微分中值定理推广及其应用

1、微分中值定理推广及其应用目录一、引言2.二、微分中值定理及其证明2.2.1 罗尔定理3.2.2 拉格朗日中值定理3.三、微分中值定理的应用4.3.6 证明方程根的存在性4.3.7 证明不等式5.3.8 利用微分中值定理求极限及证明相关问题63.9 求极限7.3.10 用来证明函数恒为常数7.3.11 中值点存在性的应用8.3.11.1 一个中值点的情形8.3.11.2 .2泰勒公式法.10四小结：11致谢12参考文献：12微分中值定理推广及其应用【摘要】微分中值定理是数学分析中非常重要的基本定理，它是沟通函数与其导数之间关系的桥梁.本文主要对罗尔中值定理的条件做一些适当的改变，能得出如下一些结

2、论，从而扩大罗尔定理的应用范围。从拉格朗日中值定理的几何意义出发，通过几何直观，把数学分析空间解析几何知识有机的结合起来，改变传统的构造函数差的方法，通过构造行列式函数得出定理的新方法。通过对这两个定理进行分析，并加以推广，结合几个常见的实例论述了罗尔中值定理、拉格朗日中值定理。在证明不等式，求函数极限等方面的应用，从而加深对两个定理的理解。【关键词】罗尔定理拉格朗日中值定理推广应用一、引言微分中值定理是微分学的基本定理，在数学分析中占有重要的地位，是研究函数在某个区间的整体性质的有力工具。其中，拉格朗日定理是核心，罗尔定理是其特殊情况，柯西定理是其推广。通过查阅大量资料文献和网上查阅，我找到

3、了很多相关资料。本文以案例形式介绍了微分中值定理在数学分析中的应用，论述了微分中值定理在求极限、证明不等式以及泰勒公式和中值点存在性等几个方面的应用研究比较细致和深入。其中证明某区间上满足一定条件的中值点的存在性是微分中值定理非常重要的应用，也是在历年考研试题中经常出现的题型之一。利用中值定理证明中值点的存在性，要兼顾条件与结论，综合分析，寻求证明思路。充分理解微分学的相关知识，掌握微分中值定理的内容，并会熟练的应用。使用微分中值定理证题，方法多种多样，技巧性强。本文对这一部分的典型例题进行整理归纳总结，总结出一套符合初学者认知规律的解题方法是非常必要的，这也是进一步学习数学分析的基础。二、微

4、分中值定理及其证明为了应用导数的概念和运算来研究函数与实际问题，需要一个联系局部与整体的工具，这就是微分中值定理.微分学是数学分析的重要组成部分，微分中值定理作为微分学的核心，是沟通导数和函数值之间的桥梁.罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒公式是微分学的基本定理,统称为微分学的中值定理，这四个定理作为微分学的基本定理，是研究函数形态的有力工具.罗尔定理若函数f满足如下条件：f在闭区间b,b】上连续；f在开区间(a,b)内可导；fa=fb,则在(a,b)内至少存在一点匕使得f)=0罗尔定理的几何意义是说：在每一点可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条切线.

5、证明：因为f在kb】上连续，所以有最大值M与m表示，现分两种情况来讨论：m=M，则f在以b】上必为常数，从而结论显然成立.若mM，则因f(a)=f(b段得最大值M与最小值m至少有一个在(a,b内某点已处取得，从而已是f的极值点，由条件f在开区间(a,b)内可导，f在点1处可导，故由费马定理推知f仁)=0注：定理中的三个条件缺少任彳一个，结论将不一定成立.先讲罗尔定理，并由此推出微分学的两个基本定理一拉格朗日中值定理和柯西中值定理.拉格朗日中值定理若函数f满足如下条件：f在闭区间a,b1上连续；f在开区间(a,b)内可导;则在(a,b网至少存在一点使得f&)=f(b)f(a)(i)b-a显然，特

6、别当f(a)=f(b)时为罗尔定理。这表明罗尔定理是拉格朗日的定理的一个特殊情形.证明：做辅助函数F(x)=f(xf(b)_f(b)f(a)&-a)显然，F(a)=F(b)(=0),且F在Q,b】上满足b-a罗尔定理的另两个条件，故存在久(a，b)使fKAfGaf(b)f(a)=0,移项b-a既得到所要证明的(1)式.拉格朗日中值定理的几何意义是：在满足定理条件的曲线y=f(x)上至少存在一点PKf)，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB我们在证明中引入辅助函数F(x),正是曲线y=f(x臼直线ABy=f(a计f(b)一a)(x-a)1bb-aJ三、微分中值定理的应用3.1证明方程根

