初二年级数学动点问题练习(含答案)

1、动态问题所谓“动点型问题是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键：动中求静.数学思想：分类思想数形结合思想转化思想1、如图1,梯形ABCM,AD/BC,ZB=90°,AB=14cm,AD=18cm,BC=21cnP从A开始q沿AD边以1cm/秒的速度移动,点Q从C开始沿CB向点B以2cm/秒的速度移动,如果P,Q分别从A,C同时出发,设移动时间为t秒.当t=时,四边形是平行四边形；6当t=时,四边形是等腰梯形.82、如图2,正方形ABCM边长为4,点M在边DC上,且DM=1N为对角

2、线AC上任意一点,代7个口那么DN+MN勺最小值为5二:3、如图,在RtABC中,/ACB=90.,/B=60.,BC=2.点.是AC的中点,过、CE/AB交直线l于点E,设直线l的旋转角为0f.(1)当汽=度时,四边形EDBC是等腰梯形,此时当&=度时,四边形EDBC是直角梯形,此时(2)当口=90时,判断四边形EDBC是否为菱形,并说明理由.解：(1)30,1;60,1.5;(2)当=90°时,四边形EDBCt菱形.AD的长为；AD的长为；在RtABC中,/AC&900,21A一AAB=4,AC=203.AO=2BD=2.B=BC又.四边形EDBO菱形4、在ABC

3、中,/ACB=90°,MnAB图1Word格式B=600,BC=2,/A=300.c-°=石.在RtAAO,/A=300,AD=2.°四边形EDBC1平行四边形,A'B备用图AC=BC直线MN过点C,且ADLMND,B已MNTE.M二,N图3图2NBC/EDCE/AB一.四边形EDBO平行四边形点O的直线l从与AC重合的位置开始,绕点.作逆时针旋转,交AB边于点D.过点C作一(1)当直线M潞点C旋转到图1的位置时,求证：4AD隼CEEBDE=ADFBE;(2)当直线M潞点C旋转到图2的位置时,求证：DE=AD-BE(3)当直线M潞点C旋转到图3的位置时,试

4、问DEADBE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系,并加以证实.解：(1)/ACD叱ACB=90,/CAD吆ACD=0°/BCE4ZACD=90/CAD=BCEAC=BC,AD隼CEB.ADeACEBCE=ADCD=BE.DE=CE+CD=AD+BE(2) /ADChCEB玄ACB=90,/ACDhCBE又AC=BCAC里CBE.CE=ADCD=BE,DE=CE-CD=AD-BE(3)当M四转至U图3的位置时,DE=BE-AD或AD=BE-DEBE=AD+D膏)/ADCWCEB至ACB=90=/ACD=CBE又AC=BCACNCBEAD=CECD=BE,DE=CD-CE=BE-AD

5、.5、数学课上,张老师出示了问题：如图1,四边形ABC氓正方形,点E是边BC的中点.ZAEF=90,且EF交正方形外角NDCG的平行线CF于点F,求证：AE=EF.经过思考,小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M连接ME那么AM=EC,易证AMEzXECF,所以AE=EF.在此根底上,同学们作了进一步的研究：(1)小颖提出：如图2,如果把“点E是边BC的中点改为“点E是边BC上(除B,C外)的任意一点,其它条件不变,那么结论"AE=EF'仍然成立,你认为小颖的观点正确吗？如果正确,写出证实过程；如果不正确,请说明理由；(2)小华提出：如图3,点E是BC的延长线上(除C点

6、外)的任意一点,其他条件不变,结论"AE=EF'仍然成立.你认为小华的观点正确吗？如果正确,写出证实过程；如果不正确,请说明理由.解：(1)正确.证实：在AB上取一点M,使AM=EC,连接ME.二BM=BE.JBME=45,AME=135.；CF是外角平分线,DCF=45,ECF=135二/AME=/ECF.'：NAEB+/BAE=90,/AEB+/CEF=90,BAE=/CEF.AMEABCF(ASQ.,AE=EF.(2)正确.证实：在BA的延长线上取一点N.使AN=CE,:BN=BE.,N=/PCE=45.v四边形ABCD是正方形,ADIIBE.,DAE=NBEA

