第一至第六届全国大学生高等数学竞赛真题(非数学类)

1、2022-2022年全国大学生数学竞赛预赛试卷非数学2022年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷、填空题每题5分，共20分，其中区域D由直线x y(x y)l n(1 丫)1 计算Dx_dxdy.1 x y与两坐标轴所围成三角形区域.2 .设f(x)是连续函数，2且满足 f (x) 3x2o f (x)dx 2 ,f(x)23 .曲面zy2 2平行平面24.设函数y y(x)由方程xef(y) 那么血.dx22x2y z 0的切平面方程是ey ln29确定，其中f具有二阶导数，且fx 2x、5分求极限龙叫(:nx e);，其中n是给定的正整数.凶 A， A为常数,X 0 x求g (x)并讨论g

2、(x)在x 0处的连续性. 四、15分平面区域D (x,y)|0 试证：1，L为D的正向边界,sin y -xe dyLsin x -ye dxsin y -:xe dyLsin x -ye dx;sin yxe dyL五、10分y12sin yye dxx 2 xe e，y2 xexe ，y3xe2x ee x是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程 .1时,y 0,又该六、10分设抛物线y ax2 bx 2 lnc过原点.当0抛物线与x轴及直线x 1所围图形的面积为1.试确定a,b,c,使此图形绕x轴旋3转一周而成的旋转体的体积最小.七、15 分 Un(x)满足 Un(x)

3、 Un(x) xn 三、15 分设函数 f (x)连续，g(x) f (xt)dt，且 limex(n 1,2,),且 un(1)-,求函n数项级数 un(x)之和.n 1八、10分2求x 1时，与xn等价的无穷大量.n 02022年第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷、25 分,设xn1每题5分2 a(1a)(1)(1 a2),其中| a | 1,求lim xn.nx2求limx3sx ne x dx(n1,2,)o设函数f(t)有二阶连续导数,r. x2 y2,g(x, y)2g2 0 y5求直线h： z 0与直线l2 :宁葺葺的距离。、15分设函数f (x)在()上具有二阶导数，并且f (x

4、)0, lim f (x)x0, lim f (x)x0,且存在一点X。，使得f(x。)三、15分设函数f (x)由参数方程x 2t t2y (t)(t 1)所确定，其中(t)具有二阶导数,曲线y(t)与 yt22e u du1在t2e1出相切，求函数 (t) o四、15分n设 an 0,Snak,证明:k 11当1时，级数十收敛;2当1且sn(n )时，级数Sn发散五、15分设I是过原点、方向为(，,)，其中2221 )的直线，均2z22c1，其中0 c b a,密度为1绕l旋转匀椭球2 2x ya2 b1求其转动惯量;2求其转动惯量关于方向，的最大值和最小值。六、15分设函数x具有连续的导

5、数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C上，曲线积分门空笙cX的值为常数。y1设L为正向闭曲线x 22 y2 1,证明擧凹 0； c x y2求函数x；3设C是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求.一、2xydx4(x)dy2y2022年第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷1计算以下各题此题共11 cosx73小题，每题各5分，共15分.求 limx 0sin x.求 limn3此题In 12tet arctand10分求方程2xd2y。，求 dx2y 4 dx x y 1 dy 0 的通解。三. 此题15分设函数 fx在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且f 0 , f' 0 , f"

6、; 0均不为o,证明：存在唯一一组实数 k1?k2,k3，使得叫Hhk2f 2hk3f 3h f 0四.此题17分设x2y22 2 22 ：z x y，1'a2b22z2c1，其中 a b c 0，为1与2的交线，求椭球面 1在 上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值。3y21绕y轴旋转形成的椭球面02x五.此题16分S是空间曲线z的上半局部z 0取上侧,x, y,z点处的切平面，x, y,z是原点到切平面的距离，,表示S的正法向的方向余弦。计算:1SdS； 2x,y,zx 3 y z dS六.此题12分设f(x)是在内的可微函数，且f、xmf x ，其中m 1，任取实数a0，定义a

7、n In f an 1 ,n 1,2,.,证明:anan 1绝对收敛。此题15分是否存在区间0,2上的连续可微函数f(x)，满足1,2f、x1,f x dx01 ?请说明理由。2022第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、本大题共 要步骤5小题，每题6分共30分解答以下个体要求写出要求写出重(1)求极限 lim (n!)n求通过直线i： 2x y5x 5 y一个平面过点(4,3,1)3z4z°。的两个互相垂直的平面1和2，使其中函数z u(x , y)eaxby，且2L 0。确定常数a和b，使函数z z(x , y) x y2满足方程zx y x y设函数u u(x )连续可微，平面与

