线性变换在多变量函数积分学中的应用

1、线性变换在多变量函数积分学中的应用在多变量函数积分学中，合理进行变量代换，能起到化繁为简的作用，常用的变量代换，有 球坐标，极坐标代换，或类似此类的代换。而事实上，线性代数为我们看问题提供了一个非常 好的视角。线性变换用于多重积分，曲面，曲线积分中，往往更为灵活，并不是如球坐标等 代换较易看出。下作讨论。在O-XYZ坐标系中，将一组基X , Y , Z乘一个矩阵 M3X3，转化为另一组基U ,V, W,这时Jacob行列式为=detM= |1|detM特别地，当M为正交矩阵,即进行正交变换，Jacob行列式为1，在进行线性变换时，要合理选择M。1.合理选择M，化复杂区域为简单区域。如计算由平行

2、六面体a!x b| yh| a2x b2 y c2 h2a3x b3y - C3Z二h3围成的体积，线性变换后，此空间不规那么区域可化为标准长方体只需另 a/ Qy qz =u , a2x by c2z = v，a3x b3y c3z = w，易确定-hi < u< hi，-h2< v< h2, -h3< w< h3,于是hih2h3v= I I I vdxdydz= du .dv 电rx，y，z-：u，v，w1a1b1Ga2b2C2a3b3C318h1h2h3-dw=。-a10c.a 1a 2b?ga 2b?C2a3b3c3a3b3C3这样看问题，防止了为

3、确定积分限而进行的复杂计算，而且x，y，z地位等价，化为累次积分，往往计算量很大。2.合理选择M，将复杂的空间曲线转化为某个平面上的规那么曲线。在曲线积分中，假设易找出rt，那么计算简便，但假设曲线由很一般的曲面交线给出，如果曲线在“倾斜的平面上，线性变换可化到O-XYZ平面上，便于研究。如计算 x2dl , l球面x2 y2z2 =a2与l分析此问题，由于x，y，z对称,可考虑 |X2dl 二-|(x2y2z2)dl =丄 a2dl，本33文不再讨论，事实上，观察知,l是x，y，z=0平面上的圆，半径为 a，圆心在原点，考虑变换到O -UVW 坐标系中，使此圆落在ouv平面内，圆方程为u2

4、v2 = 1, w = 0。/ '、 xx'a b 久 0 '1=p即5A正交，使得A!A =<y丿<b c丿I。故P正交，使,且在0-xyz系中，三个基向量i, j,k，在o_uvw系中，三个基向量为 ,e2,e3，令e3j k，那么q _圆所在平面。再找e1,e2，利用正交性，可令i j _2ke2 二- i - j于是 e1被完全确定为 e2 e3。至此42=0 v = x + y-2zu=00, 6 ,U .2 'V w x2 M )dl =严=2.6.3V 2)dl，再令 u 二 a cost, v 二 a si nv, .6易得结果。3.最后，举一例作为正交变换应用的说明ax 2bxy cz dxdy,其中 a 0,b2 -ac ： 0QO OO求 e： x2分析：这与ex dx似乎有关系，如何转化?22因为 ax 2bxy cy (x y)(xy,定正。1oCi原式=-/ _e-八 1 2ax2 2bxy cy2 二 x2 qydetP，=1，；2'2OQ 'd(,1x'). .y d( 2y')-从以上的讨论看出：必须注意观察条件，才能合理进行线性变换，当积