云南省2020学年中考数学面对面几何图形的证明与计算题库

1、几何图形的证明与计算类型一简单几何图形的证明与计算1.如图，在正方形 ABC由，E是边AB上的一动点(不与 A, B重合)，连接 DE点A关于 DE的对称点为F,连接EF并延长交BC于点G连接DG过点E作EHL DE交DG的延长线于 点H,连接BH(1)求证：GF=GC(2)用等式表示线段 BH与AE的数量关系，并证明；(3)若正方形 ABCD勺边长为4,取DH勺中点M请直接写出线段 BMK的最小值14.点A关于直线DE.AD摩 FDE,DA=DF=DC,DF = DCDG=DG证法一：如解第1题解图 DMTBE第1题图证明：(1)如解图，连接 DF, 四边形ABC国正方形，DA=DC / 片

2、/ C=90 ,的对称点为F, 第1题解图/DFE=/A=90 , .DF390 ,在 RtADFGFD RtDCGhDF等 DCG( HD , . GF=GC(2)结论：B叶J2ae证明如下:图，在线段AD上截取AM 使AM=AE, .ADAB由(1)知：/ 1=72, / 3=7 4, /ADC90 ,.Z 1+Z 2+7 3+7 4=90° , .2/2+2/3=90° , ，/2+/3=45° , 即/ EDG45。， . EHL DE / DEH90。， DEK等腰直角三角形， /AEI+/BEH/AED/1=90 , DE=EH 1=/ BEH在 DM

3、序口 4EBH中，fDM = BE：N1=NBEH ,DE=EHDMBEBH(SAS , ，E附BHRtAAEM, / A=90 , AMAE .EM=、2AEBH= J2 AE;(3)如解图中，取 DE的中点Q连接OM OA AM EM DEH等腰直角三角形， DMHMDGO禽OE=OM 第1题解图 .Z DAM/ MAB 时，BM的值最小, .EM=DMHM EML DM / DA巨/ DM=90 , OD=OE .A , D , M , E 四点共圆， / MAB/ MD=45 , 点M在正方形的对角线 AC上，当BMLAM最小值为2.2.平分线与边 AD2.如图，在矩形ABCW,对角线

4、AC的垂直BC分别交于点E、F,连结AR CE(1)试判断四边形 AFCE勺形状，并说明理由；若 AB=5, 2AE=3BF,求 EF的长；BF(3)连结BE若BELCE求E二的值.AE第2题图解：(1)四边形AFCE菱形. 理由：.四边形 ABCDI矩形， .AD/ BC AD=BC / EAO/ FCQ.EF是AC的垂直平分线，AO=CQ / EOA/ FOC90 ,在 AE丽 ACFO43,EAO= FCO,AO= CO,EOA= FOC,. .AE拿 CFO (ASA ，. AE=CF,，四边形AFC国平行四边形，又 ACL EF，四边形AFC国菱形；(2)AE=3BF,四边形AECF

5、AF=AE=3m ,m= J5，可以假设AE=3m BF=2m是菱形，第2题解图在 RtMBF中, A百+B=aR 22 - 25+4m=9m,.AF=FC=3,5 ,BF= 2,5 ,- BC=5 .5 ,四边形ABCO矩形， / AB090 ,AG , AB2 BC2-二 25 125 -5 6 ,.OCAC = 516 tan / OCFOFOCABBCOF 5_30-尸=-7=， OF=5.6 5.522.AE实 ACFO.OE=OF? .-. EF=2OF= 30.(3)设 AE=a, 8已10则 AF=CF=EC=a, BGa+b, BF=DE=b. 四边形ABCD矩形， .AD/

6、 CB Z DEC/ BCE. BEX CE / BEB/ D=90 ,.CD团 BECDE EC = 5EC BCb a=,a a bb2+ab a2=0,（b）2 + b -1=0 a ab 5-1-.由-1 ,、或（舍弃）a 22BF .5-1AE 一 23. （1）已知： ABC等腰三角形，其底边是 BC点D在线段AB上，E是直线BC上一点，且/ DEC= / DCE 若/ A= 60° （如图）.求证：EB= AD（2）若将（1）中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”，其它条件不变（如 图），（1）的结论是否成立，并说明理由； 若将（1）中的“若/ A=

7、60° ”改为“若/ A= 90° ”，其它条件不变，则愚值是多少？（直接写出结论，不要求写解答过程 ）第3题图（1）证明：如解图所示，过点D作 DF/ BC交 AC于点 F,贝U AD= AF, ./ FDC= / DCE / A= 60° ,DF= AD= AF,又. / DEB= / DCE ./ FDC= / DEB第3题解图又 ED= CD / DB号 / DFC= 120 , . .DB自CFDAAS）, EB DFEB= AD（2）解：EB= AD成立.理由如下：如解图所示，过点 D作DF/ BC交AC的延长线于F,贝U AD= AF= DF / F

