概率论与数理统计第四版-课后习题答案_盛骤__浙江大学第七八章

1、第七章参数估计1 .一随机地取8只活塞环，测得它们的直径为(以mm计)74.00174.00574.00374.00174.00073.99874.00674.002求总体均值科及方差°2的矩估计，并求样本方差S2。_in解：jb2的矩估计是？=X=74.002，&2=Z(Xi-x)2=6x10-6ni4S2=6.86x10-602 .二设X1,X1,Xn为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。(1)f(x)=ecex“e1),x.c0,其它其中c>0为已知，0>1,。为未知参数。.exe,0ExE10,其它.其中0>0,。

2、为未知参数。(5)P(X=x)=(mpx(1p)m*,x=0,1,2,，m,0<p<1,p为未知参数。解：(1)E(X)=f-Hxf(x)dx=fc0cexdx=cc41.二:-c0-1二8c人ec"e-1,ve-1-XJ-X-c(2) E(X)=Wf(x)dx=1&xdx=-i,令-1=X,得0=(X-)2-：0.e-1,e1,i-x，(5)E(X)=mp令mp=X,解得？=-X-m3.三求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。n解：(1)似然函数L(0)=nf(xi)=encn0(x1x2,-xn)i1nlnL(8)=nln(8)n0lnc(1-0)xln

3、xi,i1dlnL(0)dennlnc-“1nxi=0i1?-一n“In为一nlnci4（解唯一故为极大似然估计量）nL(e)=一f(Xi)n_n=0)(XiX2Xn)",，InL(0)=nln(e)(.一0一1尸InXi2i1dInL(0)dez1nxi=0,?=（n/£1nxi）2。（解唯一）故为极大似然估计量。(5)nL(P)-JiIi1PX=XinXimn_>'Xi(1-p)i-,nInp(mnXi)ln(1-p),iWnXidInL(p)ydpnmn-%xi二0-p解得pnXii2mnX,（解唯一）故为极大似然估计量。m4.四（2）设Xi,Xi,Xn

4、是来臼参数为人的泊松分布总体的一个样本，试求人的极大似然估计量及矩估计量。解：（1）矩估计X武入），E（X）=入故？=X为矩估计量。i±e5人,Xn!（2）极大似然估计L（入）=nP（xi；N=入一yX1!x2!nInL(入)6XiIni1n-n=0,解得？=X为极大似然估计量。'二XidInL(入)t5.六一地质学家研究密歇根湖湖地区的岩石成分，随机地自该地区取100个样品，每个样品有10块石子，记录了每个样品中属石灰石的石子数。假设这100次观察相互独立，并由过去经验知，它们都服从参数为n=10,P的二项分布。P是该地区一块石子是石灰石的概率。求p的极大似然估计值，该地质

5、学家所得的数据如下样品中属七1灰七1的后子数012345678910观察到石灰石的样品个数016723262112310(其中p(x;入)=PX=Xi二工xj，Xi=0,1,)解：入的极大似然估计值为？=X=0.499X123Pk0229(12(10)2四(1)设总体X具有分布律其中。(0<0<1)为未知参数。已知取得了样本值X1=1,X2=2,X3=1,试求。的矩估计值和最大似然估计值。解：(1)求。的矩估计值E(X)=1Xe2+2,20(1-0)+3(1-0)2=03(1-0)0(1-0)=3-20令E(X)=3-20=X_1213X3-Q5则得到。的矩估计值为？=yX=/一2

6、26(2)求。的最大似然估计值3似然函数L(e)PXi=xj二PXi=1PX2=2PX3=1i122=e226(1-e)-e2=2e5(1-e)lnL(0)=ln2+5ln卅ln(1)求导d1nL=立=0de61-e得到唯一解为？=68.九(1)设总体XN(山/)，Xi,Xi,Xn是来自X的一个样本。试确定常n1数c使立(XtXi)2为(t2的无偏估计。i1解：由于n1n1n1-2_2_22EQ(Xii-Xi)=cRE(Xii-Xi)=c"D(Xii-Xi)(E(Xid-Xi)i1i1i=4n1n1=CD(Xii)D(Xi)(EXi1-EXi)2=8(2/02)=c(2n-i).i1

7、iini当c二一1时，c£(XidiXj)2为仃2的无偏估计。2(n-i)y十设Xi,X2,X3,X4是来自均值为。的指数分布总体的样本，其中。未知，设有估计量iiTi(XiX2)-(X3X4)63T2=(X2X23X34X4)5T=(XiX2X3X4/(i)指出Ti,T2,T3哪几个是。的无偏估计量；(2)在上述。的无偏估计中指出哪一个较为有效。解：(i)由于Xi服从均值为。的指数分布，所以E(Xi)=QD(Xi)=02,i=i,2,3,4由数学期望的性质2。，3。有i_i_E(Ti)=AE(Xi)+E(X2)+2E(X3)+E(X4)=063一、iE(T2)E(Xi)2E(X2)

