现代控制理论解题方法

1、目录线性系统理论 3一、根据系统求动态方程，并画出状态变量图 3二、微分方程组求解动态方程，并画出状态变量图 3三、根据微分方程求动态方程孙金生 P8 4四、根据结构图求动态方程孙金生 P9-P10 5五、根据系统微分方程 / 传递函数，求可控标准型、可测标准型、对角形实现、约旦形实现 5六、 状态转移矩阵及及状态方程的解孙金生P24 -P25及作业3 7七、稳定性的根本理论 8八、稳定判据孙金生 P42 9九、李雅普诺夫分析，判断渐近稳定性孙金生 P46-47 9十、连续系统的离散化孙金生P36 10十一、可控性与可观性的判断孙金生 P51、 p56 10十二、可控与可观测标准形的实现 13

2、十三、可控性与可观测性分解孙金生 p72 15十四、极点配置孙金生 P82 17最优控制 21无约束条件的泛函极值问题 21一、固定边界问题孙金生 p100 21二、末端时刻自由孙金生 p104,表在105 22有约束条件的泛函极值问题 22利用变分法求解。 23三、末端时刻固定的最优解孙金生P112 233.1 、末端受约束时 233.2、末端自由时 243.3、末端固定时 24四、末端时刻自由的最优解 P117 244.1 、端受约束时 254.2、端自由时 254.3、端固定时 26五、末端时刻、状态都自由极小值原理孙金生 P120 26六、末端时刻固定或自由，末端孙金生 P123 27

3、七、双积分模型最优控制可完全参考作业 13，见孙金生132 27八、有限时间状态调节器与无限时间状态调节器 28九、离散系统最优控制序列作业 14与 p146 29线性系统理论N 阶微分方程那么有对应的 N 维动态方程一、根据系统求动态方程，并画出状态变量图1、写出对应的系统方程，确定输入变量与输出变量；2、选取适当的变量作为状态变量 x1，x2x1，x2 可以是同一个 量的不同阶的微分，也可以是不同的变量 ；3、将状态变量带入系统方程，使方程左边为 x1 , x2 .，方程 右边为关于x1,x2的多项式；4、根据第 3 步求得的方程，列出状态方程，并根据实际系统 确定输出方程。例子：唐豹P1

4、0-P11取不同变量孙金生P5 取同一变量的不同阶次 状态变量图画法见孙金生 P6二、微分方程组求解动态方程，并画出状态变量图1、确定输入变量与输出变量，选取适当的变量作为状态变量 x1，x2 x1，x2 可以是同一个量的不同阶的微分，也可以 是不同的变量；2、将状态变量带入系统方程，使方程左边为 x1 , x2 .，方程右边为关于x1,x2的多项式；3、根据第 2 步求得的方程，列出状态方程，并根据实际系统确定输出方程。注意：假设状态变量，已给定，但X的一阶倒数未知时，应观察微 分方程组，进行相应带入求导即可得 X的一阶导数。(如作业1,第 二题第一问)三、根据微分方程求动态方程(孙金生 P

5、8)aX&(t) bX&t) cX(t) dx(t) u(t)表示的系统的状态方程为：X(t) Ax(t) bu(t)0100A001b0dcb1aaaa过程为：Xi(t)x(t)X2(t)Xi(t)X(t)X3(t)X2(t)&&t)aX3(t)bX3(t)cx2(t)d:Xi(t)u(t)&(t)X2(t)X2(t)X3(t)&(t)d (Xi(at) caX2(t)b_Xia1(t) -u(t) a四、根据结构图求动态方程孙金生 P9-P101、将结构图化为简单的典型环节的形式最后一个最好为1/ S，然后确定x的个数，一般有几个关于 S的环

6、节即有 几个X，一般最后一个x1,倒数第二个为x2一般将x至于 典型环节之后。2、后根据信号关系得方程，后进行移项，左边为SXS的形式，右边为关于XS的多项式，进行反拉氏变化，即得左边为X，右边为关于Xi的多项式3、即可写出动态方程五、根据系统微分方程/传递函数，求可控标准型、可测标准型、对 角形实现、约旦形实现孙金生p10-p14,及作业二注意 孙金生p16例1-5有点特 殊，尽量看懂。假设是微分方程，那么先化成传递函数。如:y(n)any(n 1)1yan(n2y2) La1& a°y(n n 1U1)n2U(n 2)L1U&0u那么G(s)N(s)y(s)nn

