第三章+微分学

1、 第三章第三章 微分学微分学第一节第一节 导数及其运算导数及其运算第二节第二节 微分微分第三节第三节 中值定理中值定理 导数的应用导数的应用第三章第三章 微分学微分学 第三章第三章 微分学微分学第一节第一节导数及其运算导数及其运算 第三章第三章 微分学微分学2.1.1 2.1.1 导数的概念导数的概念 1.1.变化率问题举例变化率问题举例0tt t tstv 0 ttstts 00 tstvt 00lim ttsttst 000lim设设 s = s(t)，求求t0时刻的瞬时速度时刻的瞬时速度( (下图所示下图所示) ) 在在 t0 0, , t0+t 上上: :例例1.1.求变速直线运动的瞬

2、时速度求变速直线运动的瞬时速度平均速度：平均速度：瞬时速度：瞬时速度： 第三章第三章 微分学微分学 xT0 xoxy)(xfy CNM 如图如图: : 割线割线MN绕点绕点M旋转而趋向极限位置旋转而趋向极限位置 MT, ,直线直线 MT 就称为曲线就称为曲线 C 在点在点 M 处的切线处的切线. .).,(),(00yxNyxM设设00tanxxyy 00)()(xxxfxf ,MN沿曲线C.)()(limtan000 xxxfxfkxx 割线割线MN的极限位置即切线的极限位置即切线 MT 的斜率为的斜率为割线割线MN的斜率为的斜率为例例2.2.割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置,0

3、 xx 第三章第三章 微分学微分学2.2.导数的概念导数的概念 定义定义 设函数设函数 y = f(x)在点在点x0的某个领域内有定的某个领域内有定义义,当自变量当自变量x在在x0 0处取得增量处取得增量x (点仍在该领域内点仍在该领域内, x可正可负可正可负)时时, ,相应地函数相应地函数 y 取得增量取得增量 (1)(1)导数的定义导数的定义y = f (x0+x) - - f (x0) 如果极限如果极限 存在存在, 就就称函数称函数 f (x)在点在点x0可导可导, 而极限值称为函数而极限值称为函数f(x)在点在点 x0的导数或变化率的导数或变化率.xxfxxfxyxx )()(liml

4、im0000 第三章第三章 微分学微分学,)(00 xxxxdxxdfdxdy 或记作记作 )(),(00 xyxf 或或xxfxxfxyyxxxx )()(limlim00000即即.)()(lim)(0000hxfhxfxfh 其它形式其它形式:.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx .)()(lim)(0000hhxfxfxfh 第三章第三章 微分学微分学关于导数的说明：关于导数的说明： 导数导数 是函数在点是函数在点x0 0处的变化率处的变化率, ,它反映了它反映了函数函数y在点在点x0 0处随自变量的变化而变化的快慢程度处随自变量的变化而变化的快慢程度.)(0 xy 如果

5、函数如果函数y = =f(x) )在开区间在开区间I I 内的每一点都可导内的每一点都可导, ,就称函数就称函数 y = f(x) 在开区间在开区间 I 内可导内可导. . 对于任一对于任一xI, ,都对应着都对应着f( (x) )的一个确定的导数的一个确定的导数值值, ,这个函数叫做原来函数这个函数叫做原来函数f( (x) )的导函数的导函数. .dxxdfdxdyxfy)(),(,或或 记作记作xxfxxfyx )()(lim0即即.)()(lim)(0hxfhxfxfh 或或注意:0)()(0 xxxfxf 第三章第三章 微分学微分学求一个函数的导函数的步骤求一个函数的导函数的步骤:);

6、()()1(xfxxfy 求增量求增量;)()()2(xxfxxfxy 算比值算比值.lim)3(0 xyyx 求极限求极限例例3 3 计算函数计算函数y = x2在点的导数在点的导数. .解解 按导数的定义按导数的定义 )2(f4)4(lim0 xxxx xfxfx)2()2(lim0 xxx 2202)2(lim 第三章第三章 微分学微分学 例例4 4 求函数求函数 f(x)=)=2 + 3x - - x2的导函数的导函数. . 并算出并算出).1(),0(),1( fff解解 按导数的定义按导数的定义 )(xfxxfxxfx )()(lim0 xxxxxxxx )32()()(32lim

