北师大版九年级数学下册练习15　三角函数的应用

1、1.5三角函数的应用第1课时方位角问题基础题知识点方位角问题1.已知：岛P位于岛Q的正西方，由岛P，Q分别测得船R位于南偏东30°和南偏西45°方向上，符合条件的示意图是(D)2.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A处.如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，那么海轮航行的距离AB的长是(C)A.2海里 B.2sin55°海里C.2cos55°海里 D.2tan55°海里3.如图，轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行

2、半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是(D)A.25海里 B.25海里C.50海里 D.25海里4.如图，C，D分别是一个湖的南、北两端A和B正东方向的两个村庄，CD6 km，且D位于C的北偏东30°方向上，则AB3km.5.(2019·大连)如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向，距离灯塔86 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，此时，B处与灯塔P的距离约为105n mile(结果取整数，参考数据：1.732，1.414).6.(2019

3、3;成都)由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2019年5月成功完成第一次海上试验任务.如图，航母由西向东航行，到达A处时，测得小岛C位于它的北偏东70°方向，且与航母相距80海里，再航行一段时间后到达B处，测得小岛C位于它的北偏东37°方向，如果航母继续航行至小岛C的正南方向的D处，求还需航行的距离BD的长.(参考数据：sin70°0.94，cos70°0.34，tan70°2.75，sin37°0.60，cos37°0.80，tan37°0.75)解：由题意可知：ACD70°，BCD37

4、76;，AC80.在RtACD中，cosACD，CDAC·cosACD80×0.3427.2(海里).在RtBCD中，tanBCD，BDCD·tanBCD27.2×0.7520.4(海里).答：还需航行的距离BD的长为20.4海里.中档题7.如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截，红方行驶1 000米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方，求拦截点D处到公路的距离(结果保留根号).解：过

5、点C作CEAD于点E，CFAB于点F，则ADEDCF.由题意，得ECD45°，ABC30°.在RtECD中，EDCD·sin45°1 000×500.在RtCFB中，CFCB·sin30°1 000×500.AD500500.拦截点D处到公路的距离为(500500)米.8.如图，轮船甲位于码头O的正西方向A处，轮船乙位于码头O的正北方向C处，测得CAO45°，轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为45 km/h和36 km/h，经过0.1 h，轮船甲行驶至B处，轮船乙行驶至

6、D处，测得DBO58°，此时B处距离码头O多远(参考数据：sin58°0.85，cos58°0.53，tan58°1.60)?解：设B处距离码头Ox km，在RtACO中，CAO45°，tanCAO，COAO·tanCAO(45×0.1x)·tan45°4.5x.在RtDBO中，DBO58°，tanDBO，DOBO·tanDBOx·tan58°.DCDOCO，36×0.1x·tan58°(4.5x).x13.5.因此，B处距离码头O大约

7、13.5 km.综合题9.如图，我国南海某海域A处有一艘捕鱼船在作业时突遇特大风浪，船长马上向我国渔政搜救中心发出求救信号，此时一艘渔政船正巡航到捕鱼船正西方向的B处，该渔政船收到渔政求救中心指令前去救援，但两船之间有大片暗礁，无法直线到达，于是决定马上调整方向，先向北偏西60°方向以每小时30海里的速度航行半小时到达C处，同时捕鱼船低速航行到A点的正北1.5海里D处，渔政船航行到点C处时测得点D在南偏东53°方向上.(1)求C，D两点的距离；(2)渔政船决定再次调整航向前去救援，若两次航速不变，并且在点E处会合，求ECD的正弦值(参考数据：sin53°，cos5

8、3°，tan53°).解：(1)过点C作CGAB于点G，过点D作DFCG于点F.则BC30×15(海里)，CGBC·sin30°7.5(海里)，FGAD1.5海里，CF7.51.56(海里)，CD10(海里).(2)设t小时后，两船在E处会合，则ED3t，CE30t.过点E作EHCD交CD于点H.CGAE，GCDCDE，HEED·sin53°.在RtCEH中，sinECD.第2课时仰角、俯角问题基础题知识点仰角、俯角问题1.如图，某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C，此时飞行高度AC1 200 m，从飞机上看地平面

