初中数学相似三角形模型(题型)大全-值得收藏

1、初中数学相似三角形模型（题型）大全-值得收藏第 2 页 共 11 页特征：比的基本性质，合比性质，等比性质比的性质：例 1 ：已知 a c 3, ，则 abd2b c 2d例 2：如果P 是线段 AB 的黄金分割点，且AP> PB，则下列各等式AB 2=AP PB， AP 2=PBAB ，BP2=APPB，AP AB=PB AP 中，正确的是（例 3：已知acbbc abk ，则 k 的值为（A 字型如图（1 ） DE/BC ，则 ADE ABC特征：ADE ABCAD AE DEAB AC BC应用 1： （求线段的长）例 110如图（2） DE/BC, 且 DB=AE, 若 AB=5

2、， AC=10，则 AE 的长为（）3角度：平行产生比例DEBCAB ACBD EC例 2 如图（3）ABC应用2： （证明比例线段）10AEECAEPBBCB1C1B2C2B3C3B4C42a）例 3如图（4） ， DE/BC/AFDE证明：分析：此题用了两个平行A 字型在 ABC 中， DE/BC ，AD DEABBC1010, AE10 AEAB 边的五等分点；C1,C2,C3,C4 是11AF BCAC边的五等分点，则在 ABF 中， DE/AF ，DB DE + 得AD DB DEABBCAB AFDEAF1 DE(B1CA1F)11DE BC AF应用3： （证明线段相等）例 4

3、如图 （ 5） ， 一直线与ABC 的边 AB ， AC 及 BC 的延长线分别交于F。求证：若AE BF ，则 D 是 AB 的中点。EC CFD、E、证明：作CM/BA 与 EF 交于AD AE AE BFM ，则 ADE CMEAD BFCM EC EC CFCM CFCM / BDBD BFCM CFAD BD ,从而 AD BD.CM CMD 是 AB 的中点。例5如图（6）已知如图，在ABC 中， BCA= 900，以直角边AC 为一边向形外正方形ACEF ，连接BF，交AC 于 P，过P 作 PQ/BC，交 AB 于 Q,求证： PC=PQ证明：ACEF 为正方形CP / EF

4、BCPBEFPCEFBPBF例 6如图（如果证明：CF / DEFG / AEBP又 PQ / BC / FA BPQBFABFPQ EF FA PCFAEFPQPC PQFA7） ，在ABC 中，C= 900，以边向外作矩形ACDE,BE于 AC 交于F， FG/CB 交 AB 于 G，CF=FG，那么矩形ACDE 具有什么特征？CFDEFGAECF FG DE矩形 ACDE 是正方形BFBEBFBEAE例 7： 马戏团让狮子和公鸡表演跷跷板节目，跷跷板支柱 AB 的高度为1.2 米。（ 1） 若吊环高度为2 米， 支点 A 为跷跷板的PQ中点，狮子能否把公鸡送到吊环上？为什么？（2）若吊环

5、的高度为3.6 米，在不改变其他条件第 4 页A 移到跷跷 板 PQ 的什么位置时，狮子刚好能将公鸡送到吊环上？平行 A 字型的实际问题1。如图（1）测量小玻璃管口的量具ABC 上， AB 的长为 10 毫米， AC 被分为 60 等份。如果小管口DE 正好对着量具上30 份（ DE 平行 AB ） ，那么小管口径DE 的长是-5 毫米。2。如图2 小明在打网球时，要使球恰好能打过网，而且落在离网5 米的位置上，则球拍击球的高度H 应为第 21 页 共 11 页AQAD三、平行X 字型如图 (1)DE/BC, 则 AED ACB特征：ADE ACBAE AD DEAC AB BC应用 1： （

6、证明比例线段）例 1 已知，如图（2）一直线与四边形ABCD 的 AB 、 CD边交于E、 H，3、如图4 已知 BC 是圆 O 的直径，线段MN/BC ， A 是 MN 上任意一点，AF 与圆 O 相切于F，连结AB 与圆 O 相交于Q， D 是 AB 上一点，且AD=AF ， DE AB 与 AC 的延长线交于E。（ 1）求证：CD/BE（ 2）若MN 与 BC 之间的距离为5， BC=4，求证：当点A 变动时，ADE 的面积是一个定值 （ 3）若AF： AE=1 ： 2， AC： BC= 2：3 ，求 BCA 的度数1 )证明：AF 2=AQ AB ， AD=AF ， AD 2=AQ A