7、220 xxxxxx23)23(lim0 所以所以. 1)23()1(1 xxf. 3)23()0(0 xxf. 5)23()1(1 xxf 第三章第三章 微分学微分学2. 右导数右导数1. 左导数左导数;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx ;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 定理定理 函数函数f( (x) )在点在点 x0 0可导可导单侧导数单侧导数)(0 xf )(0 xf 左导数左导数与右导数与右导数 都存在都存在, ,且相等且相等. . 如果如果 f (x)在开区间在开区间(a, b)

8、内可导内可导, 且且 及及 都存在，就说都存在，就说f (x)在闭区间在闭区间a, b上可导上可导.)(af )(bf 第三章第三章 微分学微分学00)()(lim0 xxxfxfxx 00)()(lim0 xxxxxx )(0 xf的的可可导导性性. .在在点点讨讨论论函函数数000),(),()(xxxxxxxxf 例例5 5解解 )(0 xf00)()(lim0 xxxfxfxx 00)()(lim0 xxxxxx 时时，当当axfxf )()(00.)(0axf 且且f( (x) )在点在点x0 0处可导处可导, , 第三章第三章 微分学微分学例例6 6 讨论函数讨论函数f( (x)=

9、|)=|x| |在在x=0=0处的可导性处的可导性. .解解xy xyo,)0()0(hhhfhf hhhfhfhh 00lim)0()0(lim, 1 hhhfhfhh 00lim)0()0(lim. 1 ),0()0(ff即即即函数即函数f( (x)=|)=|x| |在在x=0=0处不可导处不可导. . 第三章第三章 微分学微分学(2)(2)几何意义几何意义)(,tan)(,)(,()()(0000为倾角为倾角即即切线的斜率切线的斜率处的处的在点在点表示曲线表示曲线 xfxfxMxfyxf切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为).)(000 xxxfyy ).()(1000 xxxfyy

10、 oxy)(xfy T0 xM 第三章第三章 微分学微分学oxy3xy 00lim030 xxfx 3201limxx 。轴轴的的切切线线点点有有垂垂直直于于在在则则xxfxPxfy00,)( 例例7 7 研究函数研究函数 在在x = 0点的可导性点的可导性.3xy 在在x = 0处不可导处不可导. 曲线在原点处的切线为曲线在原点处的切线为y 轴轴 如果函数如果函数y = =f( (x) )在点在点x0 0处连续处连续, ,且且 ,lim00 xyxfx 第三章第三章 微分学微分学解解 由导数的几何意义由导数的几何意义, , 得切线斜率为得切线斜率为21 xyk21)1( xx2121 xx.

11、 4 所求切线方程为所求切线方程为法线方程为法线方程为).21(42 xy).21(412 xy 例例8 8 求等边双曲线求等边双曲线 在点在点 处的切线处的切线斜率并写出在该点处的切线方程和法线方程斜率并写出在该点处的切线方程和法线方程. .xy1)2 ,21( 第三章第三章 微分学微分学3 3 可导与连续的关系可导与连续的关系 定理定理 如果函数如果函数f( (x) )在点在点x0 0处可导处可导, ,则它在则它在x0 0点点一定连续一定连续.f(x)在点在点x0 0不连续不连续f(x)在点在点 x0 0可导可导f (x)在点在点 x0 0连续连续f(x)在点在点x0 0不可导不可导注意注

12、意: : 该定理的逆定理不成立该定理的逆定理不成立.f(x)在点在点x0 0连续连续f(x)在点在点x0 0可导可导 第三章第三章 微分学微分学xy2xy 0 xy 例如例如,0,0,)(2 xxxxxf 0lim00lim0020 xxxfxx 11lim00lim000 xxxxf 0lim0020 xfx 0lim000 xfx 00 f),0()(lim0fxfx即即f( (x) )在在 x = 0处连续处连续. .所以所以f( (x) )在在 x = 0处不可导处不可导. . 第三章第三章 微分学微分学解解, ,是有界函数是有界函数x1sin01sinlim0 xxx001sin x

13、xxxyx1sin 0)(lim)0(0 xffx 例例9 9 讨论函数讨论函数 在在x = 0处的连续性和可导性处的连续性和可导性. . 0, 00,1sin)(xxxxxf所以所以 f( (x) )在在x = 0处连续处连续. .但在但在x = 0处外处外 第三章第三章 微分学微分学011/1/xyxyx 0lim不存在不存在.所以所以f( (x) )在在x = 0处不可导处不可导. . 第三章第三章 微分学微分学 11lim)(lim00 xxfxx02lim)(lim00 xxfxx不存在.不存在.)(lim0 xfx 0,20, 1)(xxxxxf 例例10 10 讨论函数讨论函数

