第2章-自动控制系统的数学模型习题答案

1、习题Ui、U2为输入、输出电压。2-1、试列写图2-40中各电路的微分方程，图中(a)(b)图2-40习题2-1用图答：a设中间变量i1,i2,i3如以下图，那么根据基尔霍夫电压回路、节点电流定律，得I 2C u1I1R1dt 1CiI2t I3 R2 u2 2< C1u2-dt 3C2V I1I2 I3 4将3整理得：I3 C22 5将5带入到2，得hdtR2C2u'2 u2 6C1即I2 GC2R22 C1U'2 7 将5、 7带入到4及6带入到1，整理得I 2uI1R1dt (1213) R1R2C2U 2 U2C1(CQ2R2u"2 Gu'2 C

2、2u'2 )Ri C2R2u'2 u2Ri C1R2 C 2 u 2Ri C1 u 2Ri C 2 u 2 R2C 2 u 2 u 2U1RiCi , T2R2C2, T3RQ2，那么TiT2u"2(T1 T2 T3 )u '2 u2uib设中间变量i1,i2,i3如以下图，那么根据基尔霍夫电压回路、节点电流定律，得f u1i1R1 Li'2 1Li '2 i 3 R2 u2 2i 3 u2dt 3Ci1 i2 i3 4将3变形得：i3Cu'2 5将5带入到2，得Li '2R2Cu'2 u2 6u2dtR2C1i2 u2

3、LL将5、 7带入到4及6带入到1，整理得5 i 1R1 Li 2 (i 2 i 3) R1 R2 Cu 2 u 2(竿吐 1 u2dt Cu'2)R1R2 Cu 2 u 28对8两边求导，整理得(RQR2C)u"2(虽 R2CL1)u'2u2u'1设 T1R1C，T2R2C，T3 R1L，那么有或者为T2(T1 T2)U"2 (扌11) U' 2 U2u'1( T2)T3u"2 (T2T3M2 u2T3U'l2-2、设机械系统如图2-41所示，图中c为输入、输出角位移角度，试列写该机械系统的微分方程。提示扭力矩M与

4、角位移、弹性系数k成正比。风阻 M与角速度'、阻尼系数f成正比。kJ1J 2rbaQ 77777c图 2-41习题2-2用图F ma，而旋转运动k1解：根据牛顿第二定律：对直线运动(r a )k1 J1 ( ra)"1(ac)k2c J2( ac)"在零初始条件下，对式1、 2两试进行拉氏变换，得:r (S)k1a(s)k1J1S2 r(s) J1S2 a(s)a(S)k2c(S)k2fS c(S) J?/ a(S) J2S2 c(S)4由式3、4得:a(S)k1kiJ1s屹 r(s)将式即:即:即:2-3a(s)k2fsJ2s2k2J2s26除以式4得:c(s)c

5、(s) r(s)JJs4J1 J2 sc(s)6(k2 J2s2)(k1J1s2)； 222(k2fs J2S )(kJp )J1J2 s(匕2 k： )sJJ 2 sJ1S3(k1 J2d4 cdtJ J 4JJ2 dt4J1 J2(t)4fjp3 (k212(k2 J1 k1 J2 )s2kzJJskik：J13d c(t)dt3(k2J1(kt J 2k? J1)k1 k22k1 J2)sk1 fs k1k2k1 fs kh c(s)r(S)kl J2)2d c(t)dt2k1 f8冒k1k2 c2d r(t)k1k2 r(t)dt2、在如图2-42所示系统中，用一台交流电动机拖动一台直

6、流发电机,设交流电动机的角速度 为系统的输入，电阻 R两端的电压u为输出，直流电机的内阻Ra、电感为La，试列写该机械系统的微分方程。解：直流发电机输出电压Ua CeEe ，其中Ce为由直流发电机决定的电势常数,为直流发电机的定子励磁磁通。设各支路电流如以下图，根据基尔霍夫电压回路定律，有Ee (t)Raia(t) U Ldt1根据基尔霍夫电流定律，有ia(t) ic(t) iR(t)2另外根据元件特性，有1U(t) iR(t)R C iC(t)dt3式得iR(t)詈du(t)L(t) C-dt4、 5式带入到2式，得ia(t)呼C呼Rdt6式带入1式，整理得562LC呼dt2(L RaC晋R

7、dt2-4、图2-43为加速度测试仪，箱体内部由 质量块m、弹簧k、阻尼器f、指针、刻度 表构成，系统的输入为箱体垂直方向的加速 度a，系统的输出为质量块m上的指针相对箱体刻度表的垂直方向位移yt，试建立该系统的微分方程，并说明在一定条件下位移yt与加速度a成正比。解：绝对位移与相对位移的关系为1箱体内部质量块m的受力关系为m学迪ky 0 dt2dt图2-43习题2-4用图将1式变形y yt x带入到式2得m(d2%躺哼kyt 0考虑到ad2xdt2为系统的输入，整理3式，得d2ytm-dt2当质量块m很小、根据牛顿第二定律：对直线运动ma，而旋转运动(r a)k1 J1( ra)"

