知识讲解_对数函数及其性质_提高

1、(2) y loga(4-x)(a0且 a 1).(1) x|x 0 ； (2) x| x 4.由对数函数的定义知：x2 0 , 4 x 0,解出不等式就可求出定义域x2 0,即x 0,所以函数y loga x2的定义域为x|x 0；4 x 0，即x 4，所以函数y loga(4-x)的定义域为x|x 4.应首先保证f(x) 0 .举一反三：【变式1】求以下函数的定义域.3厂(1) y=lo叮x1)(2) yln (ax11,k R).【答案】(1) (1 ,1)3(,2) ; ( 2)略2【解析】(1)因为log 1 (x 1)2log-1 (x 1)23所以函数的定义域为(1, 3)2所以

2、(2)因为ax kg2x(-,2).2xa所以2k 0时，定义域为 k 当 当(i)假设a 2，那么函数定义域为0时,+O )；(ii)假设 0a 2，且 a 1,(log a k ,2那么函数定义域为(-OO(iii)假设 a2，那么当0 kloga k)；21时，函数定义域为 R ；当k 1时,此时不能构成函数，否那么定义域为【变式2】【答案】函数y f(2x)的定义域为卜1 , 2，求y f (logzx)的定义域.2 , 16.【答案】由1 12，可得y f (x)的定义域为? , 4，再由 log2 x 4得y f (log2 x)的定对数函数及其性质编稿：丁会敏 审稿：王静伟【典型

3、例题】类型一、函数的定义域求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意 对数函数本身的性质(如定义域、值域及单调性)在解题中的重要作用例1.求以下函数的定义域：(1) y log a x2 ；【答案】【解析】(1) 因为(2) 因为【总结升华】与对数函数有关的复合函数的定义域：求定义域时，要考虑到真数大于0,底数大于0,且不等于1 假设底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都 有意义一般地，判断类似于y loga f (x)的定义域时，义域为.2 , 16.类型二、对数函数的单调性及其应用利用函数的单调性可以

4、：比拟大小；解不等式；判断单调性；求单调区间；求值域和最值 要求同学们：一是牢固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域 优先的观念.例2.比拟以下各组数中的两个值大小：(1) log3 3.6,log3 8.9 ； logo.2l.9,log 0.2 3.5 ； log 2 5 与 log7 5 ； log3 5 与 log 6 4 .(5) loga4.2,log a 4.8 ( a 0且a 1).【思路点拨】禾U用函数的单调性比拟函数值大小。【答案】(1)； (2) ； (4) ； (5)略.【解析】由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成(1)解法1：画

5、出对数函数 y log3x的图象，横坐标为 3.6的点在横坐标为 8.9的点的下方，所以,log3 3.6 log3 8.9 ；解法2:由函数y(2) 与第小题类似，(3) 函数y log2 x和y log 7 x的图象如下图. 在y log7x的图象上方，这里 Q log3 5 log 3 31log 3 5 log6 4(5)注：底数是常数，但要分类讨论log3x在r+上是单调增函数，且 3.68.9，所以log33.6 y log 0.2 x在R上是单调减函数，且当x 1时，y loglog3 8.9 ；x 5,log 6 6log2 5 log 7 5 .log 6 4,1.93.5解

6、法1：当a 1时，y loga x在(0 ,a的范围，再由函数单调性判断大小.+8)上是增函数，且 5.15.9，所以，log a 4.2 loga4.8当 0 a 1 时，y=log ax 在(0 , +)上是减函数，且 4.24.8，所以，log a 4.2 loga 4.8 解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小，令 b log a 4.2，那么 ab1 =4.2，令 b2loga 4.8，那么 a 4.8,当a 1时，y ax在R上是增函数，且 4.24.8 ,所以，b1b2,即即 loga4.2 loga4.8当时0 a 1 , y ax在R上是减函数，且 4.2b2,

7、即 loga 4.2log a4.8.【总结升华】比拟两个对数值的大小的根本方法是：(1) 比拟同底的两个对数值的大小，常利用对数函数的单调性.(2) 比拟同真数的两个对数值的大小，常有两种方法：先利用对数换底公式化为同底的对数，再利 用对数函数的单调性和倒数关系比拟大小；利用对数函数图象的互相位置关系比拟大小.(3) 假设底数与真数都不同，那么通过一个恰当的中间量来比拟大小.【高清课堂：对数函数369070例3】、 1 1例 3比拟 logab,log ba,loga _,logb 1 其中 0a11 的大小. b a【答案】log a b logb alogb1 loga； a b1【解析

