计数原理测试题(含答案)

1、圆梦教育中心 高中数学选修 2-3 计数原理第卷（选择题，共 50 分）、选择题 （本大题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）1若 m 为正整数，则乘积 m m 1 m 2 m 20AAm2021B AmC20m 20DAm21 202若直线 Ax By 0的系数 A,B同时从 0,1,2,3,5,7 六个数字中取不同的值 ,则这些方程表 示不同的直线条数 （ ）A 22B 30C 12D 153四个编号为 1，2，3，4 的球放入三个不同的盒子里，每个盒子只能放一个球，编号为1 的球必须放入，则不同的方法有 （ ） A12种B

2、18种C24种D96 种4用 0，1，2，3，4 组成没有重复数字的全部五位数中，若按从小到大的顺序排列，则数字 12340 应是第几个数 （ ）A 6B 9C 105把一个圆周 24等分 ,过其中任意三个分点可以连成圆的内接三角形 数是A2024B 2646. 在（a-b） 99 的展开式中，系数最小的项为 A.T49B.T507. 数 11100-1 的末尾连续为零的个数是A.0 B.3C132)C.T51D8,其中直角三角形的个（）D122D.T522x x 48. 若 C225x C 2x5 4 ，则 x的值为)C.5D.7A4B 79以正方体的顶点为顶点，能作出的三棱锥的个数是A C

3、43BC C 81 C 73 -6C 4 或 7DC81C73C84 12（）D不存在（）10从长度分别为 1，2，3，4，5 的五条线段中，任取三条的不同取法共有n种在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为m，则 m 等于（）n 1132A BCD 105105第卷（非选择题，共 100 分）题型选择题填空题15 题16 题17 题18 题19 题20 题总分得分二、填空题 （本大题共 4 小题，每小题 6分，共 24分）11设含有 8 个元素的集合的全部子集数为 S，其中由 3 个元素组成的子集数为 T ， 则 S 的值为 T12有 4 个不同的小球，全部放入 4 个不

4、同的盒子内，恰好有两个盒子不放球的不同放法 的总数为 13在（x-1）11的展开式中， x 的偶次幂的所有项的系数的和为 .14 六位身高全不相同的同学在“一滩”拍照留念，老师要求他们前后两排各三人，则后 排每个人的身高均比前排同学高的概率是 三、解答题 （共计 76分）15（ 12 分）平面上有 9 个点，其中 4 个点在同一条直线上，此外任三点不共线（ 1）过每两点连线，可得几条直线 ?（ 2）以每三点为顶点作三角形可作几个?（ 3）以一点为端点作过另一点的射线，这样的射线可作出几条?（ 4）分别以其中两点为起点和终点，最多可作出几个向量?16（ 11 分）在二次项 （axm bxn）12

5、 （a > 0,b > 0,m,n 0） 中有 2m+n 0，如果它的展开式中系数最大的项恰是常数项，求它是第几项17（12 分）由 1，2，3，4，5，6，7 的七个数字，试问：（1）能组成多少个没有重复数字的七位数？（2）上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？（3）（ 1）中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？（4）（ 1）中任意两偶然都不相邻的七位数有几个？18（12 分） 2006年 6月 9 日世界杯足球赛将在德国举行，参赛球队共32支，（ 1）先平均分成 8 个小组， 在每组内进行单循环赛 （即每队之间轮流比赛一次） ，决出 16强（即取各组 前 2 名）

6、。（2）之后，按确定程序进行淘汰赛 （即每两队赛一场，输者被淘汰） ，由 16 强决 出 8 强；再由 8 强决出 4 强；最后在 4 强中决出冠军、亚军、季军、第四名，共赛多少场呢？19（15 分）6 本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？（1）一堆一本，一堆两本，一堆三本；（2）甲得一本，乙得二本，丙得三本；（2）一人得一本，一人得二本，一人得三本；（3）平均分给甲、乙、丙三人；（4）平均分成三堆20（ 14 分）某班有男、女学生各 n 人，现在按照男生至少一人，女生至多 n 人选法，将 选出的学生编成社会实践小组，试证明：这样的小组的选法共有2n（2n 1） 种.高中数学选修 2-