8、路径无关，求u(x , y)x 1 si ntu(2)1，且 (x 2y)udx (x u3)udy 在右半求极限lim Vxxx.t costdt、此题10分计算02xsin x dx1三、求方程x2sin 2x 501的近似解，精确到0.001.x四、此题12分设函数y f (x)二阶可导，且f (x)0，f(0)0，f (0)0，求 lim x3®x 0 f(x)sin u上的截距。五、此题12分求最小实数C ,使得满足0 f C x )dx六、此题12分和球面x2 y2F(t)求F(t)的导数，其中U是曲线yf (x)上点P(x , f (x)处的切线在x轴f (x)dx 1

9、的连续函数f (x)都有设f (x)为连续函数，t0)所围起来的局部。定义三重积分z2)dvz2 t2(zf(x2F (t)七、此题14分设1丨假设limn2假设limnann 1anan 1 bnanan 1 bn与nbn 11bn 10。区域是由抛物面bn为正项级数，证明:0，那么级数nan收敛;10，且级数 bn发散，那么级数n 1an发散。2022第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷解答以下各题每题6分共24分，要求写出重要步骤nlim 1 sin .1 4n2沁dx不是绝对收敛的xy y x由x3 3x2y 2y32确定，求y x的极值。y 3x x 0上的点A作切线，使该切线与曲线及x

10、轴所围成的平面图形的 面积为3，求点A的坐标。4、总分值12计算定积分I xsinx arCtanedx1 cos xf x、总分值12分设f x在x 0处存在二阶导数f 0，且lim=0。证级数 fn 1收敛4.设Xnn _Jkk 1 (ko1)!那么limnXn5.xim0 1f(x)x那么limx 0f(x)2此题12分设n为正整数，计算| cos l n1 dx dx xb四、总分值12分设f x ,f x0 a x b ,证明 sin f x dxa五、总分值14分设 是一个光滑封闭曲面，方向朝外。给定第二型的曲面积 分Ix3 x dydz 2y3 y dzdx 3z3 z dxdy

11、。试确定曲面 ，使积分I的 值最小，并求该最小值。六、总分值14分设la r门一答，其中a为常数，曲线 C为椭圆c x yx设有曲面S:z x2 2y2和平面L: 2x 2y z 0。那么与L平行的S的切平面方程是y x+ 5,0在 5,5的傅立叶级数在x 0收敛的值0,5 xy y2 r2，取正向。求极限lim I a r11七总分值14分判断级数 2 n的敛散性，假设收敛，求其和。n 1 n 1 n 22022年全国大学生数学竞赛预赛试题非数学类填空题(共有5小题，每题6分，共30分)1. y1 ex和y xex是齐次二阶常系数线性微分方程的解，那么该方程是此题14分设函数f(x)在0,1

12、上有二阶导数，且有正常数A,B使得B|f"(x)| B。证明：对任意 x 0,1，有 | f'(x)| 2A四、此题14分1设一球缺高为h，所在球半径为R。证明该球缺体积 为 一(3R h)h2 。 球冠面积为2 Rh ； 2 设球体3(x 1)2 (y 1)2 (z 1)2 12被平面P:x y z 6所截得小球缺为，记球冠为，方向指向球外。求第二型曲面积分I xdydz ydzdx zdxdy五、此题15分设f在a,b上非负连续，严格单增，且存在xn a,b，使1 b得OF EafXndX。求 limxn六、此题15分设Ann21r 2。求 lim n An2 n2 n

13、42022第七届全国大学生数学竞赛预赛试卷1填空题每题6分，共5小题，总分值30分.2sin -n_n2 2极限lim nnsin n n2 1sin2n设函数z x,y由方程Fz，y y0所决定，其中F u,v具有连续xFu yFv 03曲面zx2y2 1在点M 1, 1,3的切平面与曲面所围区域的体积3 x4函数f x '0.x3设区间0, 上的函数u x定义域为的u xe x dt，那么u x的初等函数表达式是.二、12分设M是以三个正半轴为母线的半圆锥面，求其方程。三、 12分设f x在a, b内二次可导，且存在常数，使得对于 x a,b ，f x，那么f x在a,b内无穷次可导32四、14分求幂级数n0