概率论与数理统计(第三版)课后答案习题1

1、第一章事件与概率1.写出下列随机试验的样本空间。(1)记录一个班级一次概率统计考试的平均分数(设以百分制记分)。(2)同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。(3)生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。(4)对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。(5)在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标。(6)实测某种型号灯泡的寿命，Q=i=0,1，100n,-”，1101,0111,1111,其中0表示次品,解(1)n其中n为班级人数(2)C=3，4,，18G=1011，(4) Q=00,1

2、00,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1表示正品。(5) Q=(x,y)10Vx<1,0<y<1。(6) G=t|t>0o2 .设A,B,C为三事件，用A,B,C的运算关系表示下列各事件，。(1) A发生，B与C不发生。(2) A与B都发生，而C不发生。(3) A,B,C中至少有一个发生。(4) A,B,C都发生。(5) A,B,C都不发生。(6) A,B,C中不多于一个发生。(7) A,B,C至少有一个不发生。(8) A,B,C中至少有两个发生。ABC,(6)AB+AC+BC解(1)ABC,(2)ABC,(3)A+B+C,(4)A

3、BC,(5)或(7)A+B+C,(8)AB+AC+BC或ABCuABC2ABC=ABCAB=ABB(3)若BUA,则B=AB(5)ABC=ABC解：(1)成立，因为AB3 .指出下列命题中哪些成立，哪些不成立，并作图说明。AB=AB则BC=空(4)若AUB,则BUA(6)若AB=S且CUA,B=(AB)(BB)=AB(2)不成立，因为AB=A+B*AB。成立，丁BUA,BUAB,又ABUBB=AB。(4)成立。(5)不成立，因左边包含事件C,右边不包含事件C,所以不成立(6)成立。因若BC，小，则因CR,必有BCBB，所以AB，小与已知矛盾，所以成立图略。4 .简化下列各式：(1) (A+B)

4、(B+C)(2)(A+B)(A+B)(A+B)(A+B)(A+B)解：(1)(A+B)(B+C)=AB+AC+B+BC，因为AB+BCUB,所以，(A+B)(B+C)=B+ACo(2) (A+B)(A+B)=A+AB+BA+BB,因为aB+BA=AC=A,bB=且C+6=C，所以(A+B)(A+B)=A。(3) (A+B)(A+B)(A+B)=A(A+B)=9+AB=AB。5.设A,B,C是三事件，且P(A)11一P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=一，=P(B)=P(C)=4,8求A,B,C至少有一个发生的概率。解ABCCAB04P(ABC)2P(AB)=0,故P(ABC)=0;所求概率

5、为P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)11117=-00-00=442886.从1、2、3、4、5这5个数中，任取其三，构成一个三位数。试求下列事件的概率:(1)三位数是奇数；(2)三位数为5的倍数；(3)三位数为3的倍数；(4)三位数小于350o解设A表示事件“三位数是奇数”，B表示事件“三位数为5的倍数”，C表示事件“三位数为3的倍数”，D表示事件“三位数小于350”。3基本事件总数为VC=A5,Va=A：3,(1)Vb=A：1,VC=43!C2A4336P(A)=一=0.6A；60A：112P(B)=3-=0.2A56043!2

6、4P(A)=-=0.4Vd=A42M2+A：A：,(4)7.某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆P(D)211A4M2+A3A333=0.556010桶、黑漆4桶、红漆3桶，在搬运中所有标签脱落，交贷人随意将这A560些油漆发给顾客。问一个定货4桶白漆、3桶黑漆和2桶红漆的顾客，能按所定颜色如数得到定货的概率是多少?32C4C3种,432C10C4c3252Ct24318.在1700个产品中有500个次品、1200个正品。任取200个。(1)求恰有90个次品的概率;个次品的概率。(2)求至少有2200解(1)试验E为1700个产品中任取200个，共有C1700故恰有90个次品的概率为种取法，其中

7、恰有90个次品的取法为C90110500C1200Pi90C500110C1200(2)设事件A表示至少有2个次品，B表示恰有C二S200C1700个次品，C表示没有次品，则A=S-(BUC),口BC=小，BU1/C500二1.P(A)=PS-(BUC)=P(S)-P(B)+P(C)199200C1200-C1200C200C17009 .把10本书任意地放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率。解Vq=P°=10!,设所论事件为A,则Va=8!X3!8!3!P(A)=0.06710!10 .从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率是多少?4.一一解V

8、q=C10,设A表示事件“4只鞋中至少有2只配成双”，则A表示“4只鞋中没有2只能配成一双”。先求出P(A),再求P(A)。10864有利于A的情形共有4!(因为不考虑取4只鞋的次序，所以被4!除)。94解随机试验E为任意取9桶交与定货人，共有C17种交货方式。其中符合定货要求的有C10故所求概率为10864P(A)4!C：忠210.381P(A)=1-P(A)故8=12113二-0.61921另-解法：有利于事件A的总数为C5C8-C：(C：是重复的数目P(A)二122C5c8-C513=0.6192111.将3鸡蛋随机地打入5个杯子中去，求杯子中鸡蛋的最大个数分别为解依题意知样本点总数为5

