数列专项训练(含答案)

1、数列与数学归纳法专项训练21. 如图，曲线y =x(y_O)上的点R与x轴的正半轴上的点 Qi及原点0构成一系列正三角形 0R1Q， QR2Q,/ Q-iPnQ设正三角形Qn/PnQn的边长为an ,n N*(记Qo为O), Qn Sn,0 . (i)求ai的值；(2)求数列 an的通项公式a.。2. 设：an二% ?都是各项为正数的数列，对任意的正整数n ,都有 a* ,b；, an 1成等差数列，b2, an .i, b21成等比数列.(1)试问bn 是否成等差数列？为什么？L1 I(2)如果3)= 1,b = J2，求数列丿一的前n项和Sn . 1% J3. 已知等差数列 an 中，a2

2、 = 8，S6 = 66.(i)求数列 an 2的通项公式;(n)设 bn =(n 1)an 'Tn 二 d b2 bn，求证：Tn34.已知数列 an中a151an =2 -(nA2， n N )，数列bn，满足 bn(n N ')(1) 求证数列 bn是等差数列；(2) 求数列 an中的最大项与最小项，并说明理由；(3) 记 & F b2 0，求 nlim(1)bnSn出5.已知数列an中，a1>0,且 an+1= J， 2(i )试求a1的值，使得数列an是一个常数数列；(n )试求a1的取值范围，使得an+1>an对任何自然数 n都成立；(皿)若a1

3、=2，设bn=| an+1-an|( n=1，2， 3，)，并以 S表示数列 bn的前n项的和，求证 16.(1)已知：x三(0，求证lnx +112(2)已知：n N且n _2，求证：11 3x 11 .；x x1 1 ln n ： 1 n7.已知数列各项均不为其前n项和为Sn ,且对任意n N ,都有(1 -p) Sn 二 p - pa.(常数) ，并记f(n)1 C：印 C： a?2n(1)求an ；(2)(3)比较f (n 1)与卫一1 f (n)的大小n2pf(i) v * 1-/xp+1P-1 lp -1丿2n A求证：(2n -1) f(n) 、i A(n N ).8.已知n N

4、 ”，各项为正的等差数列aj满足a2 a6 =21忌-a5 =10，又数列tlgb/的前n项和是5 =n n 1 lg3 *n n 一1。(1)求数列1an?的通项公式;(2)求证数列是等比数列;(3 )设Cn =anbn，试问数列、Cn有没有最大项？如果有，求岀这个最大项，如果没有，说明理由。9.设数列：an 前项和为sn,且(3 -m)sn * 2man = m 3(n，N ),其中m为常数，m = 3.(1)求证：是等比数列；若数列 即的公比q=f(m),数列 血满足0 =aj,bnf (b(n N *, n色2),求证：丄为等差数列，求b110.已知数列an满足：a1,a 丄，且3 (

5、-1)n向吃 - 2an 2(-1)n - 1 = 0，2(i)求a3, a4, a5, a6的值及数列a.的通项公式;(H)设bn二a2n二£2n，求数列bn的前n项和Sn ；11.将等差数列an所有项依次排列，并作如下分组:(ai), 2, a3), (a4, a5 ,a6 ,a7)，第一组1项，第二组 2项，第三组4项，,n 1”.n组2 项。记Tn为第n组中各项的和。已知T3 = -48,丁4 = 0。(1)求数列an的通项;(2 )求Tn的通项公式;设Tn的前n项的和为Sn ,求 S812.设各项为正数的等比数列& 的首项ai1，前n项和为Sn，且20 102 S3

6、0 -(21)S20S10 =0。(i)求fan九勺通项;(n) 求 :nSn 的前 n 项和 Tn。113.设数列an是首项为0的递增数列，()， fn(x) = si n(x a.),，a.n满足：对于任意的 b 0,1), fn(x b总有两个不同的根。(1) 试写岀y二£(x)，并求岀a2 ；(2) 求an 1 -an，并求岀an的通项公式；n _1(3)设 Sn = a1 - a2 a3 - a4 八(-1) an，求 Sn。14. 已知数列 印2,，a30，其中 "2,，印0是首项为1，公差为1的等差数列；a10，an，a?。是公差为d的等差数列；a?。，a?1