7、.,NAE=/CEF.ANE/XECF(ASA.:AE=EF.6、如图,射线MB上,MB=9,A是射线MB外一点,AB=5且A到射线MB的距离为3,动点向以1个单位/秒的速度移动,设P的运动时间为t.求(1)PAB为等腰三角形的t值；(2)PAB为直角三角形的t值;(3)假设AB=5且/ABM=45°,其他条件不变,直接写出PAB为直角三角形的t值7、如图1,在等腰梯形ABCD中,AD/BC,E是AB的中点,过点E作EF/BC交CD于点F.AB=4,BC=6,/B=60>求：1求点E到BC的距离；2点P为线段EF上的一个动点,过P作PM_LEF交BC于点M,过M作MN/AB交折

8、线ADC于点N,连结PN,设EP=x.当点N在线段AD上时如图2,PN的形状是否发生改变？假设不变,求出4PMN的周长；假设改变,请说明理由；当点N在线段DC上时如图3,是否存在点P,使4PMN为等腰三角形？假设存在,请求出所有满足要求的x的值；假设不存在,请说明理由图1图2图3BC图4备用图5备用1BEAB=2.解1如图1,过点E作EG_LBC于点G.E为AB的中点,/.2BG=1BE=1,EGkJ'22-12=、.3.在RtEBG中,/B=60:./BEG=30°2即点E到BC的距离为回(2)当点N在线段AD上运动时,4PMN的形状不发生改变.PM_LEF,EG_LEF,

9、PM/EG.EF/BC,EP=GM,PM=EG=V3.同理MN如图2,过点P作PH_LMN于H,MN/AB,一,一,一1,/NMC=/B=60%/PMH=30s.,PH=PM23一3MH=PMLCos30*=.那么NH=MN-MH=4-=AB=4.25=2r/524l在RtPNH中,PN=VNH'+ph=Jl-+=«丫v2)CCAPMN的周长=PM+PN+MN=,3+J7+4.当点N在线段DC上运动时,APMN的形状发生改变,但4MNC恒为等边三角形.当PM=PN时,如图3,作PR_LMN于R,那么MR=NR3类似,MR=3.,MN=2MR=3.AMNC是等边三角形,MC=M

10、N=3.2此时,x=EP=GM=BC-BG-MC=6-1-3=2.当MP=MN时,如图4,这时MC=MN=MP=J3.此时,x=EP=GM=61J3=5J3.当NP=NM时,如图5,/NPM=/PMN=30°那么/PMN=120口,又/MNC=60*,/PNM+/MNC=180°因此点P与F重合,PMC为直角三角形.MC=PMbtan30*=1.此时,x=EP=GM=611=4.综上所述,当x=2或4或(5-出)时,4PMN为等腰三角形.8、如图,AABC中,AB=AC=10厘米,BC=8厘米,点D为AB的中点.(1)如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动,

11、同时,点Q在线段CA上由C点向A点运动假设点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1秒后,BPD与CQP是否全等,请说明理由；假设点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使4BPD与CQP全等？(2)假设点Q以中的运动速度从点C出发,点P以原来的运动速度从点B同时出发,都逆时针沿ABC三边运动,求经过多长时间点P与点Q第一次在ABC的哪条边上相遇？解：(1)t=1秒,BP=CQ=3父1=3厘米,AB=10厘米,点D为AB的中点,BD=5厘米.又.PC=BCBP,BC=8厘米,PC=83=5厘米,PC=BD.Vp#Vq.BP#CQ又.AB=AC,ZB=/C,.BPDC