9、3个。1,2,3的概率。3以Ai(i=1,2,3)表示事件“杯子中鸡蛋的最大个数为i”，则A1表示每杯最多放一只鸡蛋，共有A5种放法，故P(A1)3A5351225A2表示由3个鸡蛋中任取2个放入5个杯中的任一个中,211其余一个鸡蛋放入其余4个杯子中，放法总数为C3C5c4A3表示3个鸡蛋放入同一个杯中，共有C3C5C4P(A2)35C5种放法，故1225C51P(A3)52512.把长度为a的线段在任意二点折断成为三线段，求它们可以构成一个三角形的概率。解设所论事件为A,线段a被分成的三段长度分别用x,y和a-x-y表示，则样本空间。为：0<x<a,0<yLQ)<a

10、,0<x+y<a,其面积为aa0：二x,0：y,22而有利于A的情形必须满足构成三角形的条件，即:二xy：a.L(A)P(A)=L)1一=0.2541 a2L(A)=一()其面积为2213.甲乙两艘轮船要在一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们在一昼夜内到达的时刻是等可能的。若甲船的停泊时间是一小时，乙船的停泊时间是两小时，求它们中任何一艘都不需等候码头空出的概率。解设自当天0时算起，甲乙两船到达码头的时刻分别为x及y,则。为：00x024,0<y024,：L(0)=242,设所论事件为A,则有利于A的情形分别为：(1)当甲船先到时，乙船应迟来一小时以上，即y-x>1

11、或y>1+x;(2)当乙船先到时，甲船应迟来两小时以上，即x-y>2或y<x-2;事件A应满足关系：y>1+x,y<x-2,1(24-1)L(A)2(24-2)2L(A)P(A)L)22(2322)224:0.879P(A)二14.已知-,P(BA)=-,P(AB)=一求P(B),P(aUb)o解由乘法公式知P(AB)=P(B|A)P(A)12P(AB)=P(A|B)P(B)P(AB)1/12P(B)=P(A|B)1/21612P(AB)=P(A)-P(B)P(AB)=415.已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取两次，每次任取一只，作不放回抽样。求下列事件的概

12、率。(1)两只都是正品；(2)两只都是次品；(3)一只是正品，一只是次品；(4)第二次取出的是次品。解设以Ai(i=1,2)表示事件“第i次取出的是正品“，因为不放回抽样，故8728P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)=(110945211P(AH)=P(A1)P(A2|A1)=一.一(210945(3)P(A1A2A1A2)=P(A1A2)P(A1A2)822816=P(A1)P(A2|A1)P(A)P(A2|A1)=一一二一0910945一82219P(A2)=P(A1A2A1A2)=P(A1A2)P(A1A2)(4) 1091094516,在做钢筋混凝土构件以前，通过拉伸试验，抽样

13、检查钢筋的强度指标，今有一组A3钢筋100根，次品率为2%,任取3根做拉伸试验,如果3根都是合格品的概率大于0.95,认为这组钢筋可用于做构件，否则作为废品处理，问这组钢筋能否用于做构件？解设Ai表示事件“第i次取出的钢筋是合格品”，则98P(A1)二一10097P(A2A1)=一99P(A3A1A2)9698所以P(A1A2A3)=P(A1)P(A2A1)P(A3A1A2)之0.9406<0.95故这组钢筋不能用于做构件17.某人忘记了密码锁的最后一个数字，他随意地拨数，求他拨数不超过三次而打开锁的概率。若已知最后一个数字是偶数，那么此概率是多少？解设以A表示事件“第i次打开锁”(i=

14、1,2,3),A表示“不超过三次打开”，则有A=A1A1A2A1A2A3易知：A1,A1A2,A1A2A3是互不相容的。P(A)=P(AA1A2A1A2A3)=P(A.P(AiA2)P(A"2A3)=P(A1).P(A1)P(A2|A1),P(Ai)P(A2|Ai)P(A3)|A1A2)1919813I*-I+*111110109109810同理，当已知最后一个数字是偶数时，所求概率是14143一十T十/一5545418.袋中有8个球，6个是白球、2个是红球。一人，第二人，最后一人取得红球的概率各是多少个。8个人依次从袋中各取一球，每人取一球后不再放回袋中。问第1P(Ai)=解设以A