8、3E(X3)4E(X4)=205、iE(T3)=iE(Xi)E(X2)E(X3)E(X4)=e4即T，T2是。的无偏估计量(2)由方差的性质2,3°并注意到Xi,X2,X3,X4独立，知i_1152D(TJ=白D(Xi)D(X2)D(X3)D(XJ=关铲369Io112D(T2)=±D(Xi)D(X2)D(X3)D(X4)二e2164D(T1)>D(T2)所以T2较为有效。14.十四设某种清漆的9个样品，其干燥时间（以小时计）分别为6.05.75.86.57.06.35.66.15.0。设干燥时间总体服从正态分布N（内勤，求科的置信度为0.95的置信区间。（1）若由以

9、往经验知产0.6（小时）（2）若b为未知。解：（1）科的置信度为0.95的置信区间为（X±一二za）,n-2计算得X=6.0，查表Z0025=1.96,（7=0.6，即为（6.0士竿X1.96）=（5.608,6.392）.9（2）科的置信度为0.95的置信区间为（X±_*tjn_1）,计算得X=6.0,查表n-2to.o25(8)=2.3O6O.1、0.33-父2.64=0.33.故为(6.0士父2.3060)=(5.558,6.442)8316 .十六随机地取某种炮弹9发做试验，得炮弹口速度的小¥本标准差为s=11（m/s）o设炮口速度服从正态分布。求这种炮弹

10、的炮口速度的标准差b的置信度为0.95的置信区间。解：b的置信度为0.95的置信区间为.811,811=(,)=(7.4,21.1)17.5352.18：(n-1)S21(n-1)S2(J7J(n-1)y/1(n-1)其中a=0.05,n=9查表知感025(8)=17.535,$975(8)=2.18019 .十九研究两种固体燃料火箭推进器的燃烧率。设两者都服从正态分布，并且已知燃烧率的标准差均近似地为0.05cm/s,取样本容量为1=皿=20.得燃烧率的样本均值分别为x1=18cm/s,x2=24cm/s.设两样本独立，求两燃烧率总体均值差禺一山的置信度为0.99的置信区间。解：曲一成的置信

11、度为0.99的置信区间为(Xi-X2_z二12二20,0522)=(18-242.58,2)-(-6.04,-5.96).n2:20其中a=0.01,Z0.005=2.58,ni=n2=20,i=21.=0.05?,Xi=18,X2=2420 .二十设两位化验员A,B独立地对某中聚合物含氯两用同样的方法各做10次测定，其测定值的样本方差依次为SA=0.5419,SB=0.6065.设(4,卷分别为A,B所测定的测定值总体的方差，设总体均为正态的。设两样本独立，求方差比bA/花的置信度为0.95的置信区间。解：信/卷的置信度为0.95的置信区间sA-2-ZL7SbF仪(n11,n21)1)sBf

12、a(n1-1,n2-1)1-20.54190.60654.030.54194.030.6065)=(0.222,3.601).其中n1=n2=10,0=0.05,F0.025(9,9)=4.03,1L(,)F0.025(9,9)4.03°第八章假设检验1.一某批矿砂的5个样品中的馍含量，经测定为()3.253.273.243.263.24。设测定值总体服从正态分布，问在a=0.01下能否接受假设：这批矿砂的含馍量的均值为3.25.解：设测定值总体XN(丛(T2),11,(T2均未知步骤：(1)提出假设检验H0:P=3.25;H1：产3.25(2)选取检验统计量为t=X-3.25t(n

13、-1)S,n(3) H0的拒绝域为|t|>t,/(n-1).5(4) n=5,&=0.01,由计算知x=3.252,S=(Xi-X)2=0.01304:'n-1i4查表t0.005(4)=4.6041,|t|二3.252-3.25=0.343<ta.(n-1)0.01304_2'',5(5)故在a=0.01下，接受假设H0(2) 二如果一个矩形的宽度3与长度l的比cy/|=：(J51)0.618,这样的矩形称为黄金矩形。这种尺寸的矩形使人们看上去有良好的感觉。现代建筑构件(如窗架)、工艺品(如图片镜框)、甚至司机的执照、商业的信用卡等常常都是采用黄金

14、矩型。下面列出某工艺品工厂随机取的20个矩形的宽度与长度的比值。设这一工厂生产的矩形的宽度与长短的比值总体服从正态分布，其均值为由试检验假设(取a=0.05)H0：产0.618H1:产0.6180.6930.7490.6540.6700.6620.6720.6150.6060.6900.6280.6680.6110.6060.6090.6010.5530.5700.8440.5760.933.解：步骤：(1)H0：产0.618;H1：产0.618选取检验统计量为t=XS0.618-t(n-1)n(3) H0的拒绝域为|t|>ta.(n-1).2(4) n=20a=0.05,计算知nn(5