7、B ADAB又因为 QC/EF AQ=AC AD=ACCD/BEAD AE AB AE1( 2)证明：S BCD = S DEC S ABC = S ADE 2 4 5=20所以 ADE 的面积是一个定值。所以BCQ= 450， 所以 BCA= 7503) AC= 2 K， QC= 6 K ， BC= 3 K， COS QCB= 2 K= 2/2与 AC 交于G,与 AD 、 CB 的延长线交于P、 F，求证：GP· GH=EG · FG证明： （分析：此题应用两次X 字型）AB 切O1于点A ， 切O2于点B，O1与O2的PA/CF, HC/AEPG AG AG GE,G

8、F GC GC GHPG EGFG GHPG GH EG FG例 2 如图 （ 3） O1与O2外切于点P， 外公切线半径分别为r 和 R，求证：AP2 rBP2 RAP2AP2APBP2 AP PC PC证明： Rt ABC 构成三直角模型BP2 AP PCAP AO rO2ABCBA 900 O2A/ BC 在 AO2 P和 PCO2中，2 r2222 PC CO2 R2AP2 rBP2 R例 3、 如图 （ 4） DE 是 ABC的中位线；F是 DE的中点，BF的延长线交AC 于 H，则AH ： HE 等于（B）A 1 ： 1 B 2 ： 1 C 1 ： 2 D 3 ： 2分 析 ： 作

9、 DG/AC 交 BH 于 点 G ，BD DG 2 DF DG 1，DG EHBA AH1 FE EH 1EH 2AH 1例 4、如图（5） ，已知点M 是矩形 ABCD 的边 CD 的中点，连BM 与 AC 交于求证： ME*BF=BE*MFMF DM证明：AF BCMCFBMC MEMC ABAB BE例 5、 如图 （ 6） ， D 是 AC 上一点， 证明：方法一如图6DCMFFBABME ME * BF BE* MFBEE，与AD 的延长线交于F，F 是 CB 延长线上一点，且 AD=FB ， 连与 AB 交于E ， 求证： BC*EF=AC*DE 。又BCAC过 D 点作 DM

10、CB 与 AB 交于 MDM CB,DM BCDM DEAD ACAD=BF,BFDE BC * EF AC * DE EF方法二如图 6 ， 过 F 点作FN ACEFN（6）'交 AB 的延长线于N,FN ACBFBC ADDEBC DE, AD BF, BC* EF AC* DE 例 6、 如图： 在平行FNAC FNEFAC EF四边形 ABCD 中，E 为 CD 的中点，AE 交 BD 于 O，则S AOB 等于（）7) ， ABCD 为正方形，以D 点为圆心，AD 为半径的圆弧与以BC 为直径O 相交与 P,C两点，连结AC,AP,CP,并延长CP,AP 分别交 AB,BC

11、, O 于 E,H,F 三点，连结OF（ 1） 求证：AEPCEA（2 ） 求 BH:HC分析：此题应用了双割线模型（1） 证明：由12 AEP CEA（ 2） 解：OF AB OHF BHAOH OFBH ABAB=BC=2OFOH 1BH 2设 OH=k ， HB=2k ， 则OC=OB=OH+HB=3kHC=4kBH:HC=2k:4k=1:2如 图 （1） 直 角 ABC 直 角 ACD 直 角 BCDAC BC,CD AB,则有AC2 AD* AB；BC2 BD* AB;CD2 AD* DB;AC* BC CD * AB（射影定理）例 1 、 如图（2）在ABC 中 ACB= 90 ,

12、CD AB 于 D, 求证三直角模型CE*AC=AD*BD证明： 在 Rt ACD 中，CD 2=CE*AC, 在 Rt ACB 中, CD 2=AD*BDCE*AC=AD*BD例 2、如图（2） ，在 ABC ， C=90 ,CD AB 于 D， DE AC 于 E，垂足分别为D,E（1）求证：2AC 2 AEBC2 CE证明：在Rt ABC 中， AC 2=AD*ABBC2=BD*AB ，AC2 ADBC2 = BD又 ED BCAD AEBD CEAC2 AEBC2 CE(3)(3)例 3、如图(3)在ABC 中， AD BC 于 D， DE AB 于 E ,DF AC 于F,求证：AB

