北师大版八年级数学下册讲义构造全等三角形的六种常用方法

1、专训2 构造全等三角形的六种常用方法【名师点睛】在进行几何题的证明或计算时，有时需要在图形中添加一些辅助线，辅助线能使题目中的条件比较集中，比较溶液找到一些量之间的关系，使数学问题较轻松的解决。常见的辅助线作法有：翻折法、构造基础三角形法、旋转法、平行线法、倍长中线法和截长补短法，目的都是构造全等三角形。方法1翻折法1.如图，在ABC中，BE是ABC的角平分线，ADBE，垂足为D，求证：2=1+C.解答：证明：BE是ABC的角平分线，ADBEAB=FB2=AFBAFB=1+C2=1+C.方法2构造基础三角形法2.如图,在RtABC中,ACB=90,AC=BC,ABC=45，点D为BC的中点，C

2、EAD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF.求证：ADC=BDF.解答：证明：作BGCB,交CF的延长线于点G,如图所示：CBG=90，CFADCAD+ADC=BCG+ADC=90CAD=BCG在ACD和CBG中CAD=BCGAC=BCACD=CBG=90ACDCBG(ASA)CD=BG，CDA=CGBCD=BDBG=BDABC=45FBD=GBF=CBG在BFG和BFD中BG=BDFBD=GBFBF=BFBFGBFD(SAS)FGB=FDBADC=BDF.方法3旋转法3.正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求EAF的度数。解答：延长EB使得BG=DF，连

3、接AG，在ABG和ADF中由AB=AD，ABG=ADF=90，BG=DF可得ABGADF(SAS)DAF=BAG，AF=AG又EF=DF+BE=EB+BG=EG，AE=AE在AEG和AEF中，AE=AE，GE=FE，AG=AFAEGAEF(SSS)EAG=EAFDAF+EAF+BAE=90EAG+EAF=90EAF=45.方法4平行线法4.如图，在ABC中，BAC=60°，C=40°，AP平分BAC交BC于P，BQ平分ABC交AC于点Q，且AP与BQ相交于点O.求证：AB+BP=BQ+AQ.解答：证明：过点O作ODBC交AB于点D.ODBCADO=ABCBAC=60

4、6;，C=40°ABC=80°ADO=80°BQ平分ABCABQ=QBC=40°AQB=C+QBC=80°ADO=AQBAP平分BACDAO=QAO=30°又OA=OAADOAQOOD=OQ，AD=AQ又ODBPPBO=DOB又PBO=DBODBO=DOBDOB是等腰三角形BD=ODBD=OQBAP=30°，ABQ=40°BOP=70°BAP=30°，ABC=80°APB=70°BOP=APBBOP是等腰三角形BO=BPAB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+B

5、Q，即AB+BP=BQ+AQ.方法5倍长中线法5.如图，ABC中，D为BC的中点。(1)求证：AB+AC>2AD；(2)若AB=5，AC=3，求AD的取值范围。解答：(1)证明：由BD=CD，再延长AD至E，使DE=ADD为BC的中点DB=CD在ADC和EDB中，AD=DE，ADC=BDE，DB=CDADCEDB(SAS)BE=AC在ABE中，AB+BE>AEAB+AC>2AD；(2)AB=5，AC=353<2AD<5+31<AD<4.方法6截长补短法6.如图,ABCD，CE，BE分别平分BCD和CBA，点E在AD上，求证：BC=AB+CD.解答：证明：在BC上取点F，使BF=BA，连接EF，BE、CE分别是ABC和BCD的平分线，1=2，3=4.在ABE和FBE中AB=FB，1=2，BE=BEABEFBE(SAS)A=5