8、DC= / ECD又. / DEO / ECD ./ FDC= / DEC ED= CD又/ DBE= / DFC= 60° ,第3题解图.DB摩 CFDAAS);EB= DF, EB= AD-EB斛：AcT V2-【解法提示】过点 D作BC的垂线，根据等腰直角三角形的性质，可以得出线段间关系， 进而求得所需答案.类型二 涉及动点、平移、折叠、旋转的几何图形的证明与计算4.如图，正方形 ABCD将边CD绕点C顺时针旋转60。，得到线段 CE,连接DE AE BD AE与BD交于点F.(1)求/ AFB的度数；(2)求证：BF=EF;第4题图解：(1)二.四边形 ABCD1正方形，,1

9、 ，一 / ADB / ADC45 ,2由旋转得：CD=CE / DCEB0° , . DC既等边三角形，. CD=DE=ADZADE：90 +60° =150° , DA曰/ DE/=15 , .Z AFB=ZFAD-Z ADB15 +45° =60 ;图，连接CF CD既等边三角形， / DEC60 , 一/ DEA15 , . Z CEI=Z CBf=45 , 四边形ABCD1正方形，. AD=CD /ADI=/CD=45 , .AD咎CDF(SAS , ./ FCB=90° -15° =75° ,E ECf=60 +

10、15° =75° , / FCB：/ ECF. CF=CF, .EC咎ABCF(SAS , BF=EF;5、如图，点 O是等边 ABB一点，将4 OD 已知/ AOB= 110 .(1)求证： COO等边三角形；BO噬点C按顺时针方向旋转 60°得 ADC连接= 150°时，试判断 AOD勺形状，并说明理由(2)当(3)探究：当“为多少度时， AO等腰三角形.第5题图 证明：由旋转的性质可得，CO= CD Z OCD 60。，.COD1等边三角形；(2)解：当“=150° ,即/ BOC= 150°时， AOD1直角三角形.理由如下：

11、 BO孽 ADC ./ ADC= / BOC= 150 , 又 COD1等边三角形，/ OD6 60 , ./ADO= 90 , 即 AOD1直角三角形； (3)解：分三种情况讨论： AO= AD / AO屈 / ADO . / AOD= 360° -Z AO&/ COD- & =360° -110° -60° & =190° & , /ADO =a 60 , .190° - a = a -60° , a = 125 ; OA= OD / OAD= / ADO. / AOD= 190°

12、; a ,/ADe a 60 ,，/OAD= 180° - ( Z AOD- /ADO=50 , . a -60° =50° , . . a = 110 ；OD= AD / AOD= / OAD .190° a =50° , - a = 140 ;综上所述：当 a的度数为125。或110。或140。时， AO*等腰三角形.6.如图，将一张矩形纸片 ABC附着对角线BD向上折叠，顶点 C落到点E处，BE交AD于 点F.(1)求证： BDF是等腰三角形；(2)如图，过点D作DG/ BE交BC于点G,连接FG交BDT点O判断四边形BFDG勺形状， 并

13、说明理由；(3)在(2)的基础上，若 A& 6, AD= 8,求FG的长.困工图第第6题图(1)证明：由折叠的T生质可得，/DB仔Z DBF 四边形ABCD1矩形，. AD/ BC ./ ADB= / DBC ./ DBF= / ADBBF= DF, . BDF等腰三角形；(2)解：四边形BFDO菱形.理由：.四边形ABCD1矩形，. AD/ BC 即 DF/ BG. DG/ BF,，四边形BFD比平行四边形， . BF= DR(1)中已证)，平行四边形 BFDO菱形；(3)解：.矩形 ABC用 AB= 6, AD= 8, / A= 90 ,.BD= .A百+ AD = 10, 四边形

14、BFD面菱形，. BDL GF GF= 2OF BD= 2ODtan / ADB=OF AB_= =OD AD15OF= 了一 15FG=.7.如图，正方形ABCD(勺边长是16,点E在边AB上，AE= 3,动点F在边BC上，且不与点B,C重合，将 EBF沿EF折叠，得到 EB F.(1)当/ BEF= 45° 时，求证：CF= AE;(2)当B' D= B' C时，求BF的长；求CB F周长的最小值.第7题图第7题解图BEB F是正方形,(1)证明：如解图,当/ BEF= 45。时，易知四边形. BF= BE,. AB= BC. CF= AE;(2)解：如解图，作

15、B' N± BC于点N, NB的延长线交 AD于点M EE EGL MNF点G 则四边形MNCD四边形AEG哪是矩形.第7题解图. B' D= B' C,/ B' DC= / B' CD . / ADC= / BCD= 90 ,/ B' DM= / B' CN . / B' MD= / B' NC= 90 , .B' M" B1 NCAAS), .B' M= B' N= 8, .AE= MG= 3,，GB =5,在 RtEGB 中，EG= ,EB 2-GB 2 =寸132 52