14、在在x=0处处的连续性和可导性的连续性和可导性. . 解解 因而因而f( (x) )在在x = 0处不连续处不连续, ,从而从而f (x)在在x = 0处处不可导不可导. . 第三章第三章 微分学微分学 0001sin)(xxxxxf 例例11 11设设 , ,其中其中为常数为常数, ,且且当当x0, a1) )的导数的导数. .解解haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 ttxtaa101ln1lim.ln .ln)(aaaxx 即即.)(xxee tatatx 1lnlnlim0.lnaax 特别地特别地 第三章第三章 微分学微分学解解hxhxyaahlog)(loglim

15、0 .1)(lnxx xxhxhah1)1(loglim0 hxahxhx)1(loglim10 .ln1log1axexa .ln1)(logaxxa 即即例例5 5 求函数求函数 y = logax (a 0,a1)的导数的导数. . 第三章第三章 微分学微分学2.2.导数的四则运算导数的四则运算);()( )()()1(xvxuxvxu 定理定理 如果函数如果函数u( (x),),v( (x) )在点在点x x处可导处可导, ,则它则它的们的和、差、积、商的们的和、差、积、商( (分母不为零分母不为零) )在点在点x处也处也可导可导, ,并且并且);()()()( )()()2(xvxu

16、xvxuxvxu )0)()()()()()()()()3(2 xvxvxvxuxvxuxvxu 第三章第三章 微分学微分学推论推论; )( )()1(11 niiniixfxf);( )()2(xfCxCf ; )()()()()()()()( )()3(1121211 ninikkkinnniixfxfxfxfxfxfxfxfxf2)1()4(vvv 第三章第三章 微分学微分学. .的导数的导数求求例1例1xxxysin223 解解.lncossin的的导导数数xxxy 求例2xxxylncoscos xxxln)sin(sin xxx1cossin 23xy x4 .cos x .2si

17、n21ln2cosxxxx 解解 第三章第三章 微分学微分学. .的的导导数数求求例例3 3xytan解解)cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 .seccos1)(tan22xxx 即即.cscsin1)(cot22xxx 同理可得同理可得 第三章第三章 微分学微分学.sec的导数的导数求求例4例4xy 解解xx2cos)(cos .tansecxx xx2cossin .cotcsc)(cscxxx 同理可得同理可得.tansec)(secxxx )cos1( x )(sec xy 第三

18、章第三章 微分学微分学).(,0),1ln(0,)(xfxxxxxf 求求设设例5例5解解, 1)( xfxxf 11)(00lim)0(0 xxfx, 1 001lnlim)0(0 xxfx, 1 . 1)0( f.0,110, 1)( xxxxf 当当x 0时时 当当x = 0时时 第三章第三章 微分学微分学 注意注意：分段函数求导时：分段函数求导时,分段求导后分段求导后,对分段点对分段点应分别按定义求左、右导数。应分别按定义求左、右导数。).(,0),1ln(0, 1)(xfxxxxxf 求求例例6 6, 1)( xfxxf 11)( 011lim)0(0 xxfx, 1 011lnli

19、m)0(0 xxfx, 当当x 0时时 当当x = 0时时 所以所以 x = 0时不可导时不可导解解 第三章第三章 微分学微分学 2.1.3 2.1.3 复合函数的导数复合函数的导数问题问题 x2sin？ xxxcossin22sin实实际际上上 xxxxsinsincoscos2 x2cos2 x2cos 第三章第三章 微分学微分学 定理定理 如果函数如果函数u= =( (x) )在点在点x可导可导, ,而而y = =f( (u) )在对应点在对应点 u 处可导处可导, ,则复合函数则复合函数y = =f( ( (x)在点在点x可导可导, ,且其导数为且其导数为 ).()(xufxf 即即:

20、 因变量对自变量求导因变量对自变量求导, ,等于因变量对中间等于因变量对中间变量求导变量求导, ,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导.(.(链式法则链式法则) )dxdududydxdy 或或xuxuyy 或或推广推广),(),(),(xvvuufy 设设的导数为的导数为则复合函数则复合函数)(xfy dxdvdvdududydxdy 第三章第三章 微分学微分学.sinln的的导导数数求求函函数数例例1 1xy 解解.sin,lnxuuy dxdududydxdy xucos1 xxsincos xcot .)1(102的导数的导数求函数求函数例2例2 xy解解)1()1(102

