18-19第3章阶段复习课第3课统计案例

1、第三课统计案例核心速填(建议用时4分钟)1. 分析判断两个变量相关关系常用的方法(1) 散点图法：把样本数据表示的点在直角坐标系中标出，得到散点图，由散点图的形状分析.(2) 相关指数法：利用相关指数R2进行检验，在确认具有相关关系后，再求线性回归方程.2. 求线性回归方程的步骤(1) 画散点图：从直观上观察两个变量是否线性相关.(2) 计算：利用公式求回归方程的系数的值.nn一一：Z_(x匚-X_(Y二¥_)£xjyinxyi=1i1g=三,a=y-bx.n-nM凶二"X：Mx一n*-i=1i=1'AAA(3) 与出万程：依据y=a+bx,与出回归直线万

2、程.3. 两种特殊可线性化回归模型的转化(1) 将籍型函数y=axm(a为正的常数，x,y取正值)化为线性函数.如果将y=axm两边同取以10为底的对数，则有lgy=mlgx+Iga.令u=Igy,v=Igx,Iga=b,代入上式，得u=mv+b,其中m,b是常数.这是u,v的线性函数.如果以u为纵坐标，v为横坐标，则u=mv+b的图象就是一直线.(2) 将指数型函数y=cax(a>0且a冬1,c>0且为常数)化为线性函数.将y=cax两边同取以10为底的对数，有Igy=xlga+Igc,令Igy=u,Iga=k,Igc=b,得u=kx+b,其中,k和b是常数，与籍型函数不同的是x

3、依然保持原来的，只是用y的对数Igy代替了y.4. 在实际问题中常用的三个数值(1) 当K2>6.635时、表示有99%的把握认为“事件A与B有关系”.当K2>3.841时.表示有95%的把握认为“事件A与B有关系”.当K2<3.841时，认为事件A与B是无关的.体系构建题型探究照.1.1J线性回归分析回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.«¥两个变量的一组观测值，可以画出散点图或利用相关系数r,判断两个变量是否具有线性相关关系，若具有线性相关关系，可得出线性回归直线方程.利用公式求回归直线方程时应注意以下几点：一一Z(Xi-xj(

4、yi-y)Zxiyi-nxyi=1i=1,.jF八、卜=1(1)求b时，利用公式b=n=2nx2，先求出X=n(xi寻(xi7f，二1xi-nx11+x2+x3+-+xn),7=%y1+y2+y3+yn).再由刍=7b7求刍的值，并写出回归直线方程.(2) 回归直线一正经过样本点的中心(x,y).(3) 回归直线方程中的截距a和斜率&都是通过样本估计得来的，存在误差,这种误差可能导致预报结果的偏差.回归直线方程y=a+bx中的b表示x每增加1个单位时预报变量y的平均变化量，而a表示预报变量y不随x的变化而变化的部分.例。以下是某地收集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据:房屋面积

5、x/m11511080135105销售价格y/万元24.821.618.429.222画出数据对应的散点图；(2)若线性相关，求线性回归方程；根据(2)的结果估计当房屋面积为150m2时的销售价格.【导学号：95032252解(1)数据对应的散点图如图所示.15(2)由散点图知y与x具有线性相美美系.由表中数据知x=5Zxi=109,yi=1=弓£,=23.2,£x=60975,£xiyi=12952.设所求回归直线方程为y=bx+a,°i_1i_1i_1xiyi_5-?则b=二0.1962,告=项-bx1.8142,故所求回归直线方程为y=5xx2-5

6、x2i10.1962x+1.8142.根据(2),当x=150时，销售价格的估计值为y=0.1962X150+1.8142=31.2442刀元).规律方法在散点图中样本点大致分布在一条直线附近，则利用线性回归模型进行研究，可近似地利用回归直线方程y=bx+旨来预报，利用公式求出回归.AA.、一.系数a,b,即可写出回归直线方程，并用回归直线方程进行预测说明.跟踪训练1.已知某连锁经营公司的5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表:商店名称ABCDE销售额x(千万元)35679利润额y(千万元)23345画出散点图；(2) 根据如下的参考公式与参考数据，求利润额y与销售额x之间的线性回归方程；若

7、该公司还有一个零售店某月销售额为10千万元，试估计它的利润额是多少.n-xxiyinxyi=1(参考公式:b=,a=ybx.nZx2-nx2i=155其中，寻xiyi=112,Rx2=200)解(1)散点图.30一17a1125X6X3.4(2)由已知数据计算得n=5,x=5=6,y=5=3.4,b=2。5x6X60.5,a=3.4-0.5X6=0.4.A则线性回归万程为y=0.5x+0.4.一人一将x=10代入线性回归万程中得到y=0.5X10+0.4=5.4(千万兀).即估计该零售店的利润额约为5.4千万元.催观j回归模型分析对丁建立的回归模型，我们必须对模型的拟合效果进行分析,也就是对利