8、1(ac)k2c)"在零初始条件下，对式1、 2两试进行拉氏变换，得:f 牛 ky ma -阻尼系数f也很小时，式4近似为myt7a，这说明加速度越大，相对位移向下也越大。2-5、试画出习题2、3系统的动态结构图。解：1习题2r (SKa(S)ki2 2J 1S r (s) J 1 S a (s)a(S)k2c(s)k2fS c(S)J2S2 a(S)J2S2 c(S)4由式3、 4得:a(S)kikiJ1sJ1¥ r(S)5a(S)6k2fs J2s2,、k2J2S2C(S)系统的动态结构图为r(s)k1 J1s2a(s)k? J2 sc(s) k1 J1s2k2 fs

9、J2s22习题3设各支路电流如以下图，建立如下各局部的微分方程dia(t)C Ee (t)Raia(t) U L 1dtj ia(t) ic(t) iR(t) 21J U(t) iR(t)R C ic(t)dt 3对上述各式在零初始条件下，进行拉氏变换，得r Ee (s)Rala(S)U(S)Lsla(S) 4la(s)Ic(s)Ir(s)56匚 U(s)Ir(s)R1lc(s)osC由式4得：la(s)Ee (s) U(s)以下图中的虚线框刀Ra Ls由式5得：lc(s)la(s) Ir(s)以下图中的虚线框8由式6得：U(s)1丄 lcS以下图中的虚线框9sCIr(s)U(s)以下图中的虚

10、线框10R故系统的动态结构图为：(s)Ee1Ra Lasla(s) lc(s)：i1sCU(s).ZZ-rIr(s)82-6、设某系统用如下微分方程组描述，试画出系统的动态结构图。r(t) c(t)dX1dtk2X2(t)X3 (t) k3Xi(t)Xl(t)X2 (t)kiXi(t)X3 (t)X4 (t) Tdc(t) dtc(t)k4X4(t)解：对的微分方程组在零初始条件下进行拉氏变换，得R(s) C(s)sXi(s) kiXi(s)( s ki)Xi(s)k2X2(s)X3(s) k3Xi (s)C(s)k4X4(s)Xi(s)X2(s)X3G)X4(s)TsC(s)故系统的动态结构

11、图为：R(s)2-7、设某系统用如下微分方程组描述，试画出系统的动态结构图。Xi(t)r(t) c(t)X2 (t)学kiXi(t) ni(t)dtX3(t)k2X2 (t)X4 (t)X3(t)k3Xi(t)k4n 2(t)T 讐 c(t)k5X4(t)dt解：对的微分方程组在零初始条件下进行拉氏变换，得Xi(s)X2(S)X3G)X4(S)TsC(s)k3Xi(s) k4N2(s) ksXgR(s) C(s)sX1(s) k1X1(s) N1(s) k2X2(s) X3(s)C(s)故系统的动态结构图为：R(s)Ni(s)；N2(s)2-8、画出如图2-44所示系统的动态结构图，并比拟玄与

12、b的结果为什么不同。C1AR2U2图2-44习题2-8(b)解：a设通过Ri、 R2、Ci的电流为ii、i2、i3，A点的电压为Ua，那么可直接运用元件的欧姆 定律建立关系：Ui(s) Ua(s) Ii(s)Ri1Ua(s)l3(s)卞sC1Ua(s) U2(s) l2(s)R2ll(s) l2(s) l3(s)1U2(s) l2(s) =sC2b设通过Ri、Ci及R2、C2的电流为ii、i2,隔离放大器的输入电压为Uoi、输出电压为U02，那么可直接运用元件的欧姆定律建立关系:Ui(s) U 01 (s)li(s)RiUoi(s)Uo2(S)U°2(s)U°2(S)KU

13、oi (s) Uoi(s)U2(s)12(沁l2S1sC2这样b图对应的动态结构图如下:比拟3与b的结果是不同，因为a考虑了负载效应，b图由于隔离放大器的作用, 对应的动态结构图中前后两个R、C网络已经不存在电流反应了。2-9、利用等效变换化简习题2-6、2-7、2-8a系统的动态结构图，求系统的传递函数。1、将习题2-6系统的动态结构图化简为：(s)C(s)k2k4 s (kh k3)k4R(s) (T k2k4 )s 1 (k1k2 k3)k41求从R(S)到C(s)的传递函数，另Ni (s)N2(s) 0，将习题2-7系统的动态结构图化简为：R(s)R(s)C (s)k?k5 s (ki

14、k?k3 沐5R(s) (Tk?k5 )s 1 (kik2k3)k52求从Ni(s)到C(s)的传递函数，另 R(s) N?(s)0，将习题2-7系统的动态结构图化简为：去掉了为零的信号，同时把原来的负反应极性沿信号顺沿到下一个比拟点Ni(s)Ni(s)C(s)k2k5N1(S)Ni(s) 仃 k2k5 )s 1 (kik2 k3)k53求从N2(s)到C(s)的传递函数，另 R(s) Ni(s)0,将习题2-7化简为:N 2 (s)C(s)N2(s)k2 k5(T k2k5 )s 1 (kik2k3)k5Ri与sC2的串联的结果 H(s) SRC?负反应，故:U2(s)G,s)G2(s)U,

