高中数学必修一函数大题(含详细解答)

1、高中函数大题专练1、已知关于x的不等式(kx k2 4)(x4)>0,其中kwR。试求不等式的解集 A ;对于不等式的解集 A,若满足AZ = B (其中Z为整数集)。试探究集合B能否为有限集？若能，求出使得集合B中元素个数最少的k的所有取值，并用列举法表示集合B ；若不能，请说明理由。2、对定义在0, 1上，并且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为G函数。对任意的xw0, 1,总有f(x)20； 当 x1 之0, x2 20, x1 +x2 <1 时，总有 f (x1 +x2)之 f (x1) + f (x2)成立。已知函数g(x) =x2与h(x) =a，2x 1是定义在0,

2、 1上的函数。(1)试问函数g(x)是否为G函数？并说明理由；(2)若函数h(x)是G函数，求实数a的值；(3)在(2)的条件下,讨论方程g(2x -1) + h(x) =m(mw R)解的个数情况。3.已知函数f (x) =2x12|x| .(1)若f (x)=2 ,求x的值;(2)若2tf (2t) +mf(t)之0对于tw 2, 3恒成立，求实数 m的取值范围4.设函数f(x)是定义在R上的偶函数.若当x±0时,x 0;x = 0.1f (x) = « x0,(1)求f (x)在(-g,0)上的解析式(2)请你作出函数f(x)的大致图像(3)当0 <a <

3、b时，若f(a)= f(b),求ab的取值范围(4)若关于x的方程f 2(x)+bf(x) + c = 0有7个不同实数解，求b,c满足的条件.b , 小5.已知函数 f(x)=a(x#0)。 |x|(1)若函数 ”*)是(0,收)上的增函数，求实数 b的取值范围；(2)当b=2时，若不等式f(x) <x在区间(1,+8)上恒成立，求实数 a的取值范围；(3)对于函数g(x)若存在区间m,n(m<n),使x m,n时，函数g(x)的值域也是m, n,则称g(x)是m, n上的闭函数。若函数 f (x)是某区间上的闭函数，试探求a,b应满足的条件。_26、设f (x) = 7 ax

4、+ bx ,求满足下列条件的实数 a的值：至少有一个正实数 b，使函数f (x) 的定义域和值域相同。7 .对于函数f (x),若存在x0 w R，使f(x0) = x0成立，则称点(,x0)为函数的不动点。2(1)已知函数f (x) = ax +bx -b(a o 0)有不动点(1, 1)和(-3 , -3)求a与b的值；(2)若对于任意实数b,函数f(x)=ax2 +bx-b(a= 0)总有两个相异的不动点，求 a的取值范围；(3)若定义在实数集 R上的奇函数g(x)存在(有限的)n个不动点，求证：n必为奇数。1，C、八一八8 .设函数f(x)=x + , (x¥0)的图象为C1

5、、C1关于点A (2, 1)的对称的图象为 C2 , xC2对应的函数为g(x).(1)求函数y=g(x)的解析式；(2)若直线y =b与C2只有一个交点，求b的值并求出交点的坐标.9 .设定义在(0,收)上的函数f(x)满足下面三个条件：对于任意正实数 a、b ,都有f (a b) = f (a) + f (b)-1 ； f (2) =0;当x a1时，总有f(x) <1.，1、(1)求f及f (-)的值；(2)求证：“乂)在(0,依)上是减函数.10 .已知函数f(x)是定义在 匚2,2】上的奇函数，当xW2,0)时，f(x)=tx1x3 (t为2常数)。(1)求函数f (x)的解析

6、式；(2)当t2,6时，求f(x)在匚2,0】上的最小值，及取得最小值时的x,并猜想f (x)在0,2】上的单调递增区间(不必证明)；(3)当t之9时，证明：函数 y = f (x)的图象上至少有一个点落在直线y = 14上。11 .记函数 “x)=2 "7 的定义域为 A, g(x)=lg2x b'j(ax + lNb0,aw R)的定 x 2义域为B ,(1)求 A ：(2)若AW B ,求a、b的取值范围12 、.对于在a,b 上有意义的两个函数f (x)与g(x),如果对任意的xw a, b,均有-1 < f (x) -g(x) <1 ,则称f(x)与g(