15、i(i=1,2,8)表示事件“第i个人取到的是红球”。则4又因A2=AiA2+A1A2,由概率的全概公式得P(A2)P(AA2)P(A1A2)=P(Ai)P(A2|A1)P(A)P(A2|A1)类似地有1P(Ai)=4(i=3,4,一，8)19.设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件,率是多少？已知两件中有一件是不合格品，问另一件也是不合格品的概解设A,B分别表示取出的第一件和第二件为正品,则所求概率为一P(AB)P(ABA+B)=-=P(AB)P(AB)1-P(AB)A；A10"-Aaio0.9,达到600#的概率为0.3,现取一水泥块进行600#"。20 .对某种水

16、泥进行强度试验，已知该水泥达到500#的概率为试验，已达到500#标准而未破坏，求其为600#的概率。解设A表示事件“水泥达到500#”，B表示事件“水泥达到则P(A)=0.9,P(B)=0.3,又BUA，即P(AB)=0.3,所以P(B-A)=P(AB)/P(A)=0.3/0.9=1/'3。21 .以A,B分别表示某城市的甲、乙两个区在某一年内出现的停水事件，据记载知P(A)=0.35,P(B)=0.30,并知条件概率为P(AB)=0.15,试求：(1)两个区同时发生停止供水事件的概率；(2)两个区至少有一个区发生停水事件的概率。解(1)由题设，所求概率为p(ab)=p(b)p(ab

17、)=0.3M0.15=0.045；(2)所求概率为P(AB)=P(A)P(B)-P(AB)=0.350.30-0.045=0.60522 .设有甲、乙两袋，甲袋中装有n只白球、，m只红球；乙袋中装有N只白球、M只红球，今从甲袋中任意取一只球放人乙袋中，再从乙袋中任意取一只球。问取到白球的概率是多少？解设Ai、A2分别表示从甲、乙袋中取到白球，则nP(A)=nmN-1P(A2|Ai)=NM-1由全概率公式mP(AJ=nm-NP(A2|A1)=NM-1P(A2)=P(A2|A1)P(A1)P(A2|A1)P(A1)N1nNm=.+,NM1nmNM1mnmNn(N1)一(NM1)(nm)23 .盒中

18、放有12只乒乓球，其中有9只是新的。第一次比赛时从其中任取3只来用，比赛后仍放回盒中。第二次比赛时再从盒中任取3只，求第二次取出的球都是新球的概率。解设Bj(i=0,1，2,3)表示事件“第一次比赛时用了i个新球”，用A表示事件“第二次比赛时取出的球都是新球”。则有P(BJC；C；，C；2P(ABi)=c3C9±c3C12由全概公式有3P(A)=£P(Bi)P(ABJ=£i-0i3_i3C9c3C9_j.-32(C12)441=0.416302524 .将两信息分别编码为A和B传递出去，接收站收到时，A被误”作B的概率为0.02.而B被误收作A的概率为0.01.信

19、息A与信息B传送的频繁程度为2:1.若接收站收到的信息是A,问原发信息是A的概率是多少？解题意有设事件H表小原发信息为A,C表不收到信息为A,则H表小原发信息是BoH,H是S的一个划分。依由贝叶斯公式有21P(H)=一，P(H)=，P(C|H)=0.98,P(C|H)=0.0133P(H|C)=P(H|C)P(H)P(C|H)P(H)P(C|下)P(H)20.98一二3210.980.0133_1961970.01,乙组是0.02,丙组是0.03,它们25 .甲、乙、丙三组工人加工同样的零件，它们出现废品的概率：甲组是加工完的零件放在同一个盒子里，其中甲组加工的零件是乙组加工的2倍，丙组加工的

20、是乙组加工的一半，从盒中任取一个零件是废品，求它不是乙组加工的概率,B表示事件“加工的零件是废品”解设A1,A2,A3分别表示事件“零件是甲、乙、丙加工的”则P(BA1)=0.01,P(BA2)=0.02,P(BA3)=0.034P(AJu72P(A2)u71P(A3)二7P(A2B)P(A2)P(BA2)2M0.02/70.0411P(B)(40.0120.02-10.03)/70.040.040.03一47P(A2B)=1-P(A2B)=1=所以1111o26 .有两箱同种类的零件。第一箱装50只，其中10只一等品；第二箱装30只，其中18只一等品。今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件

21、两次，每次任取一只，作不放回抽样。试求(2)第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率。1)第一次取到的零件是一等品的概率。解设事件A表示“取到第一箱”，则A表示“取到第二箱”(1)依题意有：Bi,B2分别表示第一、二次取到一等品1101183P(A)=P(A)=P(B1|A)P(B"A)=2,505,305由全概率公式11312P(B1)P(B1|A)P(A)P(B|A)P(A)一一一二一52525P(BB|A)(2由全概率公式10950491817P(BB2|A),3029913171P(B1B2)=P(B1B2|A)P(A)-P(B1B2|A)P(A)=-一