12、QP又.ABPDACQPZB=ZC,那么BP=PC=4,CQ=BD=5CQ515.BP4Vq-=4=7t二二点P,点Q运动的时间33秒,3厘米/秒.(2)设经过x秒后点P与点Q第一次相遇,由题意,得15x=3x2104,解得80x=3秒.80点P、点Q在AB边上相遇,3=80点P共运动了3厘米.:80=2父28+24,80.经过3秒点P与点Q第一次在边AB上相遇.9、如下图,在菱形ABC中,AB=4,/BA摩120.,AEF为正三角形,点EF分别在菱形的边BC.CD上滑动,且E、F不与B.C.D重合.(1)证实不管E、F在BCCD上如何滑动,总有BE=CF;(2)当点E、F在BCCD±

13、;滑动时,分别探讨四边形AEC桥口CEF的面积是否发生变化？如果不变,求出这个定值；如果变化,求出最大(或最小)值.【答案】解：(1)证实：如图,连接AC四边形ABCD;菱形,/BAB120,ZBAEZEA(=60,/FAG/EA060,bBBAE=ZFACBAR120,.AB=60.DABCACM等边三角形./AC=60,AC=AB/ABE：/AFC在AB%口AACF中,./BAE=/FACABAC/ABE：/AFC.ABEACF(ASA°BE=CR(2)四边形AECFF勺面积不变,CEF的面积发生变化.理由如下:由(1)得AB白ACF那么SaabE=Saacif>S四边形a

14、ecf:Saaec+SaacF=Saaec+SaabE=SaABC是定值.作AHLBC于H点,那么BH=2,S四边形AECF=S&BC=-BCAH=BCAB2-BH222由“垂线段最短可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直C时,边AE最短.故AEF的面积会随着AE的变化而变化,且当AE最短时,正三角形AEF的面积会最小,又SkCE=S四边形AECFSkAEF,那么此时CEF的面积就会最大.1.'22Sace=S四边形aec丁Saaef=4%3-2%34(2,3)(V3)=.3o.CEF勺面积的最大值是3.菱形的性质,等边三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理,垂

15、直线段的性质.(1)先求证ABAC,进而求证ABCACD为等边三角形,得/ACF=60,AGAB从而求证AB自ACF即可求得BE=CF(2)由4AB凄ACFW彳导SAB=SaACF,故卞!据S四边形AeRSaAEC+Sac=Saec+SabE=SLABC即可得四边形AECF勺面积是定值.当正三角形AEF的边AE与BC垂直时,边AE最短.AEF的面积会随着AE的变化而变化,且当AE最短时,正三角形AEF的面积会最小,根据SceF=S四边形AECFSaaef,那么CEF的面积就会最大.10、如图,在AOB中,/AOB=90,OA=OB=6C为OB上一点,射线CDLOB交AB于点D,OC=2点P从点

16、A出发以每秒加个单位长度的速度沿AB方向运动,点Q从点C出发以每秒2个单位长度的速度沿CD方向运动,P、Q两点同时出发,当点P到到达点B时停止运动,点Q也随之停止.过点P作PHOA于点E,PHOB于点F,得到矩形PEOF以点Q为直角顶点向下作等腰直角三角形QMN斜边MMOB且MN=QC设运动时间为t(单位：秒).(1)求t=1时FC的长度.(2)求MN=PF寸t的值.S与t的函数关系式.(3)当QMNF矩形PEOFW重叠局部时,求重叠(阴影)局部图形面积(4)直接写出QMN的边与矩形PEOF勺边有三个公共点时t的值.考点：相似形综合题.分析：(1)根据等腰直角三角形,可得AP=V2t,OF=EP=t再将t=1代入求出FC的长度；(2)根据MN=PF可得关于t的方程6-t=2t,解方程即可求解；(3)分三种情况：求出当1WtW2时；当2vtwW时；当包vtW3时；求出重叠(阴影)局部33图形面积S与t的函数关系式；(4)分M在OE上；N在PF上两种情况讨论求得QMN的边与矩形PEOF的边有三个公共点时t的值.解答：解：(1)根据题