7、3 计数原理测试题参考答案选择题（本大题共 10小题，每小题 5分，共 50分）题 号12345678910答 案DABCBBBCDB填空题(本大题共 4小题，每小题 6分，共 24分)S 3211.32 ( S:28 ,T: C83, S 32 )8 T 71284 ( C42(C41C33A22 C42C22) 6 (8 6) 84)1321014120（ 将最高的 3 人放在后排，其余 3 人放在前排，有 A33 A33 ；则A33 A33A66120三、解答题（本大题共 6题，共 76分）15（12 分）解：（1） C62 C42 1 31条 ；（解法 2 ：C52 C41C51 13

8、1） （2）C93 C43 80（ 解法 2: C41C52 C42C15 C53 =80）（3） 不共线的五点可连得 A52条射线，共线的四点中， 外侧两点各可得到 1 条射 线，内部两点各可得到 2 条射线；而在不共线的五点中取一点，共线的四点中 取一点而形成的射线有 C14C51 A22条 故共有： A52 2 1 2 2 C14C51A22 66条射线4）任意两点之间，可有方向相反的2 个 向量各不相等，则可得到 A92 72 个向量r 12-r 12m-mr r nr r 12-r r 12m-mr+nr16(11 分) 解：(1) Tr+1 C12 ax bx C12rabx12m

9、 mr nr 0令r4 系数最大项为第 5 项2m n 0717 （12 分） 解：（ l ）把 7个数字进行全排列，可有 A 7 种情况，所以符合 题意有 A7 5040 个53（2）上述七位数中，三个偶数排在一起的有 A55 A33 720个（3）上述七位数中， 3个偶数排在一起， 4 个奇数也排在一起的有432A44 A33 A22 288 个（4）上述七位数中，偶数都不相邻，可先把 4 个奇数排好，再将 3 个偶数分别 43插入 5 个空档，共有 A4 A5 1440 个18（12分） 32支球队分成 8组，每组 4支球队，进行单循环赛， 每组取前二名， 一共应进行 8×C4

10、2 =48,16强队按程序进行淘汰赛决出前八名， 应进行 8场比赛， 再决出 4 强，应进行 4 场比赛，决出冠军、亚军、三、四名，应进行 4场比赛， 故总计： 48+8+4+4=64 场比赛19（ 15分）（1）先在 6 本书中任取一本作为一本一堆，有 C6 种取法，再从余下的 五本书中任取两本，作为两本一堆，有 C52 种取法，再后从余下三本取三本作为 一堆，有 C33 种取法，故共有分法 C61 C52 C33 =60种1 2 3（2）由（ 1）知分成三堆的方法有 C61 C52 C33 种，而每种分组方法仅对应 一种分配方法，故甲得一本，乙得二本，丙得三本的分法亦为 C61 C52 C

11、33 =60 种3）由（ 1）知，分成三堆的方法有 C61 C52 C33 种，但每一种分组方法又有P33 不同的分配方案，故一人得一本，一人得两本，一人得三本的分法有1 2 3 3C61 C52 C33 P33 =360（种）（4）3个人一个一个地来取书，甲从 6本不同的书本中任取出 2 本的方法 有C62种，甲不论用哪一种方法取得 2本书后，已再从余下的 4 本书中取书有 C42 种方法，而甲、乙不论用哪一种方法各取 2 本书后，丙从余下的两本中取两本 书，有 C22种方法，所以一共有 C62C42C22=90 种方法（ 5）把 6 本不同的书分成三堆，每推二本与把六本不同的书分给甲、乙、

12、 丙三人，每人二本的区别在于，后者相当于把六本不同的书，平均分成三难后， 再把每次分得的三堆书分给甲、乙、丙三个人因此，设把六本不同的书，平 均分成三堆的方法有 X 种，那么把六本不同的书分给甲、乙、丙三人每人 2 本 的分法就应 X A33种，由（ 4）知，把六本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人 2 本的方法有 C62C42C22 种所以 X A33 C62C42C22，则 X C62C42C22 15A33种）20（14 分） 证：依题意，这些小组中女生人数分别是Cn0，Cn1,Cn2, ,Cnn个.对于上述女生人数的每种情况，男生人数可以有Cn1,Cn2, ,Cnn个，根据乘法2 n n 1 n 2+Cn Cn + Cn Cn +Cn Cn + 原理和加法原理可得 Cn0Cn1+Cn0Cn2+ +Cn0Cnn+Cn1