijcj bi (i=1,2, ,n)j1(1 a11)c1a12c2a1ncn b13)a21c1 (1 a22 )c2a2ncn b2an1c1an2c2(1ann )cn bn矩阵形式为 (I A)c= b式中 I 为 n 阶

17、单位矩阵， A=(aij),c=(c1,c2, ,cn) ,b=(b1,b2, ,bn) 。这个方程组存在唯一解的充分 必要条件是：方程的系数行列式=det(I A ) 0 如果 F(x) 0,则 bi=0(i=1,2, n)，那末方程 (3)为齐次方程组。因此 ,当 0 时， y(x) 0 是积 分方程(1)的平凡解(零解) ，且是唯一解。当 =0 时，至少有一个 ci可以任意指定，其余的 cj 可以求出，于是积分方程 (1) 存在无穷多个解。使 =0 的 值称为特征值。齐次积分方程的任一非平凡解称为对应于积分方程的特征函 数。如果对于 的一个给定的特征值，可以从常数 c1,c2, ,cn

18、中任意指定 r 个，那么可得到 r 个线性无关的对应特征函数。如果 F(x)不恒为零 ,但与 g1(x), g2(x), ,gn(x)正交，即 bi=0 (i=1,2, n)。那末方程组 (3)仍为 齐次的， 以上的讨论也适用， 除非这里积分方程的解也包含函数 F(x)。这样平凡值 c1= c2= = cn=0导出解 y=F(x)。对应于 的特征值的解是 F 与特征函数的任意倍数之和。最后，如果 (3)式右边的 bi至少有一个不为零，当行列式 0时，方程组 (3)存在唯一的非 平凡解，于是可得到积分方程 (1)的唯一的非平凡解，当 =0时，则方程 (3)或者是不相容的， 这时积分方程 (1)没

19、有解；或者 n 个方程中至少有两个是相同的，这时积分方程 (1)有无穷多个 6 / 13例 解积分方程1y(x)0(1 3x )y( )d F(x)(1)解可把这个方程改写为式中决定 c1,c2 的方程组是其系数行列式为y(x)= (c1 3c2x)+F(x)11c1 0 y( )d ， c2 0 y( )d(1 )c1c221c1 (1 )c2210F(x)dx10 xF(x)dx121(42)4(2)(3)则积分方程 (1)存在唯一解的条件是 ±2。由(3)解出 c1,c2并代入 (2)得到(1)的解。特别，若 F(x)=0, ±2,则唯一解是平凡解 y(x)=0。数

20、=±2 为问题的特征值。若 =2，则方程组 (3) 为 1c1 3c2F(x)dx01c1 3c2 0 xF(x)dx这两个方程是不相容的，除非函数 F(x)满足条件10(1 x)F(x)dx 0 这时两个方程相同。若 = 2，则方程组 (3) 为11c1 c2 3 0F(x)dx1c1 c2xF(x)d x这两个方程也是不相容的，除非函数 F(x)满足条件10(1 3x)F(x)dx 0 这时两个方程也是相同的。现在具体讨论积分方程 (1)的解。1° 先考虑齐次方程(即 F(x)=0)的情形。若 ±2，则唯一解是平凡解 y(x)=0。 当=2 时，代数方程组只给

21、出一个条件 c1=3c2。这时，解是y(x)=c1(1-x)式中 c1=3c2=6c2是任意常数， 1-x 是对应于特征值 =2 的特征函数。当=-2 时，解是式中 c2=c1=-2c1是任意常数， 1-3x是对应于 =-2的特征函数 方程 (2)表明原积分方程 (1)的任一解表示为如下形式：y(x)=F(x)+c3(1-x)+c4(1-3x)式中 c3 3 (c1 c2)， c4(3c2 c1) 。于是推出原积分方程 (1)的任一解可以用特征函数的22某一线性组合与 F(x)的和来表达。2°在非齐次的情形(即 F(x)不恒等于零)下，若 ±2，则积分方程 (1)存在唯一解

22、。 当=2 时，积分方程 (1)没有解，除非在区间 0,1上 F(x)正交于 =2 所对应的特征函数 1-x*,即1(1 x)F(x)dx 01在此条件下，再利用 c1-3c2= F(x)dx ,给出积分方程 (1)的解。1y(x) F(x) 2 0 F(x)dx c1(1 x)式中 c1=6c2 是任意常数，因此，这时存在无穷多个解。 类似地，当 =-2时，积分方程 (1)没有解，除非在区间 0,1上 F(x)正交于 1-3x,即这时存在如下的无穷多个解：1(1 3x)F(x)dx 021y(x) F(x) 3 0 F(x)dx c2(1 3x)3式中 c2=-2c1 是任意常数四 、希尔伯

