等腰三角形知识点

1、等腰三角形知识学习要点:掌握证明的基本步骤和书写格式，掌握等腰三角形的性质和判定定理，并探索等边三角形的性质和判定定理。结合实例体会反证法的含义。中考热点：全等三角形和等腰三角形是中考必考的内容之一，在考试中或单独考查基本知识或综合考查逻辑推理，常把全等三角形、特殊三角形的判定和性质及特殊四边形的判定和性质 综合起来进行命题，题型多为证明题或解答题。知识点：1、全等三角形的判定及性质一般二角形直角三角形判定边角边（SAS、角边角（ASA 角角边（AAS、边边边（SSS具备一般二角形的判定方法斜边和一条直角边对应相等（HL）性质对应边相等，对应角相等对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等注：

2、 判定两个三角形全等必须有一组边对应相等;全等三角形面积相等.证题思路：找夹角（SAS）已知两边找直角（HL）科第三边（SSS若边为角的对边，则找任意角（AAS）“边-角仔已J-边为角的邻边d找已知边的对角（AAS阿夹已知边白另一角（ASA口加加缶我两角的夹边（ASA已知两角找任意一边（AAS）2 例 1、如图，AB8 AEF, AB= AE, / B= / E,则对于结论 AC= AF./ FAB= / EAB, EF= BC,/ EAB= / FAG 其中正确结论的个数是（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2、如图，FDAO于D, FE BO于E,下列条件： OF是/ AOB的平分

3、线； DF=EFDO=EQ / OFD=Z OFE其中能够证明 口0三 EOF的条件的个数有（A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3、如图，已知 AC=DB要使 AB盖ADCEB需添加的一个条件是.4、（2016泰安）如图，在 4PAB中，PA=PB, M , N, K分别是 PA, PB, AB上的点，且AM=BK , BN=AK ,若/ MKN=44 ,则/ P 的度数为（）A. 44B, 66C. 88D. 92（2016莱芜）已知 ABC中，AB=6, AC=8, BC=11,任作一条直线将 ABC分成两个三角形，若其中有一个三角形是等腰三角形，则这样的直线最多有（）A. 3条B.

4、5条C. 7条D. 8条【分析】分别以 A、B、C为等腰三角形的顶点，可画出直线，再分别以AB、AC BC为底的等腰三角形，可画出直线，综合两种情况可求得7条.5、在 4ABC 中,AB=AC/BAC= 1200 , AD, BC,且 AD=AB.（1）如图1, DEL AB, DF, AC,垂足分别为点 E, F,求证：AE+AF=AD（2）如图2,如果/ EDF= 600,且/ EDF两边分别交边 AB, AC于点E, F,那么线段 AE, AF,AD之间有怎样的数量关系 ？并给出证明。分析： （2）连接 BD,证明4ABD是等边三角形，得出 BD=AD, / ABD=/ADB=60 ,证

5、出 ZABD=ZDAC,得出/ EDB=Z ADF,由ASA证明BD叵 ADF,得出BE=AF即可得出结论.6、如图，已知 ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点 D为AB的中点.（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点 Q在线段CA 上由C点向A点运动.若点Q的运动速度与点 P的运动速度相等，经过 1秒后， BPD与4CQP是否全等，请说 明理由；若点Q的运动速度与点 P的运动速度不相等，当点 Q的运动速度为多少时，能够使 BPD 与 CQP全等？（2）若点Q以中的运动速度从点 C出发，点P以原来的运动速度 从点B同时出发，都逆时针沿 ABC三边运动，

6、求经过多长时间点P与点Q第一次在 ABC的哪条边上相遇？等腰三角形的性质及判定1、等腰三角形的性质等腰三角形定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等（简写为“等边对等角”）。推论1:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“三 线合一）。推论2:等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60。注：等腰三角形两底角的平分线（两底角的三分线）相等，等腰三角形两腰上的高线相等, 等腰三角形两腰上的中线相等。2、等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。推论1: 三个角都相等的三角形是等边三角形。推论2 :有一个角等于60的

7、等腰三角形是等边三角形。推论3:在直角三角形中，如果一个锐角等于30 ,那么它所对的直角等于斜边的注：逆用等腰三角形三线合一的性质判定三角形是等腰三角形。3、反证法：定义：反证法是一种论证方式，先假设命题的结论不成立，（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题 的结论一定成立，这种证明方法叫反证法。反证法的使用：当论题从正面不容易或不能得到证明时，就需要运用反证法，此即所谓正难则反。反证法的证题可以简要的概括为“否定一得出矛盾一否定” 。即从否定结论开始，得出 矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是辩证的“否定之否定”