7、,a30是公差为d2的等差 数列(d 0).(1)若a2040，求d ； (n)试写岀 a30关于d的关系式，并求 a30的取值范围；(皿)续写已知数列，使得a30,a31,，a40是公差为d3的等差数列，依次类推，把已知数列推广为无穷数列.提岀同(2)类似的问题(2)应当作为特例)，并进行研究，你能得到什么样的结论？(所得的结论不必证明)15. 一种计算装置，有一数据入口A和一个运算岀口B，按照某种运算程序：当从 A 口输入自1 1然数1时，从B 口得到，记为f 1；当从A 口输入自然数n n-2时，在B 口得到33的结果f n 是前一个结果 f n-1的2 n "" 倍

8、.2(n 1) + 3(1)当从A 口分别输入自然数 2, 3 , 4时，从B 口分别得到什么数？试猜想f n的关系式，并证明你的结论；(2 )记Sn为数列：f n /的前n Sn的值.16.已知数列an，其前n项和S满足Sn d -2 Sn 1C是大于o的常数)，且ai=i，&=4.(1) 求，的值；(2) 求数列an的通项公式an；(3)设数列nan的前n项和为Tn,试比较 与S的大小.217.定义：若数列An满足人1二A2，则称数列An为“平方递推数列” 已知数列an2中，印=2，且a. 1 =2an - 2an，其中n为正整数.(1)设bn =2an 1，证明：数列bn是“平方

9、递推数列”，且数列lg 0为等比数列；设(1)中“平方递推数列”bn的前n项之积为Tn，即 Tn 心1 1)曲，1川吃可，1)，求数列an的通项及Tn关于n的表达式；记Cn =log2an 1Tn，求数列阳的前n项之和 氏，并求使Sn 2008的n的最小值.18.在不等边厶ABC中，设A、B、C所对的边分别为a， b，c，已知si n2A， sin2B， si n2C依次成等差数列，给定数列cos A cosBa bcosCc(1)试根据下列选项作出判断，并在括号内填上你认为是正确选项的代号:cos A cosBcosC /)B.是等差数列而不是等比数列D.既非等比数列也非等差数列数列，(a

10、b cA.是等比数列而不是等差数列C.既是等比数列也是等差数列(2)证明你的判断.19. 已知an是等差数列，其前n项和为S,已知a2=8，S10=185,(1)求数列an的通项公式;(2)设an = log 2bn，证明bn是等比数列，并求其前n项和Tn.120. 已知数列an中，a1 =1，an =anj(n= 2，3，4,)an(1 )求a2、a3的值;(Il )证明当 n = 2, 3, 4,时，Zn 1 ： a 3n -221. 已知等差数列 an中，a3 =8, Sn是其前n项的和且S20 =610(I )求数列 an的通项公式。(II )若从数列 an中依次取岀第2项，第4项，第

11、8项，第2n项，按原来的顺序组成一个新数列 bn，求数列 bn的前n项和Tn。22. 已知正项等比数列 an 满足条件：a，! a2 a3 a4 a121 ；1111125，求 an的通项公式an .a1 a? a3 a4 as23. 已知函数 f (x)= log 3 ( ax+b)图象过点 A ( 2，1)和 B ( 5，2).(1)求函数f (x)的解析式；(2 )记an =3 x， nN*，是否存在正数k，使得(V飞)(1 二)a a(1 丄)_k 一 2n 1对一切n N *均成立，若存在，求岀k的最大值，若不存在，请说明理an由.24. 已知 f(x)=log 2(x+m),m R

12、(1) 如果f(1) ，f(2) ，f(4)成等差数列，求 m的值；(2) 如果a,b,c是两两不等的正数，且a,b,c依次成等比数列，试判断 f(a)+f(c) 与2f(b)的大 小关系，并证明你的结论。26. an和bn分别是等比数列和等差数列，它们的前四项和分别为120和60,而第二项与第四项的和分别是90和34,令集合A二ai，a；，a3，,a；，B二b，b2，b3，,bn.求证：A、B .1 127. 已知曲线C： y , Cn : y- (n，N ”)。从C上的点Qn(Xn,yn)作X轴的xx +2垂线，交Cn于点Pn ,再从点Pn作y轴的垂线，交C于点Qn 1 (Xn 1,n 1