7、的存在性把要证明的方程转化为f(x)=0的形式.对方程f(x)=0用下述方法：(1)根的存在定理若函数f(x)在区间a,b】上连续，且f(a)f(b)0),证明在(a,b)内方程2xf(b)f(a)j=(b2-a2)f(x)至少存在一根。分析：由于题目是要求方程2x，f(bf(a)j=(b2-a2)f(x)是否有根存在，所以可以先对方程进行变形，把方程变为2xf(b)-f(a)-(b2-a2)f(x)=0。那么方程2x，f(b)-f(a)=(b2-a2)f(x冶根的话，则原方程也有根。变形之后的方程有f0),由函数的连续性和求导的概念，可以得到函数f(b)f(a)x2(b2a2)f(x)在a,

8、b上连续,在(a,b)内可导(a0那么我们不难想到利用罗尔中值定理就可以证明该题了。证明：令F(x)=f(b)一f(a)|x2-(b2-a2)f(x卜显然F(x)在k,b上连续，在(a,b)内可导，而Fa=fba2-b2fa=Fb.根据Rolled定理，至少存在一点-,使2fb-fa)：=i：b2-a2fx.证毕本文主要在于辅助函数F(x)=f(b)f(a)x2(b2a2)f(x)的构造，我们从结论出发，构造辅助函数，使得该题可以利用中值定理来证明，接下来是考虑利用微分中值定理中的哪一个即可。对于构造辅助函数我们可以得到F(a)=F(b),所以选在利用罗尔定理证明。这是对解该类问题的总结，也是

9、自己对该类问题解题提出的一个解题思路模式，大家可以借鉴。3.2证明不等式在证明不等式时，可以考虑从微分中值定理入手，找出切入点，灵活运用相关微分中值定理，进行系统的分析，从而得以巧妙解决.例设00时成立.下证当0ba时,有a-b,aa。b:In-:二abb作辅助函数f(x)=lnx,则f(x)在b,a上满足拉格朗日中值定理，则9w(b,a)使lna-lnb1-=Ta-b由于0:二b:二，:a，所以111-70,三X0当xX时|f(x)+f(x)X,在X,x上利用柯西中值定理有F(X)-F(X)(X,x)g(x)-g(X)g()f(x)ex-f(X)eXf()f()exXe-e亦有_X_xf(X

10、)-fXXx)e-f()f(),1-e由于limeX白=0x1二-|f(x)|_|f(X)|eX|f()f()|(1eX)，所以三XiAX,当xAXi时有eXE和eX0.n-C解：对f(x)=ax应用拉格朗日中值定理，有/ii、limn2an-an4n-IJ=limn2(ax)xi-n+x*$n+1=lim2nalnannn1=lna3.5用来证明函数恒为常数导数是研究函数性态的重要工具，但用导数研究函数性态的着眼点在局部范围.而在整体上或比较大的范围运用导数这一工具来研究函数性态，主要工具还是微分中值定理，它是应用导数研究整体性问题的重要工具.证明函数包为常数这是函数的整体性质，在这个应用中

11、微分中值定理很实用.例9设f(x而0,1】上连续，f(c)=0,2(0,1)且在(0,1)内包有f(x)kf(x).其中k为小于1的常数，试证：f(x)为常数函数.证明：VxW0,1,不妨设cx,贝fjx-c1,而f(c)=0,所以有f(x)=|f(x)f(c)=f(。*-c)Tkfgb，其中c匕x.I同理|fcHfc、-c)Ekf代k卡),ctk+k,其中k=1,2,n所以f(xjkf居)k2fG2kwknf(.F其中c:x时同样成立)，从而，f(x)=0,xW(0,1).故在0,1上f(x)为常数函数.3.6中值点存在性的应用一个中值点的情形原函数法在利用微分中值定理证明中值点的存在性问题

12、时，关键是根据所证明的结论构造辅助函数，构造辅助函数最基本最重要的思想就是寻求原函数，而寻求原函数的方法又因所证结论不同而不同.(1)直接法这种方法的解题思路主要是根据题目所证结论中常数项的特点直接得到辅助函数.例函数f(x施口,/上连续，在(a,b)内可导，证明：在(a,b)内至少存在一点-,使得bfb-afa=f.f.b-a分析：结论等号左侧显然是函数xf(x汴区间a,b】两端点函数值的差与区间长度(b-a后商，于是联想到对函数xf(x)使用拉格朗日中值定理.证明：令F(x)=xf(x),显然F(x法la,b】上满足拉格朗日中值定理条件.于是知：在(a,b)内至少存在一点七，使得F(b)-