9、指挥台B的俯角30°，则飞机A与指挥台B的距离为(D)A.1 200 m B.1 200 mC.1 200 m D.2 400 m2.(2019·山西)如图，创新小组要测量公园内一棵树的高度AB，其中一名小组成员站在距离树10米的点E处，测得树顶A的仰角为54°.已知测角仪的架高CE1.5米，则这棵树的高度为15.3米(结果保留一位小数.参考数据：sin54°0.809 0，cos54°0.587 8，tan54°1.376 4).3.(2019·黄石)如图，无人机在空中C处测得地面A，B两点的俯角分别为60°，4

10、5°.如果无人机距地面高度CD为100米，点A，D，B在同一水平直线上，那么A，B两点间的距离是100(1)米.(结果保留根号)4.如图，热气球的探测器显示，从热气球底部A处看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球A处与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(1.732，结果保留小数点后一位)?解：过点A作ADBC，垂足为D.根据题意，得BAD30°，CAD60°，AD120 m.在RtADB中，由tanBAD，得BDAD·tanBAD120×tan30°120×40(m).在

11、RtADC中，由tanCAD，得CDAD·tanCAD120×tan60°120× 120 (m).BCBDCD40120160277.1(m).答：这栋楼高约为277.1 m.5.(2019·菏泽)2018年4月12日，菏泽国际牡丹花会拉开帷幕，菏泽电视台用直升机航拍技术全程直播.如图，在直升机的镜头下，观测曹州牡丹园A处的俯角为30°，B处的俯角为45°.若此时直升机镜头C处的高度CD为200 m，点A，B，D在同一条直线上，则A，B两点间的距离为多少米？(结果保留根号)解：由图可知，ECA30°，ECB45&

12、#176;，ACD60°，BCD45°.在RtBCD中，DCBD200 m.在RtACD中，tanACD，ACD60°，DC200 m，ADtan60°·DC200 m.ABADBD(200200)m.中档题6.(2019·抚顺)如图，某城市的电视塔AB坐落在湖边，数学老师带领学生隔湖测量电视塔AB的高度，在点M处测得塔尖点A的仰角AMB为22.5°，沿射线MB方向前进200米到达湖边点N处，测得塔尖点A在湖中的倒影A的俯角ANB为45°，则电视塔AB的高度为100米(结果保留根号).7.(2019·天津

13、)如图，甲、乙两座建筑物的水平距离为78 m，从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的俯角为48°，测得底部C处的俯角为58°，求甲、乙建筑物的高度AB和DC(结果取整数.参考数据：tan48°1.11，tan58°1.60).解：过点D作DEAB，垂足为E.则AEDBED90°，由题意可知，BC78，ADE48°，ACB58°，ABC90°，DCB90°，可得四边形BCDE为矩形.EDBC78，DCEB.在RtABC中，tanACB，ABBC·tan58°78×1.60125.在R

14、tAED中，tanADE，AEED·tan48°78×1.1187.DCEBABAE1258738.答：甲建筑物的高度AB约为125 m，乙建筑物的高度DC约为38 m.8.如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆CD的高度，先在教学楼的底端A点处，观测到旗杆顶端C的仰角CAD60°，然后爬到教学楼上的B处，观测到旗杆底端D的俯角是30°，已知教学楼AB高4 m.(1)求教学楼与旗杆的水平距离AD(结果保留根号)；(2)求旗杆CD的高度.解：(1)教学楼B点处观测到旗杆底端D的俯角是30°，ADB30°.在RtABD中，

15、BAD90°，ADB30°，AB4 m.AD4(m).答：教学楼与旗杆的水平距离AD为4 m.(2)在RtACD中，ADC90°，CAD60°，AD4 m，CDAD·tan60°4× 12(m).答：旗杆CD的高度是12 m.综合题9.如图所示，体育场内一看台与地面所成夹角为30°，看台最低点A到最高点B的距离为10，A，B两点正前方有垂直于地面的旗杆DE.在A，B两点处用仪器测量旗杆顶端E的仰角分别为60°和15°(仰角即视线与水平线的夹角).(1)求AE的长；(2)已知旗杆上有一面旗在离地1