7、x)在la,b 上是接近的，否则称 f(x)与g(x)在la,b 上是非接近的.现在有两个函数 f(x)tloxg。1g(x)=l0gt()仕0且1#1),现给7E区间t+2,t+3.x T 1(1)右t=&,判断f (x)与g(x)是否在给定区间上接近；(2)若f(x)与g(x)在给定区间t+2,t+3上都有意义，求t的取值范围；(3)讨论f(x)与g(x)在给定区间t+2,t+3上是否是接近的.13 .集合A是由具备下列性质的函数f(x)组成的：(1)函数f (x)的定义域是0,收)；(2)函数f (x)的值域是2,4);(3)函数f (x)在0,也)上是增函数.试分别探究下列两小

8、题：1(I)判断函数 i(x) = 62(x之0),及f2(x) =4-6，()x(x20)是否属于集合 A?并简 2要说明理由.(n)对于(I)中你认为属于集合 A的函数f(x),不等式f(x) +f(x + 2) <2f(x + 1), 是否对于任意的x之0总成立？若不成立，为什么？若成立，请证明你的结论.产14、设函数 f(x)=ax 2+bx+1 (a,b 为实数),F(x)= (Xf(x) (x<0)(1)若f(-1)=0 且对任意实数x均有f(x)20成立，求F(x)表达式。(2)在(1)的条件下，当xW匚2,2】时,g(x)=f(x)-kx 是单调函数，求实数k的取值

9、范围。(3)(理)设 m>0,n<0 且 m+n>0,a>0 且 f(x)为偶函数，求证：F(m)+F(n)>0 。15.函数f(x)= x(a, b是非零实常数),满足f(2)=1 ,且方程f(x)=x有且仅有一个解。ax b(1)求a、b的值；(2)是否存在实常数 m,使得对定义域中任意的x, f(x)+f(m为=4恒成立？为什么？(3)在直角坐标系中，求定点 A( 31)到此函数图象上任意一点P的距离|AP|的最小值。函数大题专练答案1、已知关于x的不等式(kx k2 4)(x4)>0,其中kwR。试求不等式的解集 A ；对于不等式的解集 A,若满足A

10、'Z = B (其中Z为整数集)。试探究集合B能否为有限集？若能，求出使得集合B中元素个数最少的k的所有取值，并用列举法表示集合B ；若不能，请说明理由。 _ 一 ,4 解：(1)当 k=0 时，A = ( oo,4);当 k>0 且 k#2 时，A = (ao,4)U(k+-,+=c);k当k=2时，A=(笛,4) U(4,+望)；(不单独分析k=2时的情况不扣分)4当 k<0 时，A=(k+ ,4)。k(2)由(1)知：当k之0时，集合B中的元素的个数无限；当k <0时，集合B中的元素的个数有限，此时集合B为有限集。4. 一 一 . 一因为k + W T ,当且仅

11、当k = 2时取等号，所以当k = -2时，集合B的元素个数最少。此时 A =(Y,4),故集合 B = -3,-2,-1,0,1,2,3o2、对定义在0, 1上，并且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为G函数。对任意的xw0, 1,总有f(x)20；当 xi 至0, x2 之 0, xi +x2 <1 时，总有 f (xi +x2)之 f (xi) + f (x2)成立。已知函数g(x) =x2与h(x) =a 2x 1是定义在0, 1上的函数。(1)试问函数g(x)是否为G函数？并说明理由；(2)若函数h(x)是G函数，求实数a的值；(3)在(2)的条件下，讨论方程g(2x -1)

12、 + h(x) =m(mw R)解的个数情况。解：(1)当xw 10,1】时，总有g(x) =x2之0,满足，当 x1 >0, x2 之 0, x +x2 E1 时，g(x1 +x2) =x； +x22 +2x1x2 >x12 +x22 =g(x1) + g(x2),满足(2)若ac1时，h(0) =a1<0 不满足，所以不是 G函数；若a至1时，h( x)在x w 0,1上是增函数，则h (x) >0,满足由 h(x1 +x2) >h(x1) +h(x2),得 a 2x14x2 -1 >a 2x1 1+a，2x2 -1 ,即 a1 -(2x1 -1)( 2