13、),设 X1 =1,an =Xn 1 -Xn,bn =yn - yn1。(I )求Q1 ,Q2的坐标；(II )求数列 n的通项公式；(iii )记数列 an bn匚的前n项和为Sn ,求证：Sn ： 13答案:c2a1 - 0,. a1 =31.解：由条件可得 F1'1a1 <3印I22丿，代入 y2 =x(y _0)得-a-|2 = - a1, V421 7 Sn=91 2an : Png 于fam）；代入曲线y2 = x(y 一0)并整理得Sn =3a；1 一爲.1, 于是当n _2, n N42时，an =Sn-Sn-( an1 _an1 ( an_an)1 3*車即二(

14、an1'an)(an 1 ' an)(anan)ian1- an - 0,an1 an =2 4-(n _2,n3n =1 时 1,1 a?an 1_an2.由题意,4亠2十、22, a 一2 玄舍(去)a2 a<)=333222的等差数列，an = 2 n。332 * 2 亠 (nN ) 所以数列 an是首项为、公差为33得 2bn = anan 1， ( 1)= bnjb(2)-bnLbn 1，从而当 n 一 2（1）因为an0,bn - 0，所以由式（2）得an 1an = bnL bn,代入式（1 ）得 2b；二 bnbn bnbn 1，即2bn=bn八bni n

15、-2，故仏？是等差数列.由补甘三及式（1），式（2），易得"吐害2, 、. 2 因此匕的公差d，从而bn =t1n1 dn 1 ，2 21得 am 石 n 1 n 2( 3)又ai = 1也适合式（3），得an所以丄二一2 = 2 i1an n n 1 n n 1 '从而Sn =21.22 3.3.解：（1）a-i d =86 5a1 = 6, d = 26a1d = 66 2.an = 2n 4d(n)2n=2 1I n +1 丿 n+1bn(n +1)an(n +1)(2 n+4) n+1 n+2心1 b2川“2111111 11_丄1_丄丄_丄川 11是递增数列，.Tn

16、 n 2n4. ( 1)an Aan J 1an J 1bn41 .an J "1 an 4 -1(n N )15 bn是首项为b，公差为1的等差数列.a1 1215(2)依题意有 an -1 ，而 bn(n -1) V 二 n - 3.5，bn2an -1-:n 3.51对于函数yx3.5，在 x > 3.5 时，y > 0, y ： 0，在（3.5 ,-）上为减函数故当n= 4时，an = 11取最大值3n -3.5上也为1 1而函数 y在 xv 3.5 时，y v 0， y'2 : 0，在(-兀，3.5 )X3.5(X3.5)减函数.故当3时，取最小值，a3

17、 = -1 .(3)Sn 15 2n-5、(n 1)(一2 )(n 1)( n_5)=52(n- 1)bn limnSnd1= lim 2(一1)(3.5)=2 . n 心(n 1)(n -5)3 an233又依a1>0，可得an>0并解岀：an=，即a1=an=_223 an3 a n _12 25.( I )欲使数列an是(n )研究 an+1-an=注意到2个常数数列，则an+i=anan an3 an23 a n J(n2)3 an2>0因此，可以得岀：an+1 an，an an 1， an 1 an 2，,a2 a1有相冋的符号 7'耍使an+1>an

18、对任意自然数都成立,只须a2 a»0即可.3 十引 -a1>0，解得：0<a1<32 2(皿)用与(n )中相同的方法，可得3当a1>-时，an+1<an对任何自然数 n都成立.2因此当 a1=2 时，an+1 an<0 S=b1+b+bn=| a2 a+l a g|+ +| an+1 a“|=a1 a2 + a2 + an an+1=a1 an+1=2 a+1又：an+2= J3 +an寺¥ 23<an+1，可解得an+1>,231故 S<2=2 216. ( 1)令 1t，由 x>0， t>1x11 In