22、54925292P(B1B2)93X17i12P(B2|B1)=+|X-/-=0.4856P(B1)5父495M29J2527.设有四张卡片分别标以数字1,2,3.4.今任取一张.设事件A为取到4或2,事件B为取到4或3,事件C为取到4或1,试验证P(AB)=P(A)P(B),P(BC)=P(B)P(C),P(CA)=P(C)P(A，P(ABC)井AP(B)P(C)。证样本空间c中有4个样本点，而A、B、C中均含有2个样本点，故21P(A)=P(B)=P(C)=一42又AB、AC、BC中均含有1个样本点“取到4”1P(AB)=P(AC)=P(BC)=一故4P(AB)=P(A)P(B)同理P(A

23、C)=P(A)P(C)又ABC中有1个样本点取到414P(BC)=P(B)P(C)1P(ABC)=一41=P(A)P(B)P(C)828.假设B1,B2关于条件A与A都相互独立，求证P(AB1B2)=P(AB1)P(B2A)P(ABQP(B2A)P(AB1)P(B2A)证由B1，B2关于条件A与A是相互独立的，故有P(B1B2A)=P(B1A)P(B2A),P(B1B2A)=P(B1A)P(B2A)以及P(A)P(B1A)=P(AB1)=P(BQP(AB1)从而P(ABiB2)P(A)P(BiA)P(B2A)P(A)P(BiA)P(B2a)P(A)P(BiA)P(B2a)P(B1)P(AB1)

24、P(B2a)P(Bi)P(ABi)P(B2a)P(Bi)P(ABi)P(B2a)_P(ABi)P(B2a)一P(ABi)P(B2a)P(ABi)P(B2a)29 .如果一危险情况C发生时，一电路闭合并发出警报，我们可以借用两个或多个开关井联以改善可靠性，在C发生时这些开关每一个都应闭合，且若至少一个开关闭合了，警报就发出，如果两个这样的开关并联联接，它们每个具有0.96的可靠性(即在情况C发生时闭合的概率)，问这时系统的可靠性(即电路闭合的概率)是多少？如果需要有一个可靠性至少为0.9999的系统，则至少需要用多少只开关并联？这里设各开关闭合与否都是相互独立的。解设n只开关并联，以Ai表示事件

25、“在C发生时，第i只开关闭合“，则由已知条件诸Ai相互独立，且P(Ai)=0.96,从而知，当n=2时，系统的可靠性为P(AiA2)=1-P(AiA2)=1-P(Ai)P(A2)2=1-(1-0.96)=0.9984又若使系统可靠性至少为0.9999,则必须nnnP(A)=1-P(Ai)=1-P(Ai)=1-P(AJn=1-(0.04)0.9999_i±iwia(1-0.9999)n_lg22.86即lg0.04故至少需用3只开关才能使系统的可靠性至少为0.9999。30 .甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人中的概率分别为0.4,0.5,0.7.飞机被一人击中而被击落的概率为0.

26、2,被两人击中而被击落的概率为0.6,若三人都击中，飞机必定被击落。求飞机被击落的概率。解设A1,A2,A3分别表示甲、乙、丙击中飞机,Bi(im0，1,2,3)表示有i个人击中飞机，H表示飞机被击落。则A1，A2，A3独立，且Bo=A1A2A3,B1=AA2A3A1A2A3AiA2A3B2二A1A2A3A1A2A3A1A2A3,B3=A1A2A3于是P(Bo)=(1-0.4)(1-0.5)(1-0.7)=0.09P(B1)=0.40.50.30.60.50.30.60.50.7=0.36P(B2)=0.40.50.30.40.50.70.60.50.7=0.41P(B3)=0.40.50.7

27、=0.14依题意有：P(HBo)=0,P(HBi)=0.2,P(HB?)=0.6,P(HB3)=1于是，由全概公式有P(H)=0.09父0+0.36父0.2+0.41x0.6+0.14父1=0.458。31 .在装有6个白球，8个红球和3个黑球的口袋中，有放回地从中任取5次，每次取出一个。试求恰有3次取到非白球的概率。解由题设知，取一个非白球的概率p=11/17,于是_332b(3;5,11/17)=C5(11/17)(6/17)定0.3375。若视11/17%0.65,则可查表得b(3;5,11/17)=b(3;5,0.65)之0.3364。32 .电灯泡使用时数在1000小时以上的概率为0.2,求三个灯泡在使用1000小时后最多只有一只坏了的概率。解设A表示事件“一个灯泡可使用1000小时以上”，则A的概率为p=0.2,q=0.8o考察三个灯泡可视为n=3的贝努利试验，于是所求概率为330_22_、3_，_一2P=C3Pq+C3Pq=(0.2)+3x(0.2)x0.8=0.10433 .某地区一年内发生洪水的概率为0.2,如果每年发生洪