21、92 xxdxdyxx2)1(1092 .)1(2092 xx 第三章第三章 微分学微分学.arcsin22222的导数axaxaxy 函函数数求求例例3 3解解)arcsin2()2(222 axaxaxy2222222222121xaaxaxxa .22xa )0( a axaxaxaxaxxa22222222122221 第三章第三章 微分学微分学.)2(21ln32的导数的导数数数求函求函例4例4xxxy解解),2ln(31)1ln(212 xxy)2(31211212 xxxy)2(3112 xxx 第三章第三章 微分学微分学.1sin的导数的导数函数函数求求例5例5xey 解解)1

22、(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.1cos11sin2xexx 的的导导数数幂幂函函数数求求例例6 6Rxy xeexyxlnln )ln(lnxeyx xx1 1 x解解 第三章第三章 微分学微分学的的导导数数求求例例7 7axxaarctgy 1 axxaaxxay111122222)1()(1)()1()1(axaxaaxxaaxax )1)(1(1222xaa 211x 问题问题 两个函数的导函数相同，这两个函数两个函数的导函数相同，这两个函数有什么联系？有什么联系？解解 第三章第三章 微分学微分学 注意注意 导数符号在不同的位置表示对不同变量导数符号在不同的

23、位置表示对不同变量的求导的求导, ,做题时应注意区分做题时应注意区分. . 表表示示函函数数对对变变量量则则即即：设设ufxuufy ),(),( 求求导导表表示示函函数数对对自自变变量量求求导导，而而xufu )( nnnaxaxfaxf例例： 1nnaxfaxn axfaxfnaxfnn1 axaxfaxfnn1 axfaxfnn 1 第三章第三章 微分学微分学2.1.4 2.1.4 双曲函数的导数双曲函数的导数xxcosh)(sinh xxsinh)(cosh xxeex21sinh xxee21xcosh xxeex21cosh xxee21xsinh 即即 第三章第三章 微分学微分学

24、xxx222coshsinhcosh 即即xx2cosh1)(tanh xxx222sinhcoshsinh 即即xx2sinh1)(coth xxxcoshsinh)(tanh xxxsinhcosh)(coth 第三章第三章 微分学微分学2.1.5 2.1.5 反函数的导数反函数的导数 tgy )( tgxf tgtgtg1)2( 设函数设函数 x =(y)在区间在区间 I上严格单调、连续、且上严格单调、连续、且在在 y点可导点可导. .xo xfyyx xy yxf 1即即 第三章第三章 微分学微分学定理定理.)(1)(,)(,0)()(yxfIxfyyIyxxy 且且有有内内也也可可导

25、导在在对对应应区区间间那那末末它它的的反反函函数数且且内内单单调调、可可导导在在某某区区间间如如果果函函数数即即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数.yxxy 1或或 第三章第三章 微分学微分学.arcsin的的导导数数函函数数求求例例1 1xy 解解,)2,2(sin内内单单调调、可可导导在在 yIyx, 0cos y内内有有在在) 1 , 1(xI)(sin1 yycos1 y2sin11 .112x .11)(arccos2xx 同理可得同理可得;11)(arctan2xx )(arcsin x.11)cot(2xx arc 第三章第三章 微分学微分学.

26、)harctan(tan的导数的导数数数求函求函例2例2xy 解解)(tanhtanh112 xxyxx22cosh1tanh11 xxx222cosh1coshsinh11 xx22sinhcosh1 .sinh2112x 第三章第三章 微分学微分学 定义定义: :由方程由方程F (x , y) = 0 0所确定的函数所确定的函数y = =y( (x) )称为隐函数称为隐函数。0),( yxF)(xfy 隐函数的显化隐函数的显化01101223 yxexyeyxyx例如：例如： 2.1.6 2.1.6 隐函数的导数隐函数的导数问题问题: 隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显

27、化如何求导?隐函数求导法则隐函数求导法则: : 设隐函数设隐函数 y = y(x)由方程由方程 F(x,y) = 0 确定确定,方程两方程两端对端对 x 求导求导, 将将 y 看成看成 x 的函数的函数, 由此解出由此解出 .)(xy 第三章第三章 微分学微分学 例例1 1 求由方程求由方程 xy - - ex + + ey = 0 所确定的隐函数所确定的隐函数 y 的导数的导数.,0 xdxdydxdy解解0 dxdyeedxdyxyyx解得解得,yxexyedxdy 000 yxyxxexyedxdy. 1 方程两端对方程两端对x求导求导,.由原方程知由原方程知 x = 0, y = 0.