23、特 -施密特的理论当齐次 Fr方程的核 K(x,)不可分离，特别， K(x,)对于 x>和 x<,分别由不同的分 析表达式给定时，其特征值一般有无穷多个 n(n=1,2, ),每个特征值对应的特征函数除一个 乘数外是确定的；在例外的情形，一个给定的特征值 k 可以对应于两个或更多个独立的特征 函数。本段将介绍这种特征函数的某些性质。具有对称核的 Fr方程的性质 如果在实核中交换它的变量时，它本身的值不变，这个 核就叫做对称核。1°具有对称核的齐次 Fr 方程的特征函数系是正交的。2°具有实对称核的 Fr 方程的特征值都是实数。注意，核不对称的 Fr 方程可以具有

24、虚的特征值。希尔伯特 施密特定理 设为一平方可积函数，则形如f (x) K(x, ) ( )da的函数 f(x),可由对称核齐次 Fr 方程y(x) a K(x, )y( )d在a,b上的特征函数 y1(x), y2(x), 的线性组合表达，如果特征函数有无穷多个，那末所得的 无穷级数在区间 a,b上绝对且一致收敛。施密特公式 考虑非齐次第二类 Fr方程在下一段会看到，这个情形是原积分方程中核K(x,)=1-3x的对称性的一个推论。8 / 13by(x) F(x) a K(x, )y( )d式中 K(x, )是在定义区间上平方可积的对称核，并假定在正方形k0(a xb，ab)上是两变量 x,的

25、连续函数 ,F(x) 是已知的一致连续函数， y(x) 是未知函数，而是参数，则有施 密特公式Fy(x) F(x) n yn(x) (n，即不是特征值) (1)n 1 n 右边的级数是绝对且一致收敛的，式中 Fn 由下式决定： bbFn ayn(x)2dx a F ( x) y n ( x )dx (n=1,2, ) (2) aa 核的展开定理 一个对称核 K(x, )可展开为级数yn (x)yn( )n 1 n这个级数对任意固定的 ，有b m yn (x)yn ( )lim K(x, ) dx 0m a n 1 n 具有非对称核的积分方程 设核 K(x, )不是对称的，但可表为如下形式K(x

26、, )=r( )G(x, )式中 r( )在( a,b)内连续且不变号，而 G(x, )是对称的，这时有以下性质：1° 对应于不同特征值 m和 n的两个特征函数 ym(x)和 yn(x)在a,b上关于权函数 r(x)是正 交的，即ba r(x)ym(x)yn(x)dx 02° K(x, )的特征值都是实数。3° 若非齐次第二类 Fr 方程有一个解，则这个解由 (1)给出，并以权函数 r(x)去乘 (2)式两 边所包含的被积函数。 具有埃尔 M 特核的积分方程 设核 K(x, )为一复核，如果K( ,x) K(x, ) 则称 K(x, )为埃尔 M 特核，式中K (

27、x, )表示 K(x, )的共轭复函数。具有埃尔 M 特核的积分方 程有以下性质：1° 对应于不同特征值 m和 n的两个特征函数 ym(x)和yn(x)在a,b上是按埃尔 M 特意义 正交的：b ym(x)yn (x)dx 0 a2° 在a,b 上与埃尔 M 特核相联系的特征值都是实数。3° 设特征函数按埃尔ba ym ( x) yn (x)dx0,1,M 特意义是规范化的： mn mn15 / 13(1)给出，并且 (2) 式改为如果非齐次第二类 Fr 方程有一个解，那末这个解由bbFn Fn a yn(x)yn (x)dx a yn(x)F(x)dx(n=1,

28、2, )aa具有反对称核的积分方程 设K(x, )满足条件K( ,x)= K(x, )则称 K(x, )为反对称核，这时 iK(x, )是埃尔 M 特核。因此，具有反对称核的积分方程 y(x) F(x) K(x, )y( )d如果以 i 代替 ，则得到具有埃尔 M 特核的积分方程b y(x) F(x) a iK (x, )y( )d 由此可见，具有反对称核的积分方程必有特征值，而且都是纯虚数。伴随核与自伴随核 设 u(x)是一复核 K(x, )(它不一定是埃尔 M 特核)对应于特征值 的 一个特征函数， v(x)是核 K( ,x) 对应于特征值 的一个特征函数，若 ，则 bu(x)v(x)dx