8、。注：证明的方法和规律1、证明一个三角形是等腰三角形的方法（1）利用定义证明，有两边相等的三角形是等腰三角形。（2）等腰三角形的判定定理：等角对等边。逆用等腰三角形三线 合一的性质判定三角形是等腰三角形。2、等腰三角形的性质及判定在实际问题中的应用是本节的重点，等腰三角形中主要 抓住“三线合一”这一条，注意数形结合的思想，一般等腰三角形的顶点作底边上的高。注：已知等腰三角形的两边长或一个角的度数，求周长、另外一边长或求其它角的度 数时要分类讨论：把其中一边长作为腰， 再根据三角形三边关系确定周长或边长；把已知角作为底角或顶角，再确定其它角的度数。3、证明一个三角形是等边三角形的方法2）证明三角

9、形三个角相等。（1）利用定义，证明三条边相等。（3）证明它是等腰三角形并且有一个角是60。4、例1、若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为（）2、用反证法证明命题“在一个三角形中，至少有一个内角不小于 60。，假设为 .用反证法证明“垂直于同一条直线的两条直线平行”时，第一个步骤是假设为 阅读下列文字，回答问题.题目：在 RtABC中，/ C=90 ,若/ Aw 45 ,所以 AO BC.证明：假设 AC=BC 因为/ Aw 45 , / C=90 ,所以/ Aw / B.所以ACw BC这与假设矛盾，所以 AO BC.上面的证明有没有错误？若没有错误，指出其证明的方法

10、；若有错误，请予以纠正.分析：有错误.改正：彳由设 AC=BC 贝U/ A=Z B,又/ C=90 ,所以/ B=/ A=45 ,这与/ Aw 45矛盾，所以 AC=BC成立，所以 ACw BC3、如图/ AOP=/ BOP=15 ,PC/ OA交 OB于 C, PD） OA垂足为 D,若 PC=4,则 PD=（）4、如图，在RtAABC中,D,E为斜边 AB上的两个点，且BD=BC,AE=AC,则/ DCE的大小为（度）.A5、如图，在等腰直角 ABC中，AD为斜边上的高，以 D为端点任作两条互相垂直的射线与 两腰相交于E、F,连结EF与AD相交于G,则/ AED与/ AGF的关系为（）A.

11、 /AED/ AGF B. Z AED= / AGF C. / AED CE若ZBDA=Z AEC=Z BAC,试判断 DEF的形状.F18、（2011绍兴）数学课上，李老师出示了如下框中的题目.在等边三角形ABC中，点 E在 AB上，点 D在 CB的延长线上，且 ED = EC ,如图， 试确定线段A E与D B的大小关系，并说明理由.小敏与同桌小聪讨论 后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AEDB （填，“ V ” 或“=）.（2）特例启发，解答题目解：题目中，AE与D B的大小关系是：AED B （填 V

12、 ”或“=）.理由如下：如图，过点E作EF / BC ,交AC于点F . （请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上， 点 D在直线 BC上，且 ED=EC. 若4ABC的边长为1, AE=2,求 CD 的长（请你直接写出结果）.19、如图1,在RtAABC中，/ ACB=90 ,/A=30 , P为BC边上任意一点，点 Q为AC边动 点，分别以CP、PQ为边做等边4PCF和等边4PaE,连接EF.试探索EF与AB位置关系，并证明；(2)如图2,当点P为BC延长线上任意一点时，(1)结论是否成立？请说明理由。(3)如图3在RtAABC中，/ ACB=

13、90。，/ A=m ,P为BC延长线上一点，点Q为AC边动点，分 别以CP、PQ为腰做等腰 PCF和等腰 PQE使得PC=PF,PQ=PE,连接EF.要使的结论依 然成立，则需要添加怎样的条件 ？为什么？20、在ABC中，/ ACB=2/ ABC若/ C=90, / A的平分线交BC与D,不难证明AB=AC+CD如图1所示。当/ Cw 90时，由图2直接写出AB、AC、CD的关系，不需要证明。21、如图，等边 4ABC中，AO是/ BAC的角平分线，D为AO上一点，以 在CD下方作等边 CDE ,连接CD为一边且(2) 长.延长BE至Q, P为BQ上一点，连接 CP、CQ使CP=CQ=5,若BC=8时，求PQ的分析：（2）首先过点C作CHLBQ于H,由等边三角形的性质，即可求得/DAC=30 ,贝U根据等腰三角形