8、】由0a11，得a , bb11log a 匚loga a1, logblogbb 1balogb 1log a1ablog ba 1loga b1，即logb alogablog balogablogablogb a.1.1logb_ loga -ab【总结升华】假设底数与真数都不同，那么通过一个恰当的中间量来比拟大小，中间变量常常用“ 0和“1.用0和“ 1把所给的数先分两组，然后组内再比拟大小.举一反三：【变式1】a5log23.4,b5呱3.6 clog3 0.3: )I5,那么(A. a b cB. ba cC.ac bD. cab【答案】C【解析】另mlog 2 3.4 , nlo

9、g 4 3.6 ,llog103在同一坐标系下作出三个函数图像，由图像可 a c b应选C.【高清课堂：对数函数369070例2】【变式2】比拟a log3 ,b Iog2、3,c log. 2的大小.【答案】c b a【解析】Qlog3 ,2 Iog3 3 log. 3 1 Iog3 3 Iog3c b a例4求函数y log 1 ( x2 2x 1)的值域和单调区间.2【思路点拨】先解不等式X2 2x 1 0 ,保证原式有意义，然后再在定义域范围内求内函数t x2 2x 1的单调区间，然后根据复合函数的单调性就是内函数与外函数的单调性“同增异减来求 解.【答案】-1 , +R );增区间为

10、1,12 ;减区间为1.2,1 .【解析】设tx2 2x 1，那么t (x 1)2 2. v y= log1 t为减函数，且0 t 2 ,二 y logi 21 ,即函数的值域为-1 , + g ).再由：函数logi( x2 2x 1)的定义域为2 2x2 2x 10，即 1.2 x 1.2.二t x2 2x 1在12,1上递增而在 1,1,2上递减，而y= log 1 t为减函数.2二函数y log1 ( x2 2x 1)的增区间为1,1、2，减区间为1 x 2,1 .2【总结升华】对数型复合函数一般可分为两类：一类是对数函数为外函数，即y loga f (x)型；另一类是内函数为对数函数

11、，即y f (log a X)型.对于y loga f(x)型的函数的单调性，有以下结论：函数y loga f (x)的单调性与函数u f(x) f(x) 0的单调性，当a 1时相同，当0 a 1时相反.研究y f (log a x)型复合函数的单调性，一般用复合法来判定即可.复合函数的单调性就是内函数与 外函数的单调性“同增异减.研究对数型复合函数的单调性，一定要注意先研究函数的定义域，也就是要坚持“定义域优先的原那么.举一反三：【变式1】求函数y log2 x24的值域和单调区间.【答案】2,；减区间为，0，增区间为 0,【解析】设t x224，那么 t x 44 ,y= log2t为增函

12、数,2log2t log2(x4) log 2 4 2y log2 x2 4的值域为2,.2再由：y log 2(x4)的定义域为R2t x 4 在 0,上是递增而在,0上递减，而y= log2t为增函数函数 y=log2(x24)的减区间为,0，增区间为 0,.【变式2】求函数ylog a (a ax)的单调区间【答案】减区间是：,1 和 1,【解析】假设a 1,那么y logat递增,且tX_ ,a a递减，而aax 0 ,即 ax a,x 1 ,y loga(a ax)在 ,1 上递减.假设0 a 1，那么y logat递减，且t a ax递增，而a ax 0，即ax a, x 1, y

13、 loga(a a )在1,上递减.综上所述，函数y loga(a ax)的单调递减区间是：，1和1,.类型三、函数的奇偶性例5.判断以下函数的奇偶性.(1) f (x) ln ; (2) f (x) lgC 1 x2 -x).2 x【思路点拨】判断函数奇偶性的步骤是：(1)先求函数的定义域，如果定义域关于原点对称，贝U进行(2), 如果定义域不关于原点对称，那么函数为非奇非偶函数。(2)求f( x)，如果f( X)f (x)，那么函数是偶函数，如果f( x)f (x)，那么函数是奇函数。【答案】(1 )奇函数；(2 )奇函数.【解析】首先要注意定义域的考查，然后严格按照证明奇偶性根本步骤进行

14、(1)由0可得-2 x 22 x所以函数的定义域为：(-2 , 2)关于原点对称2x2 x 1又 f( x) lnln( )2x2 x2- x所以函数f(x)In是奇函数；2 x【总结升华】此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质判断对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的恒等变形(2)【解析】由.1 x2 - x 0可得x R所以函数的定义域为 R关于原点对称又 /、I / 彳 2、I(1X2X)(、1x2-x)又 f(-x)lg(、.1x x)lg 271 x2 x2 x -In2 xf (x),即仁 x) f(x)-lg(、1x2.