7、1s1n 2n 2sL1soD(s)u(s)n san 1n 1n 2san 2 sLa sa。1、可控标准型的实现形式为&Axbu,ycx010L00x1001L00X2AMMMOMbM xM c0 1 Ln 1000L10xn 1a0a1比Lan 11xn2、可测标准形的实现为:&Axbu,y cx00L0a。0X110L01X2A01L0a2b2xx3c 0 L 0 1MMOMMMM00L1an 1n 1Xn3、G(S对角形的实现为：D(S)(S i)(S2)L (S n)D(S为G(S的分母G(s)血 NS)n 亠u(s)D(s)i 1 s iCiNS?(si)s&am

8、p; Ax bu, y cx4、约旦形实现D(s) (sG(s)器器k1) (se1117(s(s1)Le121)(see1n)G1kse2 Lei1 s& Axbu,ex00M11M1eTe11C12Me1kCk 1MCn六、状态转移矩阵及及状态方程的解(孙金生P24 -P25及作业3)X(t)Ax(t) u(t)=0齐次状态方程X(t)Ax(t) u(t) 非齐次状态方程状态矩阵(t) eAt L 1(SI A) 1(t )的性质：(0) I&(0) A 齐次状态方程时 x(t) (t)x(0) 非齐次状态方程时 x(t) eAt x(0)eA(t )Bu( )dt(t)x

9、(0) o (t )Bu( )d七、稳定性的根本理论正定性 xMO有V (x) >0及V (0) =0,称V (X)在域S内正定。 负定性 XM0有V (x) <0及V (0) =0,称V (X)在域S内负定。 正半定 xO有 V (x)>0及V(0) =0,称V (X)在域S内正半定。 负半定 XM0有V (x)<0及V (0) =0,称V (X)在域S内负半定。 不定性 V (x)在域S中对于xO可正可负，称V (x)不定。 定理 1 假设 V( x, t )正定, V&(x,t) 负定,那么原点是渐近稳定的。 定理2 假设V(x, t)正定，V*X,t)负

10、半定且V(x,t)在x 0时 不恒为零,那么原点是渐近稳定的。定理3 假设V( x, t)正定，V(X,t)负半定且V(X,t)在x 0时恒为零,那么原点是李雅普诺夫意义下稳定的定理4 假设V(x, t)正定，V(X,t)正定，那么原点是不稳定的 八、稳定判据(孙金生 P42)x& Ax 时1、状态矩阵 A 的全部特征值具有负实部。即 |SI-A|=0 ， Re(s)<0。2、令&=0,求出此时的X,及平衡状态。一般A非奇异时，原点 是 唯 一 的 平 衡 状 态 。 然 后 设 一 个 正 定 的 V(X,t) ， 一 般 令 V(X) X12 X22, 然后求导V(x

11、,t) 2x1 x1 2x2 x2，然后将 状态方程带入V*x,t)中，判断其正定性。根据定理判断正定性。九、李雅普诺夫分析,判断渐近稳定性(孙金生 P46-47)连续系统 x& Ax渐近稳定的充要条件为：给定一正定实对称 Q，有唯一正定实对 称矩阵p满足 AtP PA Q首先判断 det(A) 0，即原点是唯一平衡状态。一般取Q I，一般V(x,t)在x 0时不恒为零时，Q可以取 正半定。(一般先取Q=diag(0 0 1)，那么有V(x,t) XTQx，判断 x 0 时是否不恒为零时 )后取一矩阵P使atp PAQ，求出矩阵p,假设p正定实对称，那么系统渐近稳定。(利用P正定是对称

12、的性质可以简化计算)。十、连续系统的离散化(孙金生 P36)连续系统状态方程X Ax Bu离散化系统状态方程为x(k 1) Gx(k)其中，T为采样周期G (T)(t)|TH(T) 0( )Bd其中Y (k)二CX(k)+DX(k)卜一、可控性与可观性的判断(孙金生可控性Hu(k)P51、p56)Bu那么系统完全可控的充分必要条件是:B不包含元素全为零的行对角形判据约当标准形JiBiJ2B2 uMJiBi重特征值在一个约当块内。线性定常系统完全可控的充分必要条件是：Bj的最后一行元素 不全为零。重特征值不在一个约当块内。此时，约当块可表示为JiiJiJi2OBiBiiBi2MJik系统完全可控

13、的充分必要条件是:BikBjj的最后一行线性无关。秩判据线性定常系统完全可控的充分必要条件是rank B AB L An iB n可观性对角形判据对角标准形1&2x BuOny Cx那么系统完全可观测的充分必要条件是：C不包含元素全为零的 列。约当标准形判据约当标准形JiBiJ2OB2 uMJiBiy C1 C2 L Cl重特征值在一个约当块内线性定常系统完全可观测的充分必要条件是：Ci的第一列元素不全为零。重特征值不在一个约当块内。此时，约当块可表示为Ji1JiJi2BiJikBi1Bi2MBikCiCi1Ci2L Cik系统完全可观测的充分必要条件是:G的第一列线性无关。秩判据线性