13、*AE=AC*AF证明 : AD BC, DE AB ABD ADE AD 2=AB*AE又 AD BC, DF AC ACD ADFAD 2=AC*AF因此 AB*AE=AC*AF例 4、 如图 （ 4） ， BC 是半圆的直径,O 是圆心 ,P是 BC 延长线上一点,PA切半圆于点A,AD BC 于点D，求证；PD*PO=PC*PB证明 : PA 为切线，PA2=PC*PB ，在Rt AOP 中，PA2=PD*POPD*PO=PC*PB例 5、 如图 （5）， 点 P 是 O 的直径 BA 延长线上一点,PC 于 O 相切于点BC,CD AB, 垂足为D,连接AC,BC,DC, 那么下列结

14、论中:1、 PC2=PA*PB 2、 PC*OC=OP*CD 3 、 OA 2=OD*OP4、 OA（CP-CD）=AP*CD 正确的结论有（D）A 、 1个 B 、 2个 C 、 3个 D 、 4个分析：3、 OC2=OA 2=OD*OP4、 OA（CP-CD）=PC*OA=OP*CD,OP=OA+AP PC*OA=（OA+AP）*CD例 6、 如图（6）,在 Rt ABC 中 ,CD 是斜边上的高,DE BC 于 E,则图中与ABC相似的三角形（不包括ABC） 共有 （B）A 、 5个 B 、 4个 C 、 3个 D 、 2个分析：ABC ACD CDECDB DEB例 7、 如图 3 已

15、知 AB 是圆 O 的直径， 圆 O 过 AC 的中点 D， DE BC，垂足为E，求证（1） DE 是圆 O 的切线（2） CD2=CD CB（ 1 ）连结OD D 是 AC 的中点，O 是 AB 的中点，OD/BC 所以 CED= ODE= 900， DE 是圆 O 的切线。（ 2）连结DB ， Rt CDBCD2 =CE CB。例 8。已知：如图5 ABC 中，点D， E 分别在边AB ， AC 上，连结DE 并延长交 BC 的延长线于点F， 连结DC， BE， 若 BDE+ BCE= 1800（ 1）写出图中三对相似三角形（注意：不得加字母和线）（ 2）请在你所找出的相似三角形中选取一

16、对，说明它们相似的理由。（1 ）ADE ACB ， AEB ADC ，CEFDBF，FEBFCD（2）BDE+BCE=1800，BDE+1=1800，1= ACB= ADE 相似 ACB例 9。如图 6 以ABC 的边 AB 为直径作圆O 交 BC 与 D，过D 作圆 O 的切线交AC 与 E，要使得DE 垂直AC ，则ABC 的边必须满足的条件是AB=AC 连结ADAE 的延长线和AD 的延长线分别交圆例 10。如图7，圆01 与圆02 相交于D， E 两点， A 是圆 02上一点，02于 B， C， DE=2， AC=12， BC=6，则AB=-3AD 五、 格点模型例1 .如图（ 1 ）

17、 在正方形网格上有五个三角形，A 1 个 B 2个 C 3个其中与三角形ABC 相似 （不包括ABC 本身） 的三角形有（ A ）D 4个2) 5*5例二 在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形，在如图（相似（相似比不能为1） ，则 C 点坐标是（4， 4）或（ 5， 2）例 2 如图（3）由边长为1 的 25 个小正方形组成的正方形网格上有一个ABC ，在网格上画一个与ABC相似且面积最大的A1 B1C1 使它的三个顶点都落在小正方形的顶点，则A1B1C1 的最大面积（ 5）（ 1） ABC 中， AB= 2 ， AC= 10， BC=2, 且 S ABC