15、) 1_1_2(6) Xxi=0.6605,S=£(xix)=0.0925,nTYn-1iT=2.0550(n-1)'2(nf=2.0930,|t|=0黑25-8v'20(5)故在a=0.05下，接受H°,认为这批矩形的宽度和长度的比值为0.6183.三要求一种元件使用寿命不得低于1000小时，今从一批这种元件中随机抽取25件，测得其寿命的平均值为950小时，已知这种元件寿命服从标准差为产100小时的正态分布。试在显著水平a=0.05下确定这批元件是否合格？设总体均值为因即需检验假设H0:科话000,H1:产1000。解：步骤：(1)Ho：俨000;Hi：四

16、1000;(产100已知)(2)H0的拒绝域为x一10°°3.(3) n=25,a=0.05,x=950,计算知=1.645x-1000or100-：0.0525(4)故在a=0.05下，拒绝H0,即认为这批元件不合格。12.十一一个小学校长在报纸上看到这样的报导：“这一城市的初中学生平均每周看8小时电视”。她认为她所领导的学校，学生看电视的时间明显小于该数字。为此她向100个学生作了调查，得知平士每周看电视的时间X=6.5小时，样本标准差为s=2小时。问是否可以认为这位校长的看法是对的？取a=0.05。(注：这是大样本检验问题。由中心极限定理和斯鲁茨基定理知道不管总体服从

17、什么分布，只要方差存在，当n充分大时/三上近似地服从正态分布。)sn解：(1)提出假设H。：科全；也：由8(2)当n充分大时，齐声近似地服从N(0,1)分布s.n(3)H0的拒绝域近似为七皆as一n(4) n=100,a=0.05,X=6.5,S=2,由计算知|t|=-67.5Z0.05=1.645I100(5) 故在a=0.05下，拒绝H0,即认为校长的看法是不对的。14.十三某种导线，要求其电阻的标准差不得超过0.005(欧姆)。今在生产的一批导线中取样品9根，测得s=0.007(欧姆)，设总体为正态分布。问在水平a=0.05能否认为这批导线的标准差显著地偏大？解：(1)提出H0：0.00

18、5H1：Q0.005(2)H0的拒绝域为(%。，.2(n-1)(3)n=9,a=0.05,S=0.007,由计算知(n-1)S20.005280.00720.00522=15.68"(n-1)2.-查表电05(8)=15.507(4)故在a=0.05下，拒绝H0,认为这批导线的标准差显著地偏大。15 .十四在题2中记总体的标准差为ct。试检验假设(取a=0.05)H0：b2=0.112,H1：(r2w0.121。解：步骤(1)H0：o-2=0.112;H1:b2w0.1212选取检验统计量为:=(n-1)?/(n-1)0.112(3)2CCH。的拒绝域为X之七：(n1)或X</

19、1;(n-1)(4)n=20,产0.05,由计算知S2=0.09252,2(n-1)?=13.4370.1122查表知0.025(T为0.11.2(19)=32.852,10.975(19)=8.907故在a=0.05,接受H0,认为总体的标准差16 .十五测定某种溶液中的水份，它的10个测定值给出s=0.037%,设测定值总体为正态分布，J为总体方差。试在水平a=0.05下检验假设Ho：#0.%;Hi：X0.04%。解：(1)Ho：屋(0.4%)2；Hi：<(0.04%)2H。的拒绝域为(n-1)S20.04%)2Xi2(nf2(3) n=10,a=0.05,S=0.037%,查表知X

20、q95(9)=3.325(2)选取检验统计量为S;F=之F(n1IQ-1)S2(4) H0的拒绝域为F之F/51,n21)或FWFa(n1-1,n2-1)(A'l<'1(A'I<'2-2(5) n1=8,n2=10,a=0.05,查表知Fo.025(7,9)=4.20F0.975(7,9)=1F0.025(9,7)=4.82=0.207，1=黑024=0.298F0.975(7,9)<F<F0.025(7,9)(5)故在&=0.05下，接受H0,认为62=扇18.十七在第8题七中分别记两个总体的方差为一和(72。试检验假设(取a=222222-0.05)H0：3=(72,H1:手42以说明在第8七题中我们假设3=(72是合理的。解：(1)H0：J=若，H1:CT；¥21(2)选取检验统计量F=S2(3) n1=n2=12,&=0.05,查表知11F0.025(11,11)=3.34,F0.975(11,11)=-1=0.299F0.025(|111)3.34由计算知Sf=0.932,S：=1,0.299cs12/2=0.9