排列组合问题的解题方法及技巧的总结

1、.学员 数学 科目第次个性化教案授课时间教师XX备课时间学员年级高二 课题名称排列组合问题的解题策略课时总数共 课时教育参谋学管邱教师 教学目标1、两个计数原理的掌握与应用；2、关于排列与组合的定义的理解；关于排列与组合数公式的掌握；关于组合数两个性质的掌握；3、运用排列与组合的意义与公式解决简单的应用问题多为排列与组合的混合问题教学重点1、两个计数原理的掌握与应用；2、关于排列与组合的定义的理解；关于排列与组合数公式的掌握；关于组合数两个性质的掌握；教学难点运用排列与组合的意义与公式解决简单的应用问题多为排列与组合的混合问题教学过程教师活动 1、 作业检查与评价第一次课程2、 复习导入排列组

2、合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。3、 内容讲解1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有类方法，在第1类方法中有种不同的方法，在第2类方法中有种不同的方法，在第类方法中有种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法2.分步计数原理乘法原理完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以

3、独立地完成这件事。分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进展,确定分多少步及多少类。3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步穿插，因此必须掌握一些常用的解题策略排列组合问题的解题策略一、相临问题捆绑法例17名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法.解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进展排

4、列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有种。评注：一般地: n站成一排,其中某m个人相邻,可用“捆绑法解决，共有种排法。练习：5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起,有多少种不同的排法"二、不相临问题选空插入法例2 7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法.解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空法，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为：种 .插入法:对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题,可以用插入法.即先排好没有限制条件的元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可.假设N个人站成一排，其中M个人不相邻，可用“插空法解决，共有种排法。练习： 学校组织教师学生

5、一起看电影，同一排电影票12X。8个学生，4个教师，要求教师在学生中间，且教师互不相邻，共有多少种不同的坐法.分析 此题涉及到的是不相邻问题,并且是对教师有特殊的要求,因此教师是特殊元素,在解决时就要特殊对待.所涉及问题是排列问题.解 先排学生共有 种排法,然后把教师插入学生之间的空档，共有7个空档可插,选其中的4个空档,共有种选法.根据乘法原理,共有的不同坐法为种.三、复杂问题-总体排除法或排异法有些问题直接法考虑比拟难比拟复杂，或分类不清或多种时，而它的反面往往比拟简捷，可考虑用“排除法，先求出它的反面,再从整体中排除.解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。例3.(1996年

6、全国高考题)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有个.解：从7个点中取3个点的取法有种，但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形，有3条，所以满足条件的三角形共有332个.练习： 我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种"分析 此题假设是直接去考虑的话,就要将问题分成好几种情况,这样解题的话,容易造成各种情况遗漏或者重复的情况.而如果从此问题相反的方面去考虑的话,不但容易理解,而且在计算中也是非常的简便.这样就可以简化计算过程.解 43人中任抽5人的方法有  种,正副班长,团支

7、部书记都不在内的抽法有  种,所以正副班长,团支部书记至少有1人在内的抽法有    种.四、特殊元素-优先考虑法对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他位置的安排。例4 (1995年XX高考题) 1名教师和4名获奖学生排成一排照像留念，假设教师不排在两端，那么共有不同的排法种解：先考虑特殊元素教师的排法，因教师不排在两端，故可在中间三个位置上任选一个位置，有3种，而其余学生的排法有 种，所以共有72种不同的排法.例52000年全国高考题乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三

8、、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种.解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有种排法，而其余7名队员选出2名安排在第二、四位置，有 种排法，所以不同的出场安排共有  252种.五、多元问题-分类讨论法对于元素多，选取情况多，可按要求进展分类讨论，最后总计。例62003年春招某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为  A42  B30  C20  D12解：增加的两个新节目

9、，可分为相临与不相临两种情况：1.不相临：共有种；2.相临：共有种。故不同插法的种数为： +=42 ，应选A。例72003年全国高考试题如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，那么不同的着色方法共有      种.以数字作答解：由题意，选用3种颜色时，C43种颜色，必须是同色，同色，与进展全排列，涂色方法有C43A33=24种4色全用时涂色方法：是同色或同色，有2种情况，涂色方法有C21A44=48种所以不同的着色方法共有48+24=72种；故答案为72六、混合问题-先选后排法  