29、 0这里 K( ,x)称为 K(x, )的伴随核。如果 K( ,x)= K(x, )，那么 K(x, )称为自伴随核，显然实对 称核与埃尔 M 特核都是自伴随核。五、第二类 Fr 方程的逐次逼近法与诺伊曼级数解逐次逼近法 在某种情形下，第二类 Fr 方程可用逐次逼近法来解。为此，设方程 by(x) F(x) a K(x, )y( )d (1)的解可用 的幂级数来表达：2 y(x)= y0(x)+y1(x) +y2(x) + (2) 如果级数 (2)在区间a,b上关于 x 是一致收敛的，那末把它代入 (1)中，可逐项积分，比较 的 系数就得到确定 yn(x)的递推公式b y0(x)=F(x),y

30、n(x) a K (x, )yn 1( )d (n=1,2, ) (3)a式中 yn(x) (n=1,2, )都是连续函数。若 充分小，则级数 (2)关于 x 绝对且一致收敛，于是级 数(2)是连续函数并且是积分方程 (1)的解。叠核 预解核 诺伊曼级数解 设 K(x, )为核，经递推公式K1(x, )=K(x, ), Kn(x, ) a Kn 1(x, 1)K( 1, )d 1 (n=2,3,4, ) (4) a产生的 Kn(x, )称为已知核 K(x, )的 n 次叠核。它满足下面公式Kp q(x, )K p(x, 1)Kq( 1, )d 1式中 p,q 为任意正整数由于 F(x)和 K(

31、x, )分别在a,b上和 k0(axb，ab)上连续，所以各有极大值 m 和 M ：1M (b a)致收敛，记作F(x) m，|K(x, ) | M时，级数 Kn 1(x, ) n 在 k0内绝对且 n0(5)(6)R(x, ; )Kn 1(x, ) nn0如果用自由项 F(x)来表达 yn(x),则由 (3),(4)推出yn(x)K n(x, )F( )d并把它代入级数 (2)得到by(x) F(x) a Kn 1(x, ) nF( )dan0因为级数 (5)在 k0 内一致收敛，所以对 a,b上任一固定值 x,它在区间内关于 一致收敛，故得 积分方程 (1)的解(7)bM (b a)y(x

32、) F(x) a R( , ; )F( )d ，式中不依赖于自由项 伊曼级数。F( )的函数 R(x, 。 )称为核的(或 Fr 方程的)预解核，级数 (5)称为诺 存在性与唯一性定理 如果把级数 (5)改写为 bR(x, ; ) K(x, )nKn 2(x, ) K(x, ) n K(x, 1)Kn 1( 1, )d由(5)上式化为n 0 n 0bR(x, ; ) K(x, ) aK(x, 1)R( 1, ; )d 1改变符号可写为bR(x,y; ) K(x,y) a K(x, )R( ,y; )d因此，当把方程 (1)中 F(x)换为 K(x,y)时，上式表明存在预解核 R(看作两个变量

33、x,y 与参数 的 函数)是方程 (1)的唯一解。例举例说明预解核的实际算法。设积分方程 (1)中K(x, )=1 3x由公式 (4)算出它的各次叠核：13K2(x, ) 0(1 3x 1)(1 3 1 )d 1 1 32(x ) 3x11K3(x, ) 0K(x, 1)K2( 1, )d 1 (1 3x )04 KK 所以 K3 K 1 ，从此容易推出 Kn Kn 2 (n3),于是有 442 4 2 4R K1 K 2 2K3(1 )K1 (1)K21 2 3 4 16 1 4 16 2 即R(x, ; )12143(1 ) (x ) 3(1 )x ( 2)值得注意的是，由此式可以给出一切

34、 值(=±2 除外)的预解核，但相应的诺伊曼级数只 当 2 时才收敛。六、弗雷德霍姆的理论Fr 方母 预解核 R(x,。)可以用关于 的两个幂级数之比来表达，这两个级数对一 切值都是收敛的。若预解核表成式中R(x, ; )D(x, ; ) ()(1)17 / 132D(x, ; ) K(x, ) 1! D1(x, ) 2!D2(x, ) (2)2( ) 1 1! c1 2! c2(3)()称为 Fr 分母，它与变量 x,无关。式中系数 cn 与函数 Dn(x,)可由下列递推公式逐次算出：bbc1 a K ( x, x)dx, D1(x, ) c1K(x, ) a K(x, 1)K( 1, )d 1bbc2 a D1(x,x)dx, D2(x, ) c2K(x, ) 2 aK(x, 1)D1( 1, )d 1aabbcn a Dn 1(x,x)dx, Dn(x, ) cnK(x, ) n a K(x, 1)Dn 1( 1, )d 那末方程by(x) F(x) a K(x, )y( )d 的解可将( 1)代入上段( 7)式中得到，其形式为by(x) F(x) a D(x, ; )F( )d (4)