28、 . 第三章第三章 微分学微分学yxyyyx 333322)23,23(22)23,23(xyxyy . 1 所求切线方程为所求切线方程为)23(23 xy2323xy通过原点通过原点. 例例2 2 设设C的方程为的方程为x3 3 + + y3 3=3=3xy, , 求过求过C上点上点 的切的切线方程线方程, , 并证明曲线并证明曲线C在该点的法线通过原点在该点的法线通过原点. .)23,23(解解 方程两端对方程两端对x求导求导,法线方程为法线方程为即即 y = = x. 第三章第三章 微分学微分学yeyxyyxyexy )()(eedxdyx 210)11(10 例例3 3 设设 , ,

29、求求 . .yexxyexy 0 xdxdy解解 方程两端对方程两端对x求导求导1)1()1( xyxyexeyey于是于是当当 x = 0, y = 1 时时. 第三章第三章 微分学微分学 证：所谓正交指该点处的切线垂直证：所谓正交指该点处的切线垂直, , 即证两条即证两条曲线在该点处切线的斜率互为负倒数曲线在该点处切线的斜率互为负倒数。易知原点为两条曲线的交点。易知原点为两条曲线的交点。对第一个方程两端求导，得对第一个方程两端求导，得yyxyxy 2433342324333342yxyxy 32001 yxyK 例例4 证明证明: :曲线曲线 3 y = 2 x + x4y3和曲线和曲线

30、2 y +3 x + y5 = x3 y 在原点处正交在原点处正交. . 它是曲线它是曲线 3 y = 2 x + x4y3在原点的切线斜率在原点的切线斜率. . 第三章第三章 微分学微分学yxyxyyy 32435324325233yxyxy 23002 yxyK1)23(3221 KK所以两条曲线在原点正交所以两条曲线在原点正交. .对第二个方程两端求导，得对第二个方程两端求导，得 第三章第三章 微分学微分学考虑下列函数的导数考虑下列函数的导数.,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 方法方法: : 先在方程两边取对数先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导然后利用隐函数的求导方法

31、求出导数方法求出导数. 对数求导法对数求导法适用范围适用范围: :.)()(的的情情形形幂幂指指函函数数多多个个函函数数相相乘乘、相相除除和和xvxu2.1.7 2.1.7 对数求导法对数求导法 第三章第三章 微分学微分学解解142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyx等式两边取对数得等式两边取对数得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln142)1(3111 xxxyy例例1 1 求函数求函数 的导数的导数.xexxxy23)4(1)1( 方程两端对方程两端对x求导求导. 第三章第三章 微分学微分学xxylnsinln xxxxyy1sinlncos1 )1sinl

32、n(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 方程两端对方程两端对x求导求导,.解解 等式两边取对数得等式两边取对数得例例2 2 求函数求函数 的导数的导数.) 0(sin xxyx 第三章第三章 微分学微分学一般地一般地)0)()()()( xuxuxfxv)()(1)(lnxfdxdxfxfdxd 又又)(ln)()(xfdxdxfxf )()()()(ln)()()()(xuxuxvxuxvxuxfxv )(ln)()(lnxuxvxf 第三章第三章 微分学微分学 xxxxy 4ln3ln2ln1ln31ln xxxxyy4131)2(11131 41312111432

33、1313xxxxxxxxy解解等式两边取对数得等式两边取对数得例例3 3 求函数求函数 的导数的导数.3)4)(3()2)(1(xxxxy 方程两端对方程两端对x求导求导 第三章第三章 微分学微分学xxexexxxeeeey lnln22 xxxxeyxx1ln22ln2xex22 xexeexxxex1lnlnxeeex xxexexxxeexxxexexx )1(ln2) 1ln2(221例例4 4 求函数求函数 的导数的导数.xxeexxexexy 22解解 第三章第三章 微分学微分学2.1.8 2.1.8 由参数方程所确定的函数的导数由参数方程所确定的函数的导数例如例如 ,22tytx

