18-19第3章31313导数的几何意义

1、3.1.3导数的几何意义学习目标：1.理解导函数的概念；理解导数的几何意义.2.会求导函数.(重点)3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.(重点、难点)自主预习探新知导数的几何意义(1) 切线的定义：当Pn趋近丁点P时，割线PPn趋近丁极限位置，这个极限位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.导数f'(X0)的几何意义：函数f(x)在x=xo处的导数就是切线的斜率k,即U0星X二fxok=li_Ay=f(x).史0巨切线方程：曲线y=f(x)在点(xo,f(xo)处的切线方程为yf(x0)=f'(xg)(xZ1X0).思考1:是否任何曲线的割线均有斜率？提示不是，当

2、曲线的割线垂直丁x轴时，此割线的斜率不存在.思考2：当点Pn无限趋近丁点P时，割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系？提示kn无限趋近丁切线PT的斜率k.基础自测1. 思考辨析(1) f'(x0)与(f(x0)'表示的意义相同.()(2) 曲线的切线与曲线不一定只有一个交点.()设f'(x0)=0,贝U曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线与x轴平行或重合.()提示(1)X(f(x0)'=0,而f'(x0)可以为任意实数.VV1,12.函数y=x在版，-2，处的切线万程是()A.y=4xB.y=4x4C.y=4x+4D.y=2x4111

3、AxAy1B先求y=的导数：购=+=,习=,limxx+Axx"+3)axx+k)kF芸如。=;)=土即y1一i,1=/,所以y=x在点22j处的切线斜率为k=y'必=4-所以切线方程是y+2=4jx-2j,即y=4x-4.3.若函数f(x)在x。处的导数f'(xo)=寸3,则函数f(x)在x。处的切线的倾斜角为.【导学号：73122211】60设倾斜角为0,则tan0=f(xo)=寸3,所以M60.lim史04x°,合作探究玫重难座也即f'(xo)=4x0.(1)L抛物线的切线的倾斜角为45°,斜率为tan45=1,即f'(X0)

4、=4x0=1,得x0=4,该点为字8)(2) 抛物线的切线平行丁直线4xy-2=0,.斜率为4,即f'(X0)=4x0=4,得X0=1,该点为(1,3).(3) ：抛物线的切线与直线x+8y-3=0垂直，斜率为8,即f'(x0)=4x0=8,得x0=2,该点为(2,9).规律方法根据切线斜率求切点坐标的步骤设切点坐标(x0,y0).(2) 求导函数f'x).(3) 求切线的斜率f'x0).(4) 由斜率间的关系列出关丁x0的方程，解方程求x0.(5) 点(x0,y0)在曲线f(x)上，将x0代入求y0,得切点坐标.跟踪训练1.若曲线y=x2+2ax与直线y=2x

5、4相切，求a的值并求切点坐标.【导学号：73122212解设切点坐标为(x。，y。).-f(x0+Ax)f(x°)22=(x0+Ax)+2a(x0+/x)x02ax0=2x0-妍(女)2+2a-xyf(xo+Ax)f(x°)二k=x=2x0+2a+Ax,.会c，clim广2x0+2a,Axp仪-f(x°)=2x0+2a,2x0+2a=2.乂y0=2x04,(22y0=xo+2ax0,联立消去a,y0得X0=坦，当X0=2时a=1,切点坐标为(2,0)；当X0=2时a=3,切点坐标为(一2,8).卜例思路探究求f'(x)求f'(1),f(1)T写出切

6、线方程类型目解.购=(1+Ax)求切线方程探究问题1. 曲线的割线与切线有什么关系？提示(1)曲线的切线是由割线绕一点转动，当另一点无限接近这一点时割线趋丁的直线.(2)曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以有无穷多.与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线.2. 曲线在某点处切线与在该点处的导数有什么关系？提示(1)函数f(x)在X0处有导数，则在该点处函数f(x)表示的曲线必有切线，且导数值是该切线的斜率.函数f(x)表示的曲线在点(x0,f(x0)处有切线，但函数f(x)在该点处不一定可导，如f(x)=3x在x=0处有切线，但不可导.已知曲线C:y=f(x)=x

7、3.求曲线C上在点(1,f(1)处的切线方程.【导学号：73122213-1=(Zx)3+3(Zx)2+3(女),.f'(1)=lim*=lim(度)2+3(蜀+3=3.0线史0乂f(1)=1,曲线C上在点(1,f(1)处的切线方程为y1=3(x1),即3xy20.母题探究：1.(变换条件)本典例曲线方程不变，试求过点P(1,1)与曲线C相切的直线方程.解设切点为P(xo,x0),切线斜率为k=f(xo)=lim来史0织,33=lim史0(xo+Ax)xo成223=lim3zxxo+3(Ax)x0+(Ax)Zx=lim3x0+3Axx0+(W史02=3x0,故切线方程为y-x3=3x0