14、定常系统完全可观测的充分必要条件是CCA ranknMCAn1十二、可控与可观测标准形的实现可控性(孙金生P61)1、计算可控性矩阵S b Ab LAn 1b2、计算A的特征多项式f(s) det(sl A) sn an 1sn 1 La1s a03、计算变换矩阵aia2Lan 11a2a3L10Qqiq2Lqnb Ab L An 1b MMMMan 11L0010L004、计算CcQ5、写出结果010L00001L00&AxbuMMMOM XMu000L10a。a1a2Lan 11y01Ln 1 Xcx可观性孙金生p641、计算可观测性矩阵ccAcAn2、计算A得特征多项式f(s)

15、det(sIA)n san 1Sn 1Las3、计算变换矩阵paia2Lan 11ca2a3L10cAPMMMMMan 11L00cAn 210L00cAn 14、计算b PIB5、写出结果。0 0L0a。01 0L0a11& 0 1L0a2X2 UM MOMMM0 0L1an 1n 1y 0 L01 X十三、可控性与可观测性分解孙金生 p72可控性分解唐豹p134PAP 1 Xc PBuXcp 1xXc步骤:1、计算可控性矩阵S b Ab L An 1bRS二r<n那么从s中选出r个线性无关列向量，再附加n-r个列1向量一般从单位矩阵中选取，构成非奇异的变换矩阵P2、计算出P3

16、、系统便变换成以下的标准构造PAP 1 Xc PBuXccp 1XcXc可观性分解唐豹P137PAP 1 x。PBuxoCP 1XOxo步骤：1、计算可测性矩阵cAcAnRv二r<n,那么从v中选出r个线性无关行向量，再附加n-r个行 向量一般从单位矩阵中选取，构成非奇异的变换矩阵 P12、计算出P3、系统便变换成以下的标准构造XoXsPAP 1XoXoPBuCPXoxO先可控分解，再进行可观测分解唐豹 P141，及作业8,孙金 生P75重点看。十四、极点配置孙金生 P82反应结构设受控系统状态方程为& Ax Bu要通过状态反应的方法，使闭环系统的极点位于预先规定的位置上，其充分

17、必要条件是系统完全可控。孙金生p82、唐豹P185第o步：先求s b Ab L2A b , R(s)=nRJ断是否可控。第1步：计算A的特征多项式，即an 1Sdetsl A sn*第2步：计算由 1式，即*a (s) (s*1)(s*2)L(s ：) sn a； 1sn 1 L*as*ao第3步:k计算*ao*aoa1 a1L*an1an1第4步:计算变换矩阵a1a2Lan 11a2a3L10P 1b AbLA2bMMMMan 11L001L00第5步：求p第6步：所求的增益阵k kP 采用的是负反应，唐豹采用的是正反应状态反应的可镇定性见作业 9题二1、 先进性可控分解。2、 可镇定性的的

18、充要条件是不可控系统对应的 A 具有负 实部，即不可控子系统渐近稳定。全维状态观测器(孙金生 P86)可任意配置极点的条件：线性定常系统是可观测的。第 0：计算 VccA判断可控性。R(v)=n那么用全维观测器。McAn 1第1步：导出对偶系统 (AT,CT,BT )第 2 步 ： 利 用 极 点 配 置 问 题 的 算 法 ， 确 定 使i (AT CTK)*ii 1,2丄，n的反应增益阵k第 3 步：取 LKT第4步：计算(A-LQ，那么所要设计的全维状态观测器就为x?& (A LC)x? Bu Ly降维观测器(详见孙金生 P89 90) x& Ax Bu y Cxn为A的

19、维数；r为B的维数，q为y输出的个数。可构成n-q维 的降维观测器步骤:第1步：计算v, Rv=n系统完全可控。第2步：选取R,使p非奇异；第3步：计算QP 1Q1n qQ2n(nq)第4步：计算A PAP 1AnA|2,B PBA21A22B2第5步：选取L使得矩阵a22 La12具有希望的极点第6步：按照式3319和3320胸成系统的降维观测器* *Fx，&,t* *d Fx ,&,t0dt根据上式求出x的解,然后将初始条件x(to )Xo,X(tf )xf带入x的解中，求出未知系数。最优控制无约束条件的泛函极值问题、固定边界问题(孙金生p100)tftoJ(x) , Fx

