北师大版九年级数学下册25二次函数与一元二次方程学案

1、2.5二次函数与一元二次方程学习目标1经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系 2理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根一、【学前复习】1：方程的解的定义：能够使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。只含有一个未知数的方程的解也叫方程的根一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边的值相等的未知数的值就叫一元二次方程的解也叫做方程的根.2: 一元二次方程的一般形式：任何关于x的一元二次方程，经过变形整理，都可化成ax2bxc0 (a、b、c是已知数，a0)的形式。这种形式叫做

2、一元二次方程的一般式（或标准式）其中，ax2叫做二次项，a叫做二次项的系数；bx叫做一次项，b叫做一次项的系数；c叫做常数项.二、【方法点拨】点拨1：学习重点 （1）体会方程与函数之间的联系 （2）理解何时方程有两个不等的实根，两个相等的实数和没有实根 （3）.理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标点拨2：学习难点 （1）探索方程与函数之间的联系的过程 （2）理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系三、【思路拓展】步骤1：迁移1（常德市）根据下列表格中二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a0，a

3、，b，c为常数）的一个解x的范围是（ ） x6.176.186.196.20y=ax2+bx+c-0.03-0.010.020.04A6<x<6.17 B6.17<x<6.18 C6.18<x<6.19 D6.19<x<6.20分析：从表中可以看出当x=6.18时，y=-0.01 ，当x=6.19时，y=0.02,所以方程的一个解肯定在61.8和6.19之间。本题答案：C步骤2：本节知识应用1（天津）已知二次函数 (a0）且a0，ab+c0，则一定有（ ） Ab24ac0 Bb24ac0 Cb24ac0 Db24ac0分析：a0，抛物线开口向下，

4、经过（1，ab+c）点，因为ab+c0，所以（1，ab+c）在第二象限，所以抛物线与x轴有两个交点，所以b24ac0，故选A答案：A2.若二次函数y2 x22 mx2 m22的图象的顶点在x 轴上，则m 的值是（ ）（A）0 （B）±1 （C）±2 （D）±分析：抛物线的顶点在x 轴上，表明抛物线与x 轴只有一个交点，此时 y0由题意知D y0，即4 m28 m280，故m±答案：D师生互动 共解难题一、【实例讲解】例1：竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可以用公式h=-5t2+v0t+h0，表示，其中h0(m)是抛出时的高度，v0(ms

5、)是抛出时的速度一个小球从地面被以40 ms的速度竖直向上抛起，小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如下图所示，那么(1)h与t的关系式是什么?(2)小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流 分析：（1)h与t的关系式为h-5t2+v0t+h0，其中的v0，为40 ms，小球从地面被抛起，所以h0=0把v0，h0代入上式即可求出h与t的关系式(2)小球落地时h为0，所以只要令h=-5t2+v0t+h中的h为0，求出t即可还可以观察图象得到解：(1)h=-5t2+v0t+h0， 当v0=40，h0=0时， h-5t2+40t (2)从图象上看可知t8时，小球落地或者令h0，得

6、： -5t2+40t0 即t2-8t0 t(t-8)=0 t=0或t8 t0时是小球没抛时的时间，t=8是小球落地时的时间例2：已知二次函数的图象经过点（1，1）求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与x轴的交点的个数分析：二次函数的图象经过点（1，1），就可以把（1，1）代入解析式，从求得函数的解析式.解：根据题意，得a21. a1 这个二次函数解析式是因为这个二次函数图象的开口向上，顶点坐标是（0，2），所以该函数图象与x轴有两个交点二、【学会总结】总结1：的符号的符号由抛物线与x轴的交点个数决定若抛物线与x轴只有一个交点，则=0；有两个交点，则0没有交点，则0 总结2：如何利用二次函数

7、的图象估计一元二次方程的两根的值(1)画出二次函数y=ax2+bx+c的图象；(2)根据图象确定抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点分别在哪两个相邻的整数之间；利用计算器探索其解的十分位数字，从而确定方程的近似根.总结3：一元二次方程ax2bxc0可以看作是二次函数yax2bxc当函数值为0的特殊情形，因而它们有着密切的关系，主要表现如下：方程ax2bxc0的解可用抛物线yax2bxc与x轴交点的横坐标去反映；反过来，若抛物线yax2bxc与x轴两个交点坐标分别为（x1，0）和（x2，0），则x1、x2为方程ax2bxc0的两个解积累运用 学会创新1已知函数y=kx27x7的图象和x轴有

8、交点，则k的取值范围是（ ）2直线y=3x3与抛物线y=x2 x+1的交点的个数是（ ） A0 B1 C2 D不能确定3函数的图象如图l230，那么关于x的方程的根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个异号实数根 C有两个相等实数根 D无实数根4二次函数的图象如图l231所示，则下列结论成立的是（ ） Aa0，bc0，0 B.a0，bc0，0 Ca0，bc0，0 D.a0，bc0，05函数的图象如图 l232所示，则下列结论错误的是（ ） Aa0 Bb24ac0 C、的两根之和为负 D、的两根之积为正6不论m为何实数，抛物线y=x2mxm2（ ） A在x轴上方 B与x轴只有一个交点

9、C与x轴有两个交点 D在x轴下方拓展尝新 突破自我7.（天津）已知抛物线y=x2+x-（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长8画出函数y =x22x3的图象，利用图象回答：（1）方程x22x3=0的解是什么？（2）b取什么值时，函数值大于0？（3）b取什么值时，函数值小于0？参考答案积累运用 学会创新1.分析：由函数y=kx27x7的图像和x轴有交点，可知，当k=0时，y=7x7，此函数与x轴有交点。当k0时，函数y= kx27x7的图像和x轴有交点。则需=（7）24k×（-7）0，即k且k0,两种情况合起来，则需k.答案是：C2

10、.分析：由3x-3= x2x1,得x24x+4=0,即（x-2）2=0，x1 =x2=2.故直线y=3x-3与y= x2x1的交点只有一个.答案：B3.分析：由图像知，函数y=ax2+bx+c的顶点的纵坐标为3.所以=3，即b2-4ac=-12a，方程ax2+bx+c-3=0的判别式=b2-4a（c-3）=b2-4ac+12a=-12a+12a=0,所以方程ax2+bx+c-3=0有两个相等实数根。答案：C.4.分析：由图像开口向下，知a0，图像与y轴交于正半轴，则c0，对称轴在y轴左侧，知0.则b0,故bc0,图像与x轴有两个交点，故0.所以选D.答案：D5.分析：由图像可知，抛物线与x轴的交点位于y轴两侧，则ax2+bx+c=0的两根一正一负.则两根之积为负.答案：D6.分析： =(-m)2-4×1×(m-2)=m2-4m+8=(m-2)2+4,所以不论m为何实数都有(m-2)2+40.所以抛物线与轴有两个交点.答案：C拓展尝新 突破自我7. 分析：本题（1）是