第四章第1113节课件4线性系统的稳定性

1、&4.11§4.11 线性系统的稳定性 引言 定义（BIBO） 证明 由H(s)的极点位置系统稳定性北京邮电大学电子2011.9一引言某连续时间系统的系统函数21+ 0.001H (s) =s + 1s - 2当输入为u(t)时，系统的零状态响应的象函数为(s) = 1 - 0.005 -1+ 0.005Rzss + 1s - 2s0.005 << 1r (t ) = (1 - e-t + 0.005 e2t )u(t )zs但t很大时，这个正指数项超过其他项并随着t 的增大而不断增大 X第页续实际的系统3是完全线性号将使设备工作在非线性部分，放大器的晶体管会饱和

2、或截止，一个机械系统可能停车或发生故障等。这不仅使系统不能正常工作，有时还会发生损坏如烧毁设备等。，稳定性是系统自身的性质之一，系统是否稳定与激励信号的情况无关。冲激响应h(t)、H(s)系统函数从两方面表征了同一系统的本性，所以能从两个方面确定系统的稳定性。 X第页二定义（有界输入有界输出BIBO）一个系统，如果对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则称该系统有界输入有界输出（BIBO）稳定的系统，简称稳定系统。4e(t ) £ M对所有的激励信号e(t)e£ Mrr t其响应r(t)满足则称该系统是稳定的。式中，Me , Mr为有界正值稳定系统的充分必要条件是（绝对

3、可积条件）：¥h(t ) d t £ MòM为有界正值-¥ X第页三证明5对任意有界输入e(t)，系统的零状态响应为：( )h(t )e(t - t )dt¥òr t =-¥r(t )h( ) × e(t -) d¥ò£-¥£ Me ，得代入e tr(t ) £ M¥h(t ) dte ò-¥¥h(t )dt £ M ，则如果满足ò-¥充分性得证r(t ) £ Me M X第页

4、充分性-¥h(t ) d t-¥，则r(0)也¥ò此式表明：若-¥第页必要性得证。 X6如果ò-¥ h(t ) d t，则至少有一个 有界的e(t )产生¥的r(t )。选择如下信号：ì- 1h(t ) < 0e(- t ) = sgnh(t ) = ï0h(t ) = 0íï1h(t ) > 0î这表明 e(- t )h(t ) = h(t ) , 则响应 r(t )r(t ) = ò¥h( )e(t -)d-¥r(0)

5、= ò¥h(t )e(-t )dt = ò¥h(t )dt必要性四由H(s)的极点位置1稳定系统若H(s)的全部极点位于s平面的左半平面（不包括虚轴），则可满足系统稳定性7lim h(t ) = 0t ®¥系统是稳定的。1p > 0,例如系统稳定；s + p1p > 0, q > 0系统稳定。+ ps + qs 2 X第页2不稳定系统如果H(s)的极点位于s右半平面，或在虚轴上有二阶（或以上）极点8lim h(t ) ® ¥t ®¥系统是不稳定系统。3临界稳定系统如果H(s)极

6、点位于s平面虚轴上，且只有一阶。t ® ¥, h(t ) 为非零数值或等幅振荡。 X第页4系统稳定性的判据9¥时域：ò-¥h(t ) d t < ¥从频域看要求H(s)的极点：右半平面不能有极点(稳定)虚轴上极点是单阶的(临界稳定,实际不稳定)。 X第页例4-11-110反馈系统，子系统的系统函数F (s)X (s)Y (s)G(s) =1G(s)å(s - 1)(s + 2)+k当常数k满足什么条件时，系统是稳定的？加法器输出端的信号X (s) = F (s)- kY (s)输出信号Y (s) = G(s)X (s)

7、= G(s)F (s)- kG(s)Y (s) X第页11则反馈系统的系统函数为H (s) = Y (s) =G(s)=11 + kG(s)F (s)+ s - 2 + ks2H (s)的极点= - 1 ±9 - kp1,224为使极点均在s左半平面，必须ì 9 - k > 0ï 49 - k < 0ORí419ï-+- k < 0î24可得k > 2,即k > 2时系统是稳定的 X第页例4-11-112反馈系统，子系统的系统函数F (s)X (s)Y (s)G(s) =1G(s)å(s + 1)(s + 2)+k当常数K满足什么条件时，系统是稳定的？X (s) = KY (s) + F (s)解： 加法器输出端的信号输出信号Y (s) = G(s)X (s) = KG(s)Y (s) + G(s)F (s) X第页13则反馈系统的系统函数为H (s) = Y s =G1( ) =F (s)1 - KG s+ 3s + 2 - Ks 2H (s)的极点p1,2æ 3 ö 23= -±2- 2 + Kç÷2èø22æ 3 ö- 2