线性代数综合练习题

1、线性代数综合试题、填空题：3，81-11-1那么r(A)二-11.设 A =1-12 1 -1-3110-312.设A为3阶方阵，且 A =3,贝U A*'=用A表示。卩1-1"卩-1 1、3假设X022=,那么 X =。1 0-10X.'aa1 4.设A=a1a，那么当a满足条件时，A可逆；当Jaa丿5.秩相等是两个同维向量组等价的条件。a=时，r(A) = 2。二、选择题：4 51. 设n阶方阵A是奇异阵，那么A中 A 。A必有一列元素为 0 ; B必有两列元素对应成比例；C必有一列向量是其余列向量的线性组合；D任意一列向量是其余列向量的线性组合。2. 设A和B都

2、是n阶可逆阵，假设C =，那么C = Ci A 0 jZ. -1c 、A00 Bf c八 J、0AJc 、B0(A)4(B)4(C)(D)<0 B丿'、A0 丿<B0丿< 0 A丿3.假设n阶矩阵A的秩为n-3 n兰4，那么A的伴随矩阵 A*的秩为BA n-2 B 0 C 1 D不确定4.设：o是非齐次方程组 AX -b的一个解，12,r是 AX =0的根底解系，那么_C。A 01,川r线性相关。B 线性无关。C 。1,川的线性组合是AX =b的解。D :- 0,r,lH,r的线性组合是AX =0的解。5. n阶方阵A与对角矩阵相似的充要条件是C。A矩阵A有n个特征值

3、。B矩阵A的行列式A鼻0。C矩阵A有n个线性无关的特征向量。D矩阵A的秩为n 。三、 设A和B都是3阶方阵，E为单位阵， ABA2 B广101、其中 A= 0 2 0 ， 求 B。6J一1 0 1 丿Xi X2 -X3 二-1四、设线性方程组 2x1 kx2 -2x3 =010kx1 2x2 x3 = k1k为何值时，方程组有唯一解、无解；2k为何值时，方程组有无穷多解？并求出其通解。五、设向量1,2,的线性无关，非零向量1与>1, >2,r都正交，证明：1与5221000 '0六、设 A =，求A001-2<0011丿1,2,r线性无关。8(6)2七、设A= 1&l

4、t;01 020 ， 1求A的特征值;0 22求其特征值所对应的特征向量。10八、化二次型为标准形f =2x2 3x； 3x2 4x2x3 10九、设12,3是欧氏空间V的标准正交基，证明：111：12：1 2：2一： 3：22：1-： 2 2： 3 ：31 一2： 2 一2： 3333也是V的标准正交基参考答案一、填空(1)4(2)二、选择题(1) A173丿4 11 11一 21 - 3(5)必要2、解：由AB+E =A +B恒等变形得：AB B = A -E(A-E)B =(A E)(A+ E)广 0-1P:A-E= 010=2 0V10 °(A-E)存在r20r.B = A

5、+ E =030<-10211-1-1、四、解：该方程组是非齐次线性方程组，其增广矩阵为2k-20。现对其增；k21k丿广矩阵做初等行变换11_1-1、11_1-1、2k-20T0k-202<k21k02 k1+k2k>1 1 -1 -1t 0 k2 02(001+k 2k+2丿由上可以看出：(1) 当k =2时，其系数矩阵的秩与增广矩阵的秩不相等，此时原方程组无解。(2) 当k = -1时，其系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等，且都为2,故此时方程有无穷 多个解。此时增广矩阵为1-1-1 、11-1-12-1-20T0-302L121030-211 -1-110-11、T0 -

6、102T0-102<0000<000°得:二；=1,令X3£1 、X2=c0+-2<X3>I1° J二C，那么得全不解为:O(3) 当k = -1,k = 2时，系数矩阵跟增广矩阵秩都等与3,故方程有唯一解。五、证明：假设存在数 k1, k2|kr ,1使得下面等式成立：k： ! k2 JU k r因为非零向量与i,2,，亠都正交，所以C，1)=C，2)TI4C,I ； -0，-：r = 0，,0，所以有0= ,0=片1 k2： 2 IHkjr j 二 ki；l k2 ,：2IHkr ：,： r l=l , l =0k,1 k22 Ilk：

7、 r =0由向量1 /' 2 / 'r的线性无关性可知：K = k? = 111 = k = 0所以：与2,/ r线性无关。5202 1 0 六、解：A =0 0 1<0 0 10-2(B0，其中B =C-21Vb" =r1-2"1-<<-253.21 J1AB-<00C七、(1)1-2一2-2001323001313-13-1-2二(_2)3 _( -2)0 -2=(-2)(-1)( -3) =0得A的特征值为 、=1,，2 = 2, 3 = 3。(2)当'1 =1时，解方程E - AX =0。-1-1<0-100、0

8、 ，得根底解系为:1P1 =(1,-1,0)T，故 1 所对应的特征向量为:kpk").=2时，解方程2E - AX =0。0-10-100000>，得根底解kp2(k = 0).系为P2 =0,0,1T，故 =2所对应的特征向量为:-1当 =3时，解方程3E - AX =0。-10，得其根底解系为p3 =1,1,0T，故故 3所对应的特征向量为：kpkuO.八、解：配方得:2 2 2f 二 2Xi3x2 3X34X2X32244 25 292-25 2=2x1 3 x2x3x33=2 Xi3X2X2X3X3X33932 、23225 2=2yi 3y23 y32其中仏=Xi,y? = X23X3,丫3 = X3九、证：因为11, 24： 1,： 1-2： 2,： 2-2： 3,： 3 =0,9类似可得：i,：3=：3,：2=0所以, '2, 3正交。同时A =卩1 , Pi = 64 %, % *4&l