13、x2 -1) <1,因为 x1 -0, x2 -0, x1 x2 M1所以 0W2x11W10 W T2 1 W 1 乂1与 x2 不同时等于 1/. 0 <( 2x1 -1)( 2x1 -1) <1当 x1 =x21 -(2x1 -1)( 2x1 -1)_1一0 时，(1_(2x11)(2x1-1)min-1综合上述：a 1 (3)根据(2)知：a=1,方程为4x -2xx 0,1,0 < 2x -1 <1 /曰由彳得0< x <1令 2x =t w1,2,则 m =t2 _t =( t -1)2 _1由图形可知：当 m w0,2时，有一解；当m w

14、 (q,0)32,)时，方程无解。13 .已知函数f(x) =2x .2 |x|(1)若f (x)=2 ,求x的值；(2)若2tf (2t) +mf(t)之0对于tw 2, 3恒成立，求实数 m的取值范围.解(1)当 x<0 时，f (x) =0 ;当 x 之0 时，f(x)=2x - 1 .2x1由条件可知 2 - * =2 ,即 22x -2 -2x -1=0 , 2x /解得 2x =1 _ .2 .: 2x >0，, x=log2(1 +J2 ).(2)当 tw1,2时，2t,i 22t 4?+m(2t； t0, 22t .2t即 m 22t .124t -1 .: 22t

15、 1>0,. m 之 Y22t +1 )一一 2t丫 tw2, 3, ， -(1+2 ”65,17,故m的取值范围是-17, +°°).一 .1. x > 0;4 .设函数f(x)是定义在R上的偶函数.若当x20时，f(x) = , x ;0, x = 0.(1)(2)(3)(4)求f (x)在(-8,0)上的解析式.请你作出函数 f(x)的大致图像.当0 <a <b时，若f(a)= f(b),求ab的取值范围.2 .右关于x的万程f (x)+bf(x) + c = 0有7个不同实数解，求 b,c满足的条件.一11,0)时，f (x) = f (x)

16、 = 1 =1 +一 .-x(2) f(x)的大致图像如下：.= a b = 2ab 2 ab解得ab的取值范围是0，+=1(4)由(2),对于方程f(x)=a,当a=0时，方程有3个根；当0 <a<1时，方程 有4个根，当a21时，方程有2个根；当a <0时，方程无解.15分2所以，要使关于X的方程f (x) +bf(x) +c = 0有7个不同实数解，关于f(x)的方程2f (x)+bf(x)+c = 0有一个在区间。1)的正实数根和一个等于零的根。所以 c=0, f(x)=bW(0,1),即1<b<0,c=0.5 .已知函数 f(x) =a-b-(x#0)。

17、|x|(1)若函数 “*)是(0,十无)上的增函数，求实数 b的取值范围；(2)当b=2时，若不等式f(x) <x在区间(1,)上恒成立，求实数 a的取值范围；(3)对于函数g(x)若存在区间m,n(m<n),使x m,n时，函数g(x)的值域也是m,n,则称g(x)是m, n上的闭函数。若函数 f (x)是某区间上的闭函数，试探求a,b应满足的条件。解：(1)当 x/0,)时，f(x)=a-bx设 x1,x2 W (0, f 且 X <x2 ,由 f (x)是(0,)上的增函数，则 f (x1) < f (x2)f (x1)- f (x2) =b(x-以:二 0xx2

18、由 x1 < x2, x1,x2 e (0,收)知 x1 -x2 < 0,x1x2 > 0,所以 b > 0 ,即 b w(0, 0)2一一22也,当x=2即x = J2时取等号,(2)当 b=2 时，f(x)=a<x 在 xw(1,y)上恒成立，即 a <x + - |x|x拒 (1, M),所以xx +-在xw（1,y）上的最小值为2，2。则a<2& x(3)因为 f (x)二 a -|x|的定义域是（i,0） U（0,十无），设f（x）是区间m, n上的闭函数，则mn >0且b¥0(4)若 0<m<nb 一 一