19、 t ： t -1t原不等式等价于令 f(t)=t-1-lnt1J f (t) =1 当 t (1,：)时，有 f(t)>f(1)即 t-1<lnt1另令 g(t) =ln t _1_，则有 g (t)t1x =t -1f (t)0 ,A 函数 f(t)在 t (1,：)递增-g(t)在(1：)上递增， g(t)>g(1)=0 Int .1 t1:In(2 )由(1)1 1即得1 丄23x=1,2,(n-1)并相加得-：ln ：11n21+n -1综上得7.(1)易求得an(2) f(n)二1 C： & C：a22n Sn+C； Gn1 - P /1+ P、n 1()

20、-P +1作差比较易得：f(n1)：上1 f (n)2p(3)当n =1时，不等式组显然成立当 n _2时，先证 f(1)f(2)f (2n -1):P 1 P 1、2n由( 2) 知 f(n 1) ： P 1f( n)： (一)2f( n-1)：( J)nf(O p-1p -1p -1P 1、2nP 1 P 1、2P T、22:/(宀希(第广(J)=2p2p2p再证 f(1)f(2) z- , f(2n-1) (2n-1) f(n)2n-1m m2nnJ2nn、2而 1 -( pp) p ： 1 一 2p p p (1 一 p )同理：f (2)f (2n-2) 2 f (n) , f(3)

21、 f (2n3) 2 f (n),以上各式相加得：2f(1)f(2)f (2n -1)1 2(2n- 1)f(n)2n 4即 7 f (i)(2 n-1) f (n).i齢8. (1) a2- a3 a5 10，又a?比=21a2a6=3 或 a7=7a = 3若! =7，则 an =9 n ,印。=1 与 a>0矛盾; 比=31 a? =3若，则an = n 1,显然an 0 ,06 = 7(2) Igd =3 =2lg 3,. d = 9 ,当n _2时,Igbn 二SnSn=lg9 9n J，欧 b”=919n_1bn = 9，二 bn110丿,n N99为首项，为公比的等比数列。

22、10（3）倍110丿，设Ck k _ 2是数列中的最大项，则Ck 亠 Ck 1 由ki可得8乞39J C< Ck d.数列有最大项，最大项是“81109. ( 1)由(3 - m)sn 2man 二 m 3得(3 - m)sn2man d = m 3, 二Sn是等比数列。(2) dp = 1,q = f (m)二 2m , n N n _ 2m +311(i)经计算 a3=3 , a4 二一,a5=5, a6 二一 4810.当n为奇数时，an .2 =an 2，即数列a.的奇数项成等差数列,a2n 4 = a1 ' （n 一 1） 2 = 2n 一1;1当n为偶数，an 2an

23、，即数列a.的偶数项成等比数列，2/ 1、n/ 1、n a2n "2 (2)=(2厂（n为奇数）因此,数列an的通项公式为 an（n为偶数）(n)-Sn1 - bn =(2n -1) H)n ,211 2 1 3=13(；)5 (；)22 21 1C）（2严（2n"）（2）n2Sn（1 ）、（ 2）两式相减,(2)二 1 G)2 3 ()3 5(2n-3) (；)n (2n-1) (1)n'12 2 2 2 2得2sn心组旷中3（2门心"（扩1、n 1-（2n -1）（2）-(2n 3)2(2) Sn =3(2n 3)(丄)211.设an的公差为d,首项为

24、a1，则T3= a4a5a6a7= 4a118d - -48 ( 1)T4二 a8a9a15=8印84d = 0 ( 2)解得 621,d =2，贝U an =2n -23。n组中的(2) 当n_2时，在前n-1组中共有项数为：1 2 22 . 2n 2nJ -1。故第第一项是数列an中的第2n4项，且第n组中共有2nJ项。n 41 n 4 nJ2n -2n 4所以 Tn =2aorn2 (21)d =3 2-24 22 2当 n=1 时，T1=a1=-21 也适合上式，故 Tn =3 22n'-24 2n。(3) S8=T1T2.T8。即数列an前8组元素之和，且这8组总共有项数12