15、说明-x) -f(x)即f(-x)=-f(x) ；所以函数f (x) lgC.1 x2-x)是奇函数要求掌握.【总结升华】此题定义域确实定可能稍有困难，函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧,类型四、反函数例6.求出以下函数的反函数 y logx ； (2)6x1 。e【答案】(1)y(2)y logxe【解析】(1 )对数函数log-x，它的底数为6x11-,所以它的反函数是指数函数y66(2)指数函数y的反函数是对数函数log-1 x.e【总结升华】特别是当反函数的定义域与由反函数解析式有意义所确定反函数的定义域都由原函数的值域来确定的， 的自变量的取值范围不一致时，一定要注明反函数的定义

16、域.举一反三：【高清课堂:对数函数369070 例 5】【变式1】假设函数yf (x)是函数y ax (a 0,且 a* 1)的反函数，且 f(2)1，贝U f(x)()(A) log 2 x1(B)歹(C) log 1 x2x 2(D)2【答案】A【解析】解法1: Q函数y f (x)是函数y ax (a 0 ,且1)的反函数f (x) loga x，又 f (2)1log a 21 a 2应选A.解法2： Q函数y f (x)是函数y ax (a 0 ,且a 1)的反函数，且f (2)1点(1, 2)在函数y ax的图象上， a 2应选A.类型五、利用函数图象解不等式X1例7 假设不等式2

17、 loga x 0，当x 0,1时恒成立，求实数 a的取值范围.2【思路点拨】画出函数 y的图象与函数y logaX的图象，然后借助图象去求借。21 丁【答案】- a 12【答案】要使不等式2x1 1loga x 0在x 0,时恒成立，即函数y logax的图在 0, 内恒在函2数y 2x图象的上方，而loga x递减又 loga 2 罷 loga a722 21 21 亍a -.所求的a的取值范围为 a 1.2 2【总结升华】“数是数学的特征，它精确、量化，最有说服力；而“形那么形象、直观，然这里Ov av 1，二函数2x图象过点.由右图可知,2能简化思维过程，降低题目的难度，简化解题过程，

18、把它们的优点集中在一起就是最正确组合本例中，利用图形的形 象直观快速地得到答案，简化了解题过程正因为如此，数形结合成为中学数学的四个最根本的数学思想 方法之一，因此我们必须熟练地掌握这一思想方法，并能灵活地运用它来分析和解决问题.在涉及方程与不等式的问题时，往往构造两个函数 f (x)与g(x)，那么f (x) = g(x)的实数解等价于两个函数y f (x)与y g(x)的图象的交点的横坐标；而 f(x) g(x)的的解等价于函数 y f(x)的图象在y g(x)的图象下方的点的横坐标的取值范围利用图象的形象性、直观性，可使问题得到顺利地解决, 而且分散了问题解决的难度、简化了思维过程因此，

19、我们要善于用数形结合的方法来解决方程与不等式 的问题.举一反三：【变式1】当x( 1, 2)时，不等式(X 1)2 loga x恒成立，求a的取值范围.【答案】1 v a 1时，如图2-2-5所示，要使在(1,2) 上, f1(x)的图象在f2(x) loga x的下方，只需 fi(2)f2(2),2即(2 1) log a 2 , log a 21，二 11; ( 2) 0 w a w 1. 【解析】(1) f (x)的定义域为R, 当a=0时，此不等式变为 2x+10,a 0当0时，有a1. a的取值范围为a1.4 4a 0a=0或0 a 1,f(x)的值域为R,即u=ax2+2x+1能取

20、遍一切正数4 4a 0 a的取值范围为0w a 1.例9函数f (x) lg ax bx (常数a 1 b 0).(1) 求y f (x)的定义域；(2) 在函数y f (x)的图象上是否存在不同的两点，使过此两点的直线平行于x轴；(3) 当a，b满足什么关系时，f (x)在1, 上恒取正值.【思路点拨】此题为对数指数问题的综合题，求定义域首先保证对数的真数为正，再利用指数运算性质求出定义域.(2)中证明是否存在要由单调性来确定，假设单调递增或递减，就不存在两点两线平行于x轴.【答案】(1)0,(2)不存在(3) a b 1【解析】(1 )由x abxx0，得 a1 ,b由a 1 ba0，得1，故x 0,即函数f (x)的定义域为b0,.(2)设X1x0,Q a 1 b 0,x aX2 abx2bx10,故 ax1 bx1 ax2 bx20,lg a51 bx1lg ax2 b