空间向量初步

1、分别以i,j,k的方向为正方向建立三条数轴i, j, k，以点0为原点,正交基底，用i, j, k表示；(2)在空间选定一点 0和一个单位正交基底叫坐标轴？我们称建立了一个空间直角坐标系量i,j,k都叫坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面；2、空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系 O-xyz中，对空间任一点 A，存在唯一的有序实数组(x,y,z)，使OA二xi ? yj ? zk,有序实数组(x, y,z)叫作向量 A在空间 直角坐标系 O-xyz中的坐标，记作 A(x, y,z) , x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标.3、设 a = (

2、ai, a2, a3), b = (bi, b2, b3)(1) a±)= (2) = . a b =_门；=.'a/ a" a/ .(4) a / b=; a_b =(5)模长公式：假设 a = (a!,a2,a3),那么 | a| =(6)夹角公式：cos a bf|a| |b|ab a2b2 a3b3/ ? a?2a32、g2 b22 bs2两点间的距离公式：假设 理心 ,习),0>2,y2,z?),那么A!=B次d(8)设 A = (Xi, yi, zJB =(X2, y2, Z2)贝 y AB =AB = 空间向量提纲1. 理解空间向量的概念；掌握空

3、间向量的加法、减法和数乘，数量积的运算；2. 理解空间向量坐标及坐标运算；3 ?掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；能解决空间平行，垂直问题，会求两点间的距离公式.重点：掌握空间向量的坐标运算；会用向量判断平行，垂直关系；难点：掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间的距离公式。1空间直角坐标系：(1)假设空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位AB的中点M的坐标为7. 如何建立适当的坐标系8. 如何确定平面的法向量1首先观察是否与存在于面垂直的法向量，假设有可直接确定，假设不存在，转化为待定系数法;2待定系数法：由于法向量没有规定长度，仅规定了方向，所以

4、有一个自由度，于是可把法向量的某个坐标设为1，再求另两个坐标。由于平面法向量是垂直于平面的向量，所以取平面的两条相交向量，设'n = x, y,z,由！ n $ = 0解方程组求得n， b = 07 理 利用向量处理平行问题1证明线线平行，找出两条直线的方向向量，证明方向向量共线；2 证明线面平行的方法：证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线平行： 证明直线的方向向量与平面的两个不共线向量是共线向量，即利用共面向量定理进行证明；证明直线的方向向量与该平面的法向量垂直3 平面与平面平行的证明方法：证明两个平面的法向量平行8 理利用向量处理垂直问题1证明线线垂直，可证明两条线的方向向量

5、的数量积为0；2 证明线面垂直方法：根据线面垂直的判定定理利用向量证明直线与平面内的两条相交直线垂直；转化为证明直线的方向向量与平面的法向量共线3 证明面面垂直的方法：根据面面垂直的判定定理利用向量证明一个平面内的一条直线方向向量为另一个平面的法向量；证明一个平面的法向量与另一人平面平行；转化为证明这两个平面的法向量互相垂直9. 理利用向量处理角度问题ji1 异面直线AB,CD所成的角二范围：0 :2_ a n2线面角二范围:0兰日兰一，rS日=s < a, n >二-？ a n22 了解到面二面角二d范围：0乞乞二2、距离问题1 )点 A 到点 B 的距离：AB = ¥

6、 ( Xa xb) 2 + (yA yB) 2 + ( Za Zb) 2在平面上任取点B3直线I到平面-的距离4平面到平面：的距离在直线I上任取一点 A，转化为点A到面的距离d在平面1上任取一点 A，转化为点A到面的距离9.向量为谋求解立体几何的探索性问题理，只需通过坐标运算进行判断，在解题过程中，往往把“是否存在问题，转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围的解等，所以使问题的解集更加简单、有效，应善于运用这一方法解题？例i:在棱长为i的正方体 ABCD - A iBiCiDi中，E、F、占 八、?(i)求证：EF丄CF;(2 )求EF和AB所成角的余弦值G分别是DDi、BD、BBi的中求G

7、Ai的长.变式：在正方体 ABCD-A i BiCiDi中，E是棱BC的中点。AE(1)在棱BBi上是否存在一点 M，使DiM 一平面Bi , 么？ 在正方体外表 ABB iAi上是否存在点 N，使DiN _平面 BiAE，为什么？8.如下列图，四棱锥 P ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PD丄底面ABCD.(1)证明：PA丄 BD ; (2)设 PD = AD = 1,求棱锥 D 3 )假设PD = AD，求二面角 A - PB - C的余弦值.为什PBC的高.i.(广州市20i3届高三3月毕业班综合测试试题(一)如图4,在三棱柱ABC - ABiG中， ABC是边长为2的等边三角形AA丄平面ABC , D , E分别是CC1 , AB的中点.(1) 求证：CE / 平面 A,BD ；(2) 假设H为AB上的动点，当CH与平面AAB所成最大角的正切值为i5时，求平面ABD与平面ABC所成二面角(锐角)的2余弦值.如图，三棱柱 ABC AiBiCi的侧棱AA2丄底面 ABC , / ACB = 90E是棱CCi