线性方程组单元练习题

1、线性方程组单元练习题X1 + X2十 X5 = 01(96年，数学一，6分).求齐次方程组 X. + x2 - x3=0的根底解系X3 + X4 + X5 = 0分析：求根底解系分三步：系数矩阵行变换到最简，写出通解方程组，自由n -R(A) =5-3二2,自由变量为变量取定值。X.X3X4=X5=0：=0,：,那么根底解系为.00,-2 =00<0>2.(98 年,数学一,线性方程组(A)a. x.a21 x.a 佗 X2' a., 2n X 2na 22 Xa2 ,2n X 2n二 0=0的一个根底解系为an.x.(b , b.2 ,b.,2n ) ,( S , 62

2、,b.y. b.2 yb. yznb2. y. b22 y2 亠 亠 bzyzn(B)an 2 X 2an ,2 n X2 n),(bn. , bn2 ,-0=0的通解，并说明理由=0，bn,2n)T；试写出线性方程组000000r000000000<000°<0000解:X2, X5.通解方程组为:By = 0的解。由此得到 ),(an. , an2 , an,2n )T是(A)的根底解系，故2nbn. y.bn2 ybny解：设方程组(A)的系数矩阵为A,(B)的系数矩阵为B。由于B的每一行 即Bt的每一列都是Ax=0的解，所以Bt满足ABT =0又；BAT =(AB

3、T)T =0, At的每一列即 A的每一行是方程组(B)的一组 n 个解(a.®, ,a1i2n)T,(a21,a22 ,a2,2由于(b.,b.2,b.,2n)T ,(b2.,b22, b2,2n)T,血.，2, g,2R(B)二R(Sa)二n，由(A)的解的结构 R(A) = 2n - R(Sa)二n,即A的行向量组 线性无关，,2n )又因为方程组(B)的解集是R(Sb) = 2n - R(B) = n,所以A的行向量是(B)的解 空间的一组基。所以方程组(B)的通解为：k1(an,a12, ,a1,2n) ' k2(a21,a22, ,a2,2n)' kn(a

4、n1,an2, ,a其中k1 ,k2 / , kn是任意常数3. (04数学一，9分)设有齐次线性方程组(1 a)X1 X2 ：；：； Xn = 02X1(2 a)x2 亠亠 2Xn =0,(n-2)nX1 nx2试问a为何值时，该方程组有亠 亠(n a)Xn =0非零解，并求其通解。解：令系数矩阵为B.系数矩阵A 二 aEB,其中 B 二2 R(B) = 1,-1 1n(n 1) - 2n(n 1)(，咛) ", B的特征值为n(n 1) ,0,0, ,0.2A"E B, A的特征值为a咛心,a.AX =0 有非零解 =R(A)：n= A=0= a=0 或 a(n1)n2

5、广11 h111 h12323323003303n n<00 0通解方程为:a =0时，A -X1 X 亠Xn = 0,得根底解系为：1 =(一1,1,0, ,0)丁，2 =(-1,0,1, ,0)T,k11 k2 kn 1n 1=(-1,0,0，,1)T,方程组通解为:1+ a1BBL1 、1 + a1BBLr眄1)时，a =232 + aaa2a-2aaa aa0a2: :- :nn "n + ai 一 na0 a丿J n 1a =-1 +a-2通解方程组为:1丿<2 x1_ 3x1x2 =0X3 = 0 ,R(A) = n-1,自由变量有一个 Xi,-nx1令X1

6、=1,得根底解系丄1,Xn2,n T,通解为k ', k为任意常数4. (89数学一，6分)X1X3 二问入为何值时，线性方程组? 4Xj + x2 +2x3 =丸+ 26 X1 + X2 + 4 X3 = 2九 + 3-有解，并求出解的一般形式解：对增广矩阵进行初等行变换01101101412九+ 201_ 2-3扎 + 2f01_ 2-3+2<6142九+3丿<01_ 2_4扎+3<000九 +1 j方程组有解 二 R(A)二 R(A,b)二- 1=0,= 1.此时R(A)二R(A,b)二23,方程组有无穷多组解。x + x = 0齐次方程组的通解方程组为丿13，

7、令X3=1，得根底解系X? 2 x 0为一个解向量(-1,2,1)T,"+ x3 = 1非齐次方程组的通解方程组为丿13，令X3 = 0,得特解为x2 - 2x3 = -1为(1,1,0)T,故方程组通解为：k( 1, 2, 1 )+(1, -1, 0)T.5. (04数学四，13分)设线性方程组x1x2：x3 X4 = 02x1x2x3 2x4 二 03X1 (2)X2 (4 )X3 X4 =01, - 1, 1, -1 丫是该方程组的一个解，试求(1方程组的全部解，并用对应的齐次方程组的根底解系表示全部解(2该方程组满足 X2 = x 3的全部解解：将1,-1, 1,-1T代入方

8、程组，得：1扎10、&10、(1)(A,b) =21120f01-2人1-2九00<324+ &41<02 -2九4 2九11>1九101九九1 0、0 1-2扎1 -2九000131 1<0131b<01 -2扎1-2九0 0f11、1 111010-11222 2时,(A,b)013110131 1,000000000 0<)1 1通解方程组为：X1二x 2X 2,令X3 = k1,xk2,那么X2 二-3X3 - X41r 1 1r 1、1'1'X1k-k2 -1 2 2 2-322X2=_3匕 _k2 +1=k1+ k

9、2-1+1X3k1100幺4<k2< 01 11 0/.-时，(A,b)f1扎扎0 11卫 1 31令X4=1,得齐次根底解系:=1,非齐次特解为：1,-1,-1,令X4全部解即通解为k 2,X3代入以上方程组的解(2)将 x2X1(121 - 2-100<0 0T .120,1,-2)T1,0,0,X2X3方程组为：X2 k2121=X3 _ 二 X42-3x3 - x4 1二 k2,那么1、=k1-312 -1+2100丿<0< 1<0丿K 12_3k _k2 +1k1<k2,x2 二 x3,那么-3也-k21 = k- -k2 因此令x421 1寸2232k213,31、k24 2241