34、2xt 22)2(xty 42x xy21 消去参数消去参数 t问题问题: : 消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导? 若参数方程若参数方程 确定确定 y 与与 x 间的函数关系间的函数关系,称此为由参数方程所确定的函数称此为由参数方程所确定的函数. )()(tytx 第三章第三章 微分学微分学 在方程在方程 中，设函数中，设函数 具有单调连具有单调连续的反函数续的反函数 .)()(tytx)(tx)(1xt)(1xy 再设函数再设函数 ， 都可导，且都可导，且 ,)(tx)(ty0)(t由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得dxdtdtdydxdy dt

35、dxdtdy1 )()(tt dtdxdtdydxdy 即即ttxxyy 简简记记为为 第三章第三章 微分学微分学解解dtdxdtdydxdy ttcos1sin taatacossin 2cos12sin2 tdxdy. 1 xa2yoaa2例例1 1 求摆线求摆线 在在 处的切线方程处的切线方程. . )cos1()sin(tayttax2 t.),12(,2ayaxt 时时当当 所求切线方程为所求切线方程为)12( axay)22( axy即即 第三章第三章 微分学微分学 tttctgaxtsin)21(2sec22tttdxdysincsccos ttasincsc tttasin2c

36、os2sin21 taytttgaxsin)cos2(ln例例2 2 求函数求函数 的导函数的导函数. .解解taytcos 第三章第三章 微分学微分学)sin3sincos3cos3( ax)cos3sinsin3cos3( ay例例3 3 求三叶玫瑰线求三叶玫瑰线 在在 处的切线处的切线. 3sinar 4 解解它所对应的参数方程为它所对应的参数方程为: sin3sincos3sinayax当当 时，时，4 22ayax ，21sin3sincos3cos3cos3sinsin3cos344 xy所求的切线为所求的切线为)2(212axay 024 axy即即 第三章第三章 微分学微分学2

37、.1.9 2.1.9 相关变化率相关变化率 设函数设函数 及及 ，都可导，而变量，都可导，而变量 x 与与 y 之间存在某种关系，从而它们的变化率之间存在某种关系，从而它们的变化率 与与 之间也存在一定关系，这样两个相互依赖的变化率之间也存在一定关系，这样两个相互依赖的变化率称为相关变化率称为相关变化率.)(txx )(tyy dtdxdtdy相关变化率问题相关变化率问题: : 已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率? 第三章第三章 微分学微分学500tanh dtdhdtd 5001sec2 米米/ /秒秒, ,140 dtdh2sec5002 米米

38、时时, ,当当h)/(14. 0秒秒弧度弧度 dtd 仰角增加率仰角增加率米米500 米米500上式两边对上式两边对t求导得求导得 例例1 1 一汽球从离开观察员一汽球从离开观察员500米处从地面铅直上米处从地面铅直上升升, ,其速率为其速率为140米米/ /秒秒, ,当汽球高度为当汽球高度为500米时米时, ,观察员观察员视线的仰角增加率是多少视线的仰角增加率是多少? ? 解解 当汽球上升当汽球上升t秒后秒后, , 其高度其高度h, , 如图所示，观察如图所示，观察员视线的仰角为员视线的仰角为, ,则则 第三章第三章 微分学微分学234000)(htV dtdhhdtdV 38000,/28

39、8003小时小时米米 dtdV小时小时米米/104. 0 dtdh水面上升之速率水面上升之速率0604000m,20米时米时当当 h上式两端对上式两端对t求导得求导得 例例2 2 河水以河水以8 8米米3 3/ /秒的体流量流入水库中秒的体流量流入水库中, ,水库形水库形状是长为状是长为40004000米米, ,顶角为顶角为1201200 0的水槽的水槽, ,问水深问水深2020米时米时, ,水面每小时上升几米水面每小时上升几米? ? 解解 设时刻设时刻t时时, ,水深为水深为h( (t), ), 水库水库内水量为内水量为V( (t), ),则则 第三章第三章 微分学微分学18cm12cmhH

40、10cm解解 例例3 有装满水的正圆锥形漏斗有装满水的正圆锥形漏斗, 顶部直径为顶部直径为12 cm深深18cm,下接直径为下接直径为10cm的圆柱形水桶的圆柱形水桶,当漏斗水当漏斗水深为深为12cm时时,水面下降速率水面下降速率1cm/sec为为.试求此时水桶试求此时水桶的水平面上升的速率的水平面上升的速率。 25)3(625)3(63333hhH dtdhhdtdH 2252上式两端对上式两端对t求导得求导得251622514412 hdtdHsec/2516cm率率为为水水桶桶的的水水平平面面上上升升的的速速 第三章第三章 微分学微分学2.1.10 2.1.10 高阶导数高阶导数1 1