19、f（m） =m当b>0时，f（x）=a 是（0,）上的增函数，则<|x|f（n）=nb所以方程a - =x在（0,十无）上有两不等实根, x即x2-ax+b=0在（0,）上有两不等实根，所以-4b 0x1+x2=aA0,即 aA0,bA0 且 a24b>0Xix2 = b 0b当 b <0 时，f (x) =a =a |x|-b）在（0, +*）上递减， xJ_f (m) = n 口丘« ，即f (n) = m若 m :二 n ：二 0ba - - = nma - 二 mna 0 ,所以 a = 0, b < 0mn - -b当 b>0 时，f(x

20、) = a b二a |x|b+ 是（血,0）上的减函数，所以xJ_f (m) = n ，即f (n) = mP-n n m b 一 二mnmn =b0,所以 a=0,b >06、设 f (x)Max2+bx ,求满足下列条件的实数 a的值：至少有一个正实数 b ,使函数f （x）的定义域和值域相同。解：(1)若a = 0 ,则对于每个正数b , f (x) =的定义域和值域都是。,")故a = 0满足条件(2)若a > 0 ,则对于正数b ,f (x) = Jax2 + bx的定义域为D =(f(x) maxb2、-a但f(x)的值域A0,+oc )，故D = A,即a

21、>0不合条件;(3)若a c0,则对正数b ,定义域D =0,- abf(x)的值域为0, 2、- ab b a <0-=-u 1；u a = -4a 2% - a 2<: - a = -a综上所述：a的值为0或-47 .对于函数f (x),若存在x0 W R，使f (x0) = x0成立，则称点(x0,x0)为函数的不动点。(1)已知函数f (x) = ax2 +bx -b(a 0 0)有不动点(1, 1)和(-3 , -3)求a与b的值;(2)若对于任意实数b ,函数f(x)=ax2 +bx-b(a 0 0)总有两个相异的不动点，求 a的 取值范围；(3)若定义在实数集

22、R上的奇函数g(x)存在(有限的)n个不动点，求证：n必为奇数。解：(1)由不动点的定义：f (x)x = 0 ,，ax2+(b1)x b = 0代入x=1知a=1,又由x = 3及a =1知b=3。.a =1 , b = 3。(2)对任意实数b , f (x) = ax2 +bx -b(a 0 0)总有两个相异的不动点，即是对任意的实 数b ,方程f (x) - x = 0总有两个相异的实数根。1- ax2 + (b -1)x - b = 0 中 A = (b -1)2 + 4ab > 0 ,即 b2 +(4a -2)b +1 >0恒成立。故 = (4a -2)2 一4 <

23、0 ,，0 < a < 1。故当0 <a <1时，对任意的实数b ,方程f (x)总有两个相异的不动点。 1'(3) g(x)是R上的奇函数，则 g(0) =0,，( 0, 0)是函数g(x)的不动点。若g(x)有异于(0, 0)的不动点(x0,x0),则g(x0) = x0。又 g(x°) =-g(x°) =-x。，.(x。,x°)是函数 g(x)的不动点。g(x)的有限个不动点除原点外，都是成对出现的,所以有2k个(kwN),加上原点，共有 n=2k+1个。即n必为奇数18.设函数f(x)=x+, (x=0)的图象为G、g关于点

24、A (2, 1)的对称的图象为C2 , xC2对应的函数为g(x).(1)求函数y=g(x)的解析式；(2)若直线y =b与C2只有一个交点，求b的值并求出交点的坐标.1、,1 _斛.(1)设p(u,v)是y =x十一上任意一点，J. v = u十 xu、，一 b + x = 4'u=4-x设P关于A (2, 1)对称的点为 Q(x, y),.，: 3"y = 2 v = 2 - y1一 1代入得 2 _ y = 4 - x - y = x - 2 .4 fx 4,、11- g(x) = x - 2 (x (-二，4) 一(4,二)；x -4y =b2(2)联立 «