16、= 12, . / EB G+ / FB N= 90° ,/ FB' N+ / B' FN= 90° , ./ EB G= / B' FN / EGB = / FNB =90° , EGB s B' NF, EG EB12 13- B N FB' 8 B' F'BF= B F= 26；(3)解：如解图，以 E为圆心，EB为半径画圆，连接 EC在 RtEBC中，/ EBC= 90° , EB= 13, BC= 16,第7题解图EC= . 162+ 132=5 ,17, CFB 的周长=CF+ FB +

17、 CB = BF+ CF+ CB = BO CB = 16+CB , 欲求 CFB的周长的最小值，只要求出 CB的最小值即可， . CB + EB' > EC 当E、B'、C共线时，CB的值最小，CB最小值是为5717-13. .CFB的周长的最小值为 3+5匹.8.如图，在 RtAABC, Z ACB= 90° , AC= 6, BC= 8,点D以每秒1个单位长度的速度由 点A向点B匀速运动，到达 B点即停止运动. M N分别是AD CD的中点，连接 MN设点D 运动的时间为t.(1)判断MNW AC的位置关系;(2)求在点D由点A向点B匀速运动的过程中，线段

18、 MNf扫过区域的面积;(3)若 DM混等腰三角形，求t的值.解：(1) MN AC证明：在 ADB, M是AD的中点，N是DC的中点，MN/ AC(2)如解图，分别取 ABC三边中点E, F, G并连接EG FG第8题解图根据题意，可知线段 MN3过区域的面积就是平行四边形AFGEE勺面积. AC= 6, BC= 8, .AE= 3, GC= 4, ./ACB= 90 ,SAfge= AE, GC= 12, 线段MNa过区域的面积为 12；1 _ _1_1 一 依题意可知，MD= 2AD DN= 2DC MN= 2AC= 3.分三种情况讨论：(i )当MD= MN= 3时， DMNJ等腰三角

19、形，此时 AD= AC= 6, t = 6.(ii)当 MD= DN寸，AD= DC1 -如解图，过点 D作DHL AC于点H,则AHh AC= 3,第8题解图 AH AC “cosA= 77= _ AB= 10, AC=6, AD AB即AD=篇.t = AD= 5.(可当 DN= MN= 3 时，AG= DC如解图，连接MC则CM_ AD第8题解图.cosA=随空即迪士AC AB 610'18“阵守36 .t=AD= 2AM .5,36 ,综上所述，当5或6或后时， DMM等腰三角形.类型三涉及探究类问题的几何图形的证明与计算9 .如图，在ABC, BC> AC 点 E在 B

20、C上，CE= CA 点 D在 AB上，连接 DE / ACBF Z ADE = 180° ,作CHL AB垂足为H(1)如图，当/ ACB= 90。时，连接CD过点C作CF，CD交BA的延长线于点F.求证：FA= DE请猜想三条线段 DE AD CH之间的数量关系，直接写出结论；(2)如图，当/ACB= 120。时，三条线段DE AD CH之间存在怎样的数量关系？请证 明你的结论.(1)证明：.一/ ACEBF /ADE= 180° , ，/CAD Z CED= 360° -180° =180° , / CAR / CAF= 180 , ./

21、CAF= / CED. CFL CD / ACB= 90 , ./ DCF= / ACB= 90 , ECD90 -Z ACD ./ACF= 90° -Z ACD= /ECD在 AFC ED计，/ ACF= / ECDSCA= CE , 上 CAF= / CED. AF隼 EDCASA), FA= DE解：D曰AD= 2CH【解法提示】由得 FA= DE AF(C EDC. CF= CD. CFL CD ./ CFD= / CDF= 45° ,CHL FD. CH= HD= FH,FD= FA+ AD= D1 AD= 2CH(2)解：三条线段 DE, AD CH之间的数量关

22、系是：D&AD= 243cH证明：延长 BAIU点F,使AF= ED连接CF CD如解图， / ACBF / ADE= 180 , ./CAR Z CED= 360° 180° =180° ,第9题解图 / CAR / CAF= 180 , ./ CAF= / CED 在 AFC EDC3,AC= ECC ZCAF= /CED AF= ED， AF挈 EDCSAS), . CF= CD / ACF= / ECD / FCD= / ACFb / ACD= / ECDF / ACD= / AC比 120° , . CF= CD CHL DF,111FH= DH= DF= 2( AF+ AD = ( D曰 AD ,-1 ,一 。 ./ HCD=万/ FCD= 60 ,DH 八tan / HCD=Z7j= M3, CHDH= 3CHD曰AD= AF+ AD= 2DH= 2 3CH