25、 22. 27 = 28 -1 =255。11则 £ =255a1 - 255 254 d =255 (-21) 255 254 2 =594152212. ( I)由 210S30 -(210 1)S20 S10=0 得 210(S30 S20)=S20 S10,前两式相减，得n"21n(n 1)42(12n1n(n 1)22n-2.即 2 (a2i - a22 -a3o) = aii - ai2 -a20, 可得 210 q10(aii - ai2 -a2o) =aii - ai2 一 -a20.10101nil因为an 0，所以2 q 1,解得q ，因而an = a1

26、qn，n = 1,2,2 2n11(n)因为an是首项a1、公比q的等比数列，故221 2n则数列nSn的前n项和Tn=(12一 n)-(2n),2 2 2T 1111尹2(1+2+打)七+尹切)13. (1 ) a1 = 0,当 n = 1时，£ (x) =| sin(x &) |=|sinx x Oa?,又对任意的b 0,1), f1(x) b总有两个不同的根， a2二理f1(x) = sin x,x 0,二,a2 = :由(1),1 1x_f2(x)=|s in (x-a2)|=|si n (x-m) |=| cos-|,x- ,a32 22对任意的 b 0,1)f 1

27、 (x)二b 总有两个不同的根a 3 3'：.111f3(x) =|s in (xa3)|=|s in (x-3：)|=|s in|,x 3 二，a43 33对任意的b 0,1), f1(x) =b总有两个不同的根， a4 =6二由此可得an彳_an二n二，ann(n -1)二22n一兀4(1) 当 n = 2k,k 二 Z , S?k =*1 - a? a3 _a ” ”£22 _a2k二 一(a2 一 a1) (a4 一 a3)(a2k a22)2 S =2 n s 二一二-3二 5胄川八r；'(2k _1)二二 _k4当 n = 2k 1,k Z ,S2k 1

28、= S2ka2k1(2k1)2k2 (n - 1)(n 1)4(n -1)(n 1)414. (1) a10 =10. a20 =10 10d =40, . d =3.(2) a30 二a2010d2 =101 d d2 (d 0),a30 =10 d30 R+ i 十一当 d （0,：）时，.a30（10,：）1的等差数列,（3）所给数列可推广为无穷数列Can 其中a1,a2, a10是首项为1，公差为当n -1时，数列a10n, a10n勺，,a10（n 4）是公差为d “的等差数列研究的问题可以是：试写岀a10（n 1）关于d的关系式，并求 a10（n 1）的取值范围.Q n Q15.

29、（1 ）由已知得 f n =f n-1 n 亠 2, N"2n +1431 11当 n = 2时，f i2 = f 11 = ， 1 分4+15 3 1511冋理可得f 3, f 43分猜想3563下面用数学归纳法证明成立当时,由上面的计算结果知成立6分假设时，成立，即时,那么当时,也成立成立。综合所述,（2）由（1）可得16. （I ）解：由得（II ）由，数列是以S1 + 1=2为首项，以2为公比的等比数列，当n=1时a1=1满足(III ) 得则当n=1时,即当n=1或2时,当n>2时，17. ( 1 )由条件 a“+ 1 = 2an + 2an ,得 2an + 1 +

30、 1 = 4 an + 4an + 1= (2a“ + 1) bn是 平方递推数 列” lg bn+1 = 2lg bn.T lg(2 a+ 1) = Ig5 丰 0,二=2 .二lg(2 an+ 1)为等比数列.n 1(2) V lg(2 a1+ 1) = lg5 , lg(2 an+ 1) = 2g5，二 2an+ 1= 5, an= (5 1) * lg Tn = lg(2 a+ 1) + lg(2 a2+ 1) + lg(2 an + 1) = (2 1)lg5 二 5 (3) Cn= = = = 2 , S= 2n 1 + + + + = 2n = 2n21 = 2n 2+ 2.由 S > 2008 得 2n2+ 2> 2008 , n + > 1005 ,当 nW 1004 时，n+v 1005，当 n1005 时，n+> 1005, n 的最小值为 1005 .18. (1) B(2)因为sin A、sin C成等差数列，所以所以又显然数列.若其为等比