25、1nx (b+6)x+4b+9 =0,y = x -2 x -4j. A=(b+6)2 -4M(4b+9) =b2 -4b =0= b = 0或b = 4,(1)当b =0时得交点(3, 0) ;(2)当b =4时得交点(5, 4).9.设定义在(0,十资)上的函数f(x)满足下面三个条件：对于任意正实数 a、b ,都有f (a b) = f (a) + f (b)-1 ； f (2) =0;当x >1时，总有f(x) <1.，一 1 .(1)求f及f (2)的值；(2)求证：“乂)在(0,收)上是减函数.解(1)取 a=b=1,贝U f (1) = 2f (1)1.故f =1又

26、f (1) =f (2 1) =f (2) +f (1)-1 .且 f =0.22得：f(l) =f (1) _f(2) 1 =11 =2 2(2)设0 < x1 <x2,则：f(X2)_ f(X1)= f ( x2 X1) - f ( X1)= f ( x2 ) + f ( X1)-1 - f (x1) X1X1=f ( -) 1依 0 < X1 < X2 ,可得 > 1X1X1Xc再依据当x>1时，总有f(X)<1成立，可得f(-2)c1X1即f(X2) f(X1) <0成立，故f (x)在(0,依)上是减函数。10.已知函数f(x)是定义在

27、12,2上的奇函数，当XW_2,0)时，f(x) =tx1X3 (t为2常数)。(1)求函数f (x)的解析式；(2)当tw2,6时，求f(x)在匚2,0】上的最小值，及取得最小值时的X,并猜想f (x)在0,2】上的单调递增区间(不必证明)；(3)当t29时，证明：函数 y = f (x)的图象上至少有一个点落在直线y = 14上。1 Q1 Q解：(1) x =(0,2时，一 XU匚2,0 ),则 f(x)=t(X) (x)3 =tx+X3,函2 2数f(x)是定义在12,2上的奇函数，即f(x)= f(x),- f(x)=-tx + 1x3,即2-1 31 3f(x)=tx-x ,又可知

28、f(0)=0,.函数 f (x)的解析式为 f(x)=tx x ,22x I- 2,2 1；.tx22之0, f(x)=x t lx2 i， tw2,6, x= 1-2,0, < 2 Jf (x )2 =x2 t x2 M21212X t 一一 X t -X22_38t327=tx2,2min即 x2N,x=_t (四 w 匚2,0) 时，f 333r；猜想f (X)在0,2 上的单调递增区间为0, 三生(3) t 2 9 时，任取2Ex1 <x2 <2,f (x1 ) f (X2 )= (Xi x21仅12 十 xix2 十 x22 J<0, 2 f (x /2,2上

29、单调递增，即 f(x f(_ 2)f(2),即 f(x /!4-2t,2t-4, t>9,4 2t <-14,2t -4 >14 ,14 4 2t,2t 4，当t之9时，函数y= f (x)的图象上至少有一个点落在直线 y =14 上。11.记函数 f (x )= J2 £7 的定义域为 A, g(x)=lg(2x b'j(ax + 1)tb A0,aw R)的定 x 2义域为B ,(1)求若A :AW B ,求a、b的取值范围解：(1)A=/x2x-3八0 x 2(2xb'j(ax+1 )>0,由贝U xb orx21a -20 :二 b :

30、二 6b0321-2 _< 0a12对于在Ia,b上有意义的两个函数f(x)与g(x),如果对任意的 xwa,b,均有-1 < f (x) -g(x) <1 ,则称f(x)与g(x)在la,b】上是接近的，否则称 f(x)与g(x)在la,b 上是非接近的.现在有两个函数 f ( x) Joxg 闫1g(x)=logt()(t >0Ht#1),现给定区间t+2,t+3. x T41(1)若t=一 判断f (x)与g(x)是否在给定区间上接近；2(2)若f(x)与g(x)在给定区间t+2,t+3上都有意义，求t的取值范围；(3)讨论f(x)与g(x)在给定区间t+2,t+