20、(t),x(t),tdt末端时刻固定，to、tf，但x(to),x(tf)不同的情况下的条件x dt &根据上式求出x的解，然后再根据横截条件求x中的未知数(见孙金 生 102)« 2.1. b末端时刻固定匝各严情况下的橫截条件*字号*情况亠横截条件，Ip固定此点和终.薛2*自由起点和终点屮_0聲兀_0.-应L，崙/3*自由起点和固运终点固定起点和自由终点Q亠.cFxxrAx(G = g -二 S末端时刻自由(孙金生 p104,表在105)即to、tf自由，x(to),x(tf)或自由，或固定* *Fx，&,t* *dFx，&,thdt& 根据上式求出

21、x的解，然后再根据横截条件求 x中的未知数。弐2. 1 ：?云帛讨刻巨白时各科恃況=股珥戡蚤牛序号电情况瓚戦条f良固定起点和末端自由*叭)f門厂临=0-p固定起点和末端受釣束"工仏)F + 忆 肝孚c.r-(k X(ff)J1/3=起点自由和固定终点#ex=Od起点受约束和固定终点J二 4 X(lt) = v(t0)有约束条件的泛函极值问题 即，给出了状态方程，且有可能对控制 u(t)进行了约束。L(x,& ,t)F(x,&t) T(t)f (x,&t)x dt &丄3 0根据上式求出 、u等，后代入状态方程，再代入横截条件求未知系 数。注意，此处f(

22、x,：&t)是将状态方程移项之后所得的。(孙金生 106)但一般不采用这种方法。利用变分法求解。三、末端时刻固定的最优解(孙金生 P112)H(x,u, ,t) F(x,u,t) T(t)f(x,u,t) f (x,u,t)只是状态方程的右边。min Ju(t)tfx(tf),tft F(x,u,t)dttox(tf)0 x(tf) 为目标集。x(t)正那么方程&(t)H f (x,u,t)只需对第二项进行计算。HxH再结合极值条件u0求出、u的表达式，结合状态方程根据、u的表达式求出x表达式，最后根据边界条件求解未知系数。3.1、末端受约束时边界条件x(to)X。(tf)x(

23、tf)【x(tf) 03.2、末端自由时边界条件X(to)Xox(tf)(tf)(tf)x(tf)3.3、末端固定时边界条件X(to) Xo x(tf ) Xf四、末端时刻自由的最优解(P117)H(x,u, ,t) F(x,u,t) T(t)f(x,u,t)X(t)f (x,u,t)只需对第二项进行计算f (x,u,t)只是状态方程的右边。m?(i?Jtfx(tf),tft F(x,u,t)dtt0x(tf)0 x(tf)为目标集。再结合极值条件u求出、u的表达式，结合状态方程根据、u的表达式求出x表达式，最后根据边界条件求解未知系数。4.1、端受约束时 边界条件x(to)X。(tf)x(t

24、f)Tx(tf)(tf)x(tf) 0哈密顿函数在最优轨线末端满足H(tf)(tf)T(tf)(tf)4.2、端自由时边界条件x(to)X。(tf)x(tf)哈密顿函数在最优轨线末端满足H(tf)(tf)4.3、端固定时边界条件x(t。)X。x(tf)Xf哈密顿函数在最优轨线末端满足H(tf)(tf)五、末端时刻、状态都自由极小值原理(孙金生P120)X(tf)自由X(t) f(x,u),x(to) XoJ x(tf)控制受约束u(t)H(x,u, ,t) F(x,u,t) T(t)f(x,u,t)x(t)(x,u,t)只需对第二项进行计算求出的表达式的分段函再结合极值条件H(x ,u , )

25、 H (x ,u,)求出u结合边界条件x(t0)x0 , (tf)求出的范围，确定u。x(tf)末端时刻固定或自由，末端(孙金生 P123)H(x,u, ,t) F(x,u,t) T(t)f(x,u,t)H六、x(t)那么方程&(t)求出的表达式再结合极值条件*H (x段函数。结合边界条件x(to)X。，(tf)x(tf)x(tf),tf0求出的范围，确定f (x,u,t)只需对第二项进行计算*,u ,)x(tf)u。tf固定时,H(x (t f ),u (tf),tf自由时，H (tf)(tf)*H (x ,u,)求出 u(tf)*(tf) constTF。的分七、 双积分模型最优控制(可完全参考作业 13,见孙金生132)H 11X22u由极小值条件得*u (t)sgn(2(t)1 if 2(t) 01 if 2(t)0由协态方程&(t)H%0 1(t) G&(t)H1(t)2(t