18、1 ， 依题意A1 B1C1 中最长边A1C1 的长度不大于5 2 ，图（ 1 ）图（2）(3)若 A1C1 5 2， ABC A1B1C ，则AB= 2 ， BC=2 5 ，这时两三角形的相似比为1: 5 ，面积比为 1： 5，A1B1C1 面积为5图（ 3 ）例 4、如图（ 4） ，在大小为4*4 的正方形方格中，ABC 的顶点 A,B,C 在单位正方形的顶点上，请在图中画一个A1 B1C1 ，使A1B1C1 ABC （相似比不为1） ，且点A1 ,B1,C1 都在单位正方形的顶点上分析：由图（1）可知 ABC 中 BC=2,AB= 2, ABC 135 以 135 角为突破口，所以要画出

19、与之相似的三角形，必使A1B1C1 135 , A1 B1AB2 ,单位为1 的正方形对角线为2，所以一格为一边，一对角线1 1 1B1C1BC2为一边画出A1 B1C1 图（1）所示另外还有两种方法如图（2） ，图（3）所示例 5 在方格纸中每个小格的顶点叫做格点。以格点连线为边的三角形叫做格点三角形。请你在的10*10 的方格纸中画两个相似但不全等的格点三角形，并加以证明。要求：所画三角形是钝角三角形，并标明相应字母。分析： （ 1 ）正确画出两个相似但不全等的钝角格点三角形（如图所示）（提示：先画出一个钝角三角形，分别作各边平行线，或利用三条对应变成比例画出另一个与之相似的三角形）证明：

20、设AB=1 则 BC= 2, A1B12,C12 2，AB1 BC, 从图中可知BB , 135A1B12 B1C1ABC A1B1C1（ 1 ）求出每个格点三角形的边长（ 2）证出三对对应边成比例（ 3）结论：此题答案不唯一.例 6 已知图（1 ）和图（2）中的每个小正方形的边长都是1 个单位。1 ，图（1 ）中的格点ABC 先向右平移3 个单位再向上平移2 个单位得到A1B1C1 请你在图中（1）画出在A1B1C12，在图（2）中画出一个与格点DEF 相似但相似比不等于分析：（1）考生沿着网格线不难完成作图1 的格点三角形。2）需要把DEF 放大， DEF 的三边长度之比是1: 5 :2

21、2 而格点间线段的最大长度为6 2 ，所以可以把DEF 放大 2 倍， 2 倍，2 2 倍， 3 倍均可，所以本题答案不唯一。图 （ 1）利用方程探究六、利用方程探究相似三角形问题例 1 、如 图 1 ， 梯 形 ABCD 中 ，A 9 0 A, D 8 C, D 2 A, B（ 1 ）当 BPC 90 时，求证：ABP DPC2） 当 m 为何值时，能使BPC 90 的点 P 分别有两个，一个，或不存在？3） 是否存在合适的m 的值和 P 点的位置，使得ABP ， PDC, PBC 都相似？如果不存在，说明理由；如果存在，求出m 的值和 P 点的位置。解： ( 1 )13, A D 90 ,

22、 ABP DPCPA AB2） 假设存在合适的m 值，使得ABP DPC， 则设 PA=x,DC PD则 x2 8 mx , 即 x2 8x 2m 0, 64 8m 8(8 m)当m<8 时，>0，方程有两个不相等的实数根，相应当m=8 时，0，方程有两个相等的实数根，相应当m>8 时，<0，方程没有实数根，相应的（3） 假设存在符合条件的P 点有两个。P 点有一个。P 点不存在。m 值和合适位置的P 点（图2）ABP ，PDC, PBC 都相似，所以A D BPC 90 APB 与 PDC 必定相似，只需考虑APB 与 PBC假设 APB PBC 12PA ABDC PB4m, m8因此，当.m=8，且P 为 AD 中点时，24 ABP， PDC, PBC 都相似例 2、如图（3） ，已知梯形ABCD 中，AD BC, A 90 ,AB=7,AD=3,BC=2,解：假设例 3，试在腰 AB 上确定点P 的位置，使得以为定点的三角形相似。x 3 xyAPD BCP2y xx7yx6或y=1P 点放在PA=6 的位置。如图 4，矩形 ABCD ， AD=a， DC=b，在 AB 上找一点三角形相似，设 AE=x， 问这样的E点是否存在？点