13、F(a)=F),而b-aF)=xf(x可f函用=Uf)+f()即得结论bf(b)-af(a)=f()f().b-a(2)积分法这种方法的基本思想是利用不定积分寻求辅助函数，具体做法如下：将结论中的巴换成x,通过恒等变形将结论化成F(x)|x1=0的形式，然后用观察或直接积分(如果不易通过观察得到)求得原函数F(x),积分常数取为0.例设函数f(x),g(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)=0,证明：至少存在一点巴w(a,b),使f)十f(-)g)=0.分析：结论即要证明函数f(x)+f(x)g(x)在(0,1)内有零点，因结论中含有函数导数，故考虑利用罗尔定理，而此函

14、数的原函数通过观察可能感到有点困难.将f()f()g()=0变形为1)+9内=0,即要证明函数C+g(x)在f()f(x)(0,1)内有零点.而工+g(x)dx=lnf(x)eg(x)+c,显然lnf(x)eg(x)与f(x)f(x)eg(x)的导数有相同的零点，于是可取原函数为f(x)eg(x).证明：令F(x)=f(x)eg(x),显然F(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，且F(a)=F(b)=0,于是由罗尔定理知至少存在一点(0,1),使F内=0,而F(x)=f(x)+f(x)g(x)eg(x),故fK)+fd)gd)eg(5=0,又eg($0,于是f()f()g()=0.当所证明

15、的结论中出现二阶导数时通常可考虑两次使用中值定理证明.3.6.2.2泰勒公式法当题设中出现高阶导数(三阶或三阶以上的导数)时，通常可考虑使用泰勒公式证明中值点的存在性.例设函数f(x)在闭区间-1,1上具有三阶连续导数，且f(-1)=0,f(1)=1,f(0)=0.试证：在开区间(-1,1)内至少存在一点/使f明)=3.证明：由(0)=0,得f(x)在x=0处的二阶泰勒公式为f(x)=f(0)+匚2+工C)x3。介于0与x之间，xw1,1).2!3!由题设知f(1)=f(0)-W-0),26f(0)f(c)f(1)=f(0)5(-2)=1(0：二2：二1),26两式相减，可得f(1)f.(2)

16、=6.又f(x)在区间-1,1连续，从而在口,。2上也连续，故f(x)在区间尸2上有最大值M和最小值m.从而有1m-f(n1)+f(n2)=3M,由介值定理知，至少存在一点匕%-2二1,1,使得f不)=3.3.6.2两个中值点的情形在证明两个中值点存在性的命题时，通常可考虑使用两次中值定理.例函数f(x)在a,b上连续，在(a,b)可导，0ab,试证：存在巴尸亡(a,b),使得f()=圣f().2分析：结论中两点只要存在即可，不要求一定不同，故可在同一区间上使用两次中值定理.同时结论中的工(9部分可看作函数f(x)与x2x2在点”处的导数2之商，故联想到柯西中值定理.再对f(x)使用拉格朗日中

17、值定理，然后寻求两个结论之间的关系.证明：令g(x)=x2,易知f(x)与g(x)在a,b上连续，在(a,b)可导，且g(x)=0.由柯西中值定理知，存在刈w(a,b),使得f(b)-f(a)f()g(b)-g(a)g()即f(b)-f(a)f()b2-a2-2，f(b)-f(a)=(b2a2)手.而由拉格朗日中值定理知，存在Xw(a,b),使得f(b)-f(a)=(b-a)f().由以上两式得：存在“w(a,b),使(b-a)f()=(b2a2)手，即ab.f()丁f().微分中值定理应用非常广泛(在使用时应特别注意验证定理的条件)，以上只介绍了几种常见的应用.通过对微分中值定理的研究，加深

18、了对微分中值定理的理解,有助于更好掌握该定理的解题应用.四小结：微分中值定理是微分学的基本定理，而且它也是微分学的理论核心，有着广泛的应用。本课题是对微分中值定理在证明方程根的存在性、证明不等式、求极限、泰勒公式、中值点存在性的应用等几个方面的论述，其中证明某区间上满足一定条件的中值点的存在性是微分中值定理非常重要的应用，利用中值定理证明中值点的存在性，要兼顾条件与结论，综合分析，寻求证明思路。我们知道，运用微分中值定理证明有关命题的关键是构造辅助函数，构造满足某个中值定理条件的而得到要证明的结论。而构造辅助函数技巧性较强，构造合适的辅助函数往往是困难的。由于本人能力有限，查找的资料也有局限性，本文对辅助函数的构造还未进行深入的研究，这将是我以后研究的方向。致谢行文至此，我的论文已接近尾声；岁月如梭，我三年的大学时光也即将敲响结束的钟