15、(s)1 G,(s)G2(s)H(s)R(s)R1C1 R2C2s2(RiCiR2C2R1C2 )s 12-10、利用梅逊增益公式求习题2-6、2-7、2-8 a系统的传递函数。解：1由习题2-6的系统的动态结构图kk从 R(s)到 C(s)有两条前向通道 R ( s k1)k24 ，P2k34 ，121 ；Ts 1Ts 1 28 自动控制原理及应用有两个闭合回路L1k4(s kjk24L2k3一。无两个及以上不接触回路，Ts1Ts 1故(s)C(s)P1 1 P2 2k2k4s(虽 k3)k4R(s)1 (L1 L2)(Tk2k4)s1(k1k?k3)k4从R(S)到C(S)有两条前向(s

16、k*Tsk3，Ts 1121 ；有两个闭合回路Li，L2Ts 1k5也越。无两个及2由习题2-7的系统的动态结构图，求系统的传递函数以上不接触回路,Li(S) RSP1 1 P2 21 (L1 L2)k2 k5s (kik2k3)k5(Tk2k5 )s 1 (k*2k3 )k5Nds)到C(s)有一条前向通道R k2也，Ts 111 ;有两个闭合回路(s g占Ts-，L2 k3。无两个及以上不接触回路，特征多项式1Ts 11 (L1 L2)，故从NMs)到C(s)的传递函数N1(S)C(s)Ni(s)Piik2 k5(T k?k5 )s 1 (仆2 k3)k5从N2(s)到C(s)有一条前向通

17、道Pk?'， i 1 ;有两个闭合回路Ts 1ktktLi( s ki)k2- ， L2k3。无两个及以上不接触回路，特征多项式Ts 1Ts 11 (L1 L2)，故从N2(s)到C(s)的传递函数N 2 (s)C(s)N2(s)P1 1k2k5(T k2k- )s 1 (kh k3)k-3由习题2-8a的系统的动态结构图，求系统的传递函数5(s)从U,s)到U 2 (s)有一条前向通道1 1R1 sCiJR2 SC211 ；有三个闭合回路L11sR C1L21sR> C2L31茹。有两个互不接触回路L1L2R1C1R2C2特征多项式1 (L1L2)L1L2，故从UMs)到U 2

18、(s)的传递函数(s)U 2 (s) R 1U,s)2R1C1 R2C2s(R1C1R2C2R1C2)s 12-11、禾U用梅逊增益公式图2-45的传递函数 C(s)/R(s)、C(s)/N(s)、E(s)/R(s)。R(s)解：1、对于图：系统有两个闭合回路 L,G,(s)G2(s)k, L2G,(s)G2(s)G3(s)k2。无两个及以上不接触回路。从N(s)到C(s)有一条前向通道 RG,(s)G2(s)G3(s)，去掉该通道无回路:1求传递函数C(s)/R(s)从R(s)到C(s)有一条前向通道 RG1(S)G2(S)G3(S)，去掉该通道无回路：11 ；，故(s) C(s)R(s)P

19、1 1G1(s)G2(s)G3(s)1 (L1 L2)1 G1(s)G2(s)k1 G1 (s)G2 (s)G3(s)k22求传递函数C(s)/N(s)1C(s)R 1G!(S)G2(S)G3 (s)N(s) 1 (L1L2)1 G1(s)G2(s)k1 G1(s)G2 (s)G3 (s)k23求传递函数E(s)/ R(s)从R(s)到E(s)有一条前向通道P11 ,去掉该通道仍有一个11 G(s)G2(s)，故心、E(s)R 11 G,s)G2(s)ER (s)R(s) 1 (L1 L2)1 G1(s)G2(s)k1 G1 (s)G2 (s)G3 (s)k22、对于(b)图：1 L1。系统有

20、一个闭合回路 L1G2(s)G3(s)。无两个及以上不接触回路，特征式1求传递函数C(s)/R(s)从R(s)到C(s)有两条前向通道 pG,s)，去掉P通道无回路:G2(s)，去掉F2通道无回路：2 1，故(s)C(s)R(s)P1 1P2 2G(s) G2(s)1 G2(s)G3(s)2求传递函数C(s)/N(s)从N(s)到C(s)有一条前向通道 p11，去掉该通道无回路:11，故(s)C(s)N(s)Pi 111 G2(s)G3(s)3求传递函数E(s)/ R(s)从R(s)到E(s)有一条前向通道 P1，去掉该通道没有回路:11，故ER(s)Rf J 1 G2；)G3(s)3、对于(c)图:系统有四个闭合回路 L1G,s)G3(s)、L2G2(s)G3(s)、L3 G1(s)G3(s)G4(s)、L4G2sG3sG4s。无两个及以上不接触回路，特征式1 L1 L2 L3 L41求传递函数Cs/Rs从Rs到Cs有两条前向通道Pi GisG3s，去掉Pi通道无回路：i 1，P2G2SG3S，去掉F2通道无回路： 2 1，故(s)