8、用回归模型解决实际问题的效果进行评价.一方面可以对比残差或残差平方和的大小，同时观察残差图，进行残差分析；另一方面也可以研究数据的R2(相关系数r).对模型拟合效果的分析能够帮助我们利用最优化的模型来解决实际问题.在研究弹簧伸长长度y(cm)与拉力x(N)的关系时，对不同拉力的6根弹簧进行测量，测得如下表中的数据:x/N51015202530y/cm7.258.128.959.9010.911.8若依据散点图及最小二乘法求出的回归直线万程为y=0.18x+6.34,求R2,并结合残差说明拟合效果解列表求值如下:xi51015202530yi7.258.128.959.9010.911.8xiy

9、i36.2581.2134.25198272.53542x25100225400625900Ayiy0.01一0.02一0.09一0.040.060.06一yy一2.24一1.37一0.540.411.412.31x=17.5,yQ9.49,£xiyi=1076.2,Zx2=2275,Z(yi§)2=0.0174,Zi=1i=1i=1i=1(yiV)2=14.6784.R2=1-00174一.一MwnzT0.99881,回归模型拟合效果较好.由表中数据可以看14.6/84出残差比较均匀地落在宽度不超过0.15的狭窄的水平带状区域中，说明选用的线性回归模型的精度较高.规律方法

10、在一元线性回归模型中，相关指标R2与相关系数r都能刻画线性回归模型拟合数据的效果.|r|越大，R2就越大，用线性回归模型拟合数据的效果就越好.跟踪训练2.关丁x与y有以下数据:x24568y3040605070已知x与y线性相关，由最小二乘法得b=6.5,求y与x的线性回归方程；现有第二个线性模型：；=7x+17,且R2=0.82.若与的线性模型比较，哪一个线性模型拟合效果比较好，请说明理由.解(1)依题意设y与x的线性回归方程为y=6.5x+a.=5,30+40+60+50+70_y=5=50AA_.y=6.5x+a经过(x,y),_AA.50=6.5X5+a,/.a=17.5,-y与x的线

11、性回归方程为§=6.5x+17.5.A.一一.(2)由(1)白勺线性模型侍yiyi与yiy的关系如下表:Ayyi0.5-3.510一6.50.5yy一20一1010020所以Z(yi-?i)2=(-0.5)2+(-3.5)2+(-10)2+(-6.5)2+0.52=155.i=1£(yi-V)2=(-20)2+(10)2+102+02+202=1000.i=15A22yi)i=1所以R2=1=1一i0.845.5I000j2W(yiy)由丁R2=0.845,R2=0.82知R2>R2,所以(1)的线性模型拟合效果比较好.横观j独立性检验独立性检验是判断两个分类变量之间

12、是否有关系的一种方法.在判断两个分类变量之间是否有关系时，作出等高条形图只能近似地判断两个分类变量是否有关系，而独立性检验可以精确地得到可靠的结论.卜例B为了调查胃病是否与生活规律有关，在某地对540名40岁以上的人进行了调查，结果是：患胃病者生活不规律的共60人，患胃病者生活规律的共第6页20人，未患胃病者生活不规律的共260人，未患胃病者生活规律的共200人.(1) 根据以上数据列出2X2列联表；(2) 判断40岁以上的人患胃病与生活规律是否有关.【导学号：95032254思路探究(1)解决本题关键是首先弄活问题中的两个分类变量及其取值分别是什么，其次掌握2X2列联表的结构特征.(2)利用

13、2X2列联表计算K2的观测值，再结合临界值表来分析相关性的大小.解(1)由已知可列2X2列联表如下:患胃病未患胃病总计生活规律20200220生活不规律60260320总计80460540(2)根据列联表得K2的观测值为_一一2k=9.638.540X(20X260-200X60)q80X460X220X320因为9.638>7.879,因此，我们在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为40岁以上的人患胃病和生活规律有关.规律方法独立性检验的一般步骤：(1) 根据样本数据制成2X2列联表.(2) 根据公式计算K2的观测值k.(3) 比较k与临界值的大小关系作统计推断.跟踪训练3.为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行问卷调查第7页得到了如下的列联表:喜爱打篮球不喜爰打篮球总计男生5女生10总计50已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为0.6.(1)请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程);(2)能否有