16、米的F点处，这面旗以0.5米/秒的速度匀速上升，求这面旗到达旗杆顶端需要多少秒？解：(1)BGCD，GBABAC30°.又GBE15°，ABE45°.EAD60°，BAC30°，BAE90°.AEB45°.ABAE10.故AE的长为10米.(2)在RtADE中，sinEAD，DE10×15.又DF1，FE14.28(秒).故这面旗到达旗杆顶端需要28秒.第3课时坡度问题基础题知识点坡度问题1.如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是34，迎水坡面AB的长度是50 m，则堤坝高BC为(A)A.30 m B.40 mC

17、.50 m D.60 m2.如图，某游乐场一山顶滑梯的高为h，滑梯的坡角为，那么滑梯长l为(A)A. B.C. D.hsin3.如图，一个斜坡长130 m，坡顶离水平地面的距离为50 m，则该斜坡的坡比是512.4.(2019·枣庄)如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，则大厅两层之间的高度为6.2米(结果保留两个有效数字，参考数据：sin31°0.515，cos31°0.857，tan31°0.601).5.如图，在山坡上植树，已知山坡的倾斜角是20°，小明种植的两棵树间的坡面距离AB是6米，要求相邻两

18、棵树间的水平距离AC在5.35.7米范围内，问小明种植的这两棵树是否符合这个要求(参考数据：sin20°0.34，cos20°0.94，tan20°0.36)?解：由题意得：RtACB中，AB6米，A20°，ACAB·cosA6×0.945.64(米).5.64米在5.35.7米范围内，种植的这两棵树符合要求.6.学校校园内有一小山坡AB(如图)，经测量，坡角ABC30°，斜坡AB长为12米.为方便学生行走，决定开挖小山坡，使斜坡BD的坡比是13，A，D两点处于同一铅垂线上，求开挖后小山坡下降的高度AD.解：在RtABC中，

19、ABC30°，则ACAB6米，BCAB·cosABC12×6(米).斜坡BD的坡比是13，CDBC2米.ADACCD(62)米.答：开挖后小山坡下降的高度AD为(62)米.7.(2019·安顺)如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC是10米，坡面AC的倾斜角CAB45°，在距A点10米处有一建筑物HQ，为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC的倾斜角BDC30°.若新坡面下D处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除(计算最后结果保留一位小数，参考数据：1.414，1.732)?解：

20、由题意，得AH10米，BC10米，在RtABC中，CAB45°，ABBC10米.在RtDBC中，CDB30°，DB10米.DHAHADAH(DBAB)10101020102.7(米).2.73，该建筑物需要拆除.中档题8.如图1，某超市从一楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图.已知自动扶梯AB的坡度为12.4，AB的长度是13米，MN是二楼楼顶，MNPQ，C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点，BCMN，在自动扶梯底端A处测得C点的仰角为42°，则二楼的层高BC约为(结果精确到0.1米，sin42°0.67，tan42°0.90)(D)A

21、.10.8米 B.8.9米 C.8.0米 D.5.8米9.(2019·重庆A卷)如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角AED58°，升旗台底部到教学楼底部的距离DE7米，升旗台坡面CD的坡度i10.75，坡长CD2米.若旗杆底部到坡面CD的水平距离BC1米，则旗杆AB的高度约为(参考数据：sin58°0.85，cos58°0.53，tan58°1.6)(B)A.12.6米B.13.1米C.14.7米D.16.3米10.“蘑菇石”是我省著名自然保护区梵净山的标志，小明从山脚B点先乘坐缆车到达观景平台DE观景，然后再沿着坡脚为29°的斜坡由E点步行到达“蘑菇石”A点，“蘑菇石”A点到水平面BC的垂直距离为1 790 m.如图，