8、(xx0).乂点(1,1)在切线上，将其代入切线方程得1x3=3x0(1x0),有(1x0)(1+x0+x0)3x0(1x0)=0,所以(x01)2(2x0+1)=0,解得x0=1或x0=§.故所求的切线方程为.131y-1=3(x-迎y+8=4x+2!,即3x-y-2=0或3x-4y+1=0.2. (改变问法)本典例中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？3x-v2=0,解由j3y=x3侍x3x+2=0,即(x1)2(x+2)=0.解得xi=1,x2=2,从而求得公共点P(1,1),Q(-2,-8).即切线与曲线C除了切点外，还有其他的公共点.规律方法(1)求曲线在某点处的切线方程的

9、三个步骤(2)求曲线y=f(x)过点P(xo,f(xo)的切线方程： 设切点为(m,f(m)； 求函数y=f(x)在点m处的导数f'm); 根据直线的点斜式方程，写出切线方程为yf(m)=f'm)(xm)； 代入P(xo,f(xo)求出m的值，回代即可求出切线方程.提醒：求曲线y=f(x)过点P(xo,yo)的切线方程时，点P(xo,yo)不一定是切点.搂型?I导数几何意义的应用例SJ如图3-1-5所示表示物体运动的位移随时间变化的函数f(t)=4t-2t2的图象，试根据图象，描述、比较曲线f(t)在to,t1,t2附近的变化情况，并求出t=2时的切线方程.图3-1-5思路探究

10、本题考查导数几何意义的应用，明确导数的几何意义是解题的关键.f'(xo)表示曲线y=f(x)上点(xo,f(xo)处的切线的斜率，要比较f(t)在to,t1,t2附近的变化情况，即比较切线的倾斜程度.解用曲线f(t)在t0,tl,t2处的切线刻画曲线f(t)在t0,tl,t2附近的变化情况.(1)当t=t0时，曲线f(t)在to处的切线10平行丁x轴，所以在t=t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降；当t=ti时，曲线f(t)在ti处的切线11的斜率f'(ti)<0,所以在t=ti附近曲线下降，即函数f(t)在t=t1附近单调递减；当t=t2时，曲线f(t)在t2处的切线12

11、的斜率f(t2)<0,所以在t=t2附近曲线下降，即函数f(t)在t=t2附近也单调递减.由图象可以看出，直线11的倾斜程度小丁直线12的倾斜程度，说明曲线f(t)在t1附近比在t2附近下降得缓慢；当t=2时，f(2)=0.在t=2时的切线的斜率一.一.2-一f(2+At广f(2)4(2+每)一2(2+At)8+8k=f1imn=1im用At004At2(Atf-8At=1'm月AtT0A=1im(-2At-4)=4.AtT0所以切线的方程为y=4(x-2),即4x+y-8=0.规律方法导数几何意义的综合应用问题的解题关键还是对函数进行求导，利用题目所提供的如直线的位置关系、斜率

12、取值范围等关系求解相关问题，此处常与函数、方程、不等式等知识相结合.跟踪训练(1)已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f'(x)的图象如图3-1-6所示，则该函数的图象是()图3-1-6(2)已知函数f(x)在区间0,3上的图象如图3-1-7所示，记ki=f'(1),k2=f'(2),k3=kAB,则ki,k2,k3之间的大小关系为.(请用">”连接)图3-1-7B(2)ki>k3>k2(1)由函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象自左到右先增后减，可知函数y=f(x)图象的切线的斜率自左到右先增大后减小

13、.(2)由导数的几何意义，可得k1>k2.f(2广f(1)_人.*3=集示割线AB的斜率,2-1k1>k3>k2.当堂达标固双基1.已知曲线y=f(x)=2x2上一点A(2,8),则曲线在点A处的切线斜率为()A.4B.16C.8D.2一一22(2+Ax)8Cf(2)=lim芯=8.y0a2.若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是xy+1=0,贝U()【导学号：73122214】A.a=1,b=1B.a=1,b=1C.a=1,b=1D.a=1,b=1(Ax2+a(Ax)+bbAf'(0)=lim=lim(zx+a)=a=1.史0m史0乂(0,b)在x-y

14、+1=0上，所以b=1.故选A.如图3-1-8所示的是y=f(x)的图象，则f'(xa)与f，(xb)的大小关系是()图3-1-8A.f(xa)>f'(xb)B.f(xa)<f(xb)C.f(xa)=f(xb)D.不能确定B分别过A,B两点曲线的切线，由切线的斜率知kB>kA,(xb)>f'(xa).故选B.3. 已知函数y=f(x)的图象在点(1,f(1)处的切线方程为y=x+2,则f(1)+f'(1)=.4.f(1)=1+2=3,f(1)=k=1,.f(1)+f'(1)=4.4. 已知曲线y=gx3上一点P?,8),求曲线在点P处的切线方程.【导学号：73122215】解记y=f(x),因为点P?,8叶曲线y=1x3上，所以曲线在点P处的切线的斜率即为f'(2),3(2+境-3x23而f'(2)=limt-史0仪22313X2Xk+3X2X(Ax)+(Ax)=Slim；3Ax