31、3上是否是接近的.解：(1)当 t=；时，f(x)g(x) =lOg1(x-"3)(x1) =log J(x1)2：，1 15 7令 h(x) =logj(x-1),当 x一,一时，h(x) = log i 6,-1 242 22即| f(x) g(x)|，f (x)与g(x)是否在给定区间上是非接近的. 4分(2)由题意知，1>0且101,t +2 -3t >0 , t +2 -t >0，0 <t <1 4 分 | f(x) -g(x)|=|logt(x2 -4tx 3t2)|假设f(x)与g(x)在给定区间t+2,t+3上是接近的，则有110gt (

32、x24tx + 3t2)区122、.一 1W1ogt(x -4tx+3t)w1 ( *)22、令 G (x) =10gt (x -4tx +3t ),当，0 <t <1 时，t +2,t +3在 x = 2t 的右侧，即 G (x) = logt (x2 -4tx+3t2),在t +2,t +3上为减函数,A G(x)maX=10gt(4-4t)，, G(x)min=10gt(96t)所以由(*)式可得0 :二 t ：二 1一9 一，57«1ogt(4 4t) W1 ，解得 0<tw_12logt(9 -6t) - -19- 57 因此，当0 ctM-一时，f(x)

33、与g(x)在给定区间t+2,t+3上是接近的； 12-9 - . 57 当t>-一 时，f (x)与g(x)在给定区间t+2,t+3上是非接近的.14分1213.集合A是由具备下列性质的函数f(x)组成的：(1)函数f (x)的定义域是0,依)；(2)函数f (x)的值域是2,4);(3)函数f (x)在0, +*)上是增函数.试分别探究下列两小题：1(I)判断函数 f1(x)=Vx-2(x>0),及f2(x) =46，(5)x(x至0)是否属于集合 A?并简 要说明理由.(n)对于(I)中你认为属于集合 A的函数f(x),不等式f(x) +f(x + 2) <2f(x +

34、1),是否对于任意的x圭0总成立？若不成立，为什么？若成立，请证明你的结论.解：(1)函数3(x)=JX2不属于集合A.因为f1(x)的值域是2,十8)，所以函数G(x)=JX2不属于集合A.(或:当x=49>0时，f1(49) = 5>4,不满足条件.)1、xf2(x) =4 6 (一) (x >0)在集合A中，因为： 函数f2(x)的定义域是0, 0)； 函 2数f2(x)的值域是-2,4)； 函数f2(x)在0, +8)上是增函数.一1 Y 1、八 f(x) + f (x + 2) 2f (x +1) =6 (一)x() <0 ,24.不等式f (x) +f(x+

35、2) <2f(x+1)对于任意的x20总成立、-2,、,、f (x) (x>0)14、设函数 f(x)=ax +bx+1 (a,b 为头数)，F(x)=1f(x) (x<0)(1)若f(-1)=0 且对任意实数x均有f(x)至0成立，求F(x)表达式。(2)在(1)的条件下，当xW匚2,2】时,g(x)=f(x)-kx 是单调函数，求实数k的取值范围。(3)(理)设 m>0,n<0 且 m+n>0,a>0 且 f(x)为偶函数，求证：F(m)+F(n)>0 。解：(1):f(-1)=0. . b = a + 1 由 f(x) 之0 恒成立 知 =

36、b2-4a=(a+1) 2-4a=(a-1) 2<02<x+1) (x>0)1. a=1 从而 f(x)=x +2x+1F(x)= J,-(x+1)2 (x<0)J(2)由(1)可知 f(x)=x 2 +2x+1 g(x)=f(x)-kx=x 2 +(2-k)x+1 ,由于 g(x)在 L2,21上是2 k2 k单调函数，知-匕上或-幺之2 ,得k<-2或k之6 ,22(3) ; f(x)是偶函数，f(x)=f(x),而a>0，f (x)在上为增函数对 于 F(x),当 x>0 时-x<0 , F(-x)=-f(-x)=-f(x)=-F(x),当 x<0 时-x>0 ,F(-x)=f(-x)=f(x)=-F(x),F(x) 是奇函数且F(x)在0,十8】上为增函数，丁 m>0,n<0,由 m>-n>0知 F(m)>F(-n) . . F(m