10、60;对于排列组合的混合应用题，可采取先选取元素，后进展排列的策略  例82002年高考12名同学分别到三个不同的路口进展车流量的调查，假设每个路口4人，那么不同的分配方案共有  种A.     B.3种    C. 种        D.解：本试题属于均分组问题。那么12名同学均分成3组共有种方法,分配到三个不同的路口的不同的分配方案共有：种，应选A。 例92003年高考试题从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块

11、土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有  A24种      B18种      C12种      D6种  解：黄瓜必选，故再选2种蔬菜的方法数是C32种，在不同土质的三块土地上种植的方法是A33，种法共有C32A33=18，应选B七一样元素分配-档板分隔法例10把10本一样的书发给编号为1、2、3的三个学生阅览室，每个阅览室分得的书的本数不小于其编号数，试求不同分法的种数。请用尽可能多的方法求解，并思考这些方法是否适合更一般的情况.此

12、题考察组合问题。解一：先让2、3号阅览室依次分得1本书、2本书；再对余下的7本书进展分配，保证每个阅览室至少得一本书，这相当于在7本一样书之间的6个“空档内插入两个一样“I一般可视为“隔板共有种插法，即有15种分法。2、解二：由于书一样，故可先按阅览室的编号分出6本，此时已保证各阅览室所分得的书不小于其编号，剩下的4本书有以下四种分配方案：某一阅览室独得4本，有种分法；某两个阅览室分别得1本和3本，有种分法；某两个阅览室各得2本，有种分法；某一阅览室得2本，其余两阅览室各得1本，有种分法.由加法原理，共有不同的分法3+=15种.八转化法:对于某些较复杂的、或较抽象的排列组合问题，可以利用转化思

13、想,将其化归为简单的、具体的问题来求解。例11 高二年级8个班,组织一个12个人的年级学生分会,每班要求至少1人,名额分配方案有多少种"分析 此题假设直接去考虑的话,就会比拟复杂.但如果我们将其转换为等价的其他问题,就会显得比拟清楚,方法简单,结果容易理解.解： 此题可以转化为:将12个一样的白球分成8份,有多少种不同的分法问题,因此须把这12个白球排成一排,在11个空档中放上7个一样的黑球,每个空档最多放一个,即可将白球分成8份,显然有  种不同的放法,所以名额分配方案有  种.九剩余法:在组合问题中,有多少取法,就有多少种剩法,他们是一一对

14、应的,因此,当求取法困难时,可转化为求剩法.例12 袋中有5分硬币23个,1角硬币10个,如果从袋中取出2元钱,有多少种取法"分析 此题是一个组合问题,假设是直接考虑取钱的问题的话,情况比拟多,也显得比拟凌乱,难以理出头绪来.但是如果根据组合数性质考虑剩余问题的话,就会很容易解决问题.解  把所有的硬币全部取出来,将得到0.05×23+0.10×10=2.15元,所以比2元多0.15元,所以剩下0.15元即剩下3个5分或1个5分与1个1角,所以共有2种取法.十对等法:在有些题目中,它的限制条件的肯定与否认是对等的,各占全体的二分之一.在求解中只

15、要求出全体,就可以得到所求.例13  期中安排考试科目9门,语文要在数学之前考,有多少种不同的安排顺序"分析 对于任何一个排列问题,就其中的两个元素来讲的话,他们的排列顺序只有两种情况,并且在整个排列中,他们出现的时机是均等的,因此要求其中的某一种情况,能够得到全体,那么问题就可以解决了.并且也防止了问题的复杂性.解 不加任何限制条件,整个排法有种,“语文安排在数学之前考,与“数学安排在语文之前考的排法是相等的, 所以语文安排在数学之前考的排法共有 种.十一平均分组问题:例146本不同的书，按以下要求各有多少种不同的选法：1分给甲、乙、丙三人，每人2本；2分为三份，每份2本；3分为三份，一份1本，一份2本，一份3本；4分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本；5分给甲、乙、丙三人，每人至少1本。 解：1.C2/6xC2/4=90；2.(C2/6xC2/4)/A3/3=15；3.C1/6xC2/5=60；4.C1/6xC2/5xA3/3=360；5.【(C2/6xC2/4)/A3/3+C1/6xC2/5+C1/6xC1/5/A2/2】xA3/3=540.总之，排列、组合应用题的解题思路可总结为：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类为加，分步为乘。具体说，