41、高阶导数的定义高阶导数的定义问题问题: :变速直线运动的加速度变速直线运动的加速度. ),(tfs 设设)()(tftv 则瞬时速度为则瞬时速度为的的变变化化率率对对时时间间是是速速度度加加速速度度tva. )()()( tftvta定义定义.)() )(,)()(lim) )(,)()(0处处的的二二阶阶导导数数在在点点为为函函数数则则称称存存在在即即处处可可导导在在点点的的导导数数如如果果函函数数xxfxfxxfxxfxfxxfxfx 第三章第三章 微分学微分学记作记作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 记记作作阶阶导导数数的的函函数数阶阶导导数数的的导导数数称称为为的的函

42、函数数一一般般地地,)(1)(,nxfnxf .)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或三阶导数的导数称为四阶导数三阶导数的导数称为四阶导数二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数.)(;)(,称称为为一一阶阶导导数数称称为为零零阶阶导导数数相相应应地地xfxf .,),(33dxydyxf 二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数.,),(44)4()4(dxydyxf 第三章第三章 微分学微分学2 2 高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则则则阶阶导导数数具具有有和和设设函函数数,nvu)()()()()1(nnnvuvu )()(

43、)()2(nnCuCu )()(0)()()()2()1()()(!)1()1(! 2)1()()3(kknnkknnkknnnnnvuCuvvukknnnvunnvnuvuvu 莱布尼兹公式莱布尼兹公式 第三章第三章 微分学微分学3 3 高阶导数求法举例高阶导数求法举例解解211xy )11(2 xy22)1(2xx )1(2(22 xxy322)1()13(2xx 022)1(2)0( xxxf0322)1()13(2)0( xxxf; 0 . 2 1 10 0 直接法直接法: :由高阶导数的定义逐步求高阶导数由高阶导数的定义逐步求高阶导数.例例1 设设 y = arctanx, , 求求

44、(0).(0)ff ， 第三章第三章 微分学微分学.),()(nyRxy求求设设例2例21 xy)(1 xy2)1( x3)2)(1( x)1(2 xy)1()1()1()( nxnynn则则为为自自然然数数若若,n nknknnkxknnnxknkn0!)1()1()()( 解解 第三章第三章 微分学微分学.),1ln()(nyxy求求设设例3例3xy 112)1(1xy 3)1(! 2xy 4)4()1(! 3xy )1! 0, 1()1()!1()1(1)( nxnynnn 注意注意: : 求求 n 阶导数时阶导数时, 求出求出1- -3或或4阶后阶后, 不要不要急于合并急于合并, 分析

45、结果的规律性分析结果的规律性, 写出写出 n 阶导数阶导数. (数数学归纳法证明学归纳法证明)解解 第三章第三章 微分学微分学.,sin)(nyxy求求设设例4例4xycos )2sin( x)2cos( xy)22sin( x)22sin( x)22cos( xy)23sin( x)2sin()( nxyn)2cos()(cos)( nxxn同理可得同理可得解解 第三章第三章 微分学微分学.,(sin)(naxybabxey求求为为常常数数) ), ,设设例例5 5 bxbebxaeyaxaxcossin )cossin(bxbbxaeax )arctan()sin(22abbxbaeax

46、)cos()sin(22 bxbebxaebayaxax)2sin(2222 bxbaebaax)sin()(222)( nbxebayaxnn)arctan(ab ab22ba 解解 第三章第三章 微分学微分学.,)20(22yexyx求求设设例6例6 则由莱布尼兹公式知则由莱布尼兹公式知设设,22xveux 0)()(! 2)120(20)()(20)(2)18(22)19(22)20(2)20( xexexeyxxx22! 21920222022182192220 xxxexexe)9520(22220 xxex解解 第三章第三章 微分学微分学2 20 0. .间接法间接法: :常用高阶

47、导数公式常用高阶导数公式nnxnx )1()1()()4()(nnnxnx)!1()1()(ln)5(1)( )2sin()(sin)2()( nkxkkxnn)2cos()(cos)3()( nkxkkxnn)0(ln)() 1 ()( aaaanxnxxnxee )()(1)(!)1()1( nnnxnx 利用利用 变量代换等方法和已知函数的高阶导数变量代换等方法和已知函数的高阶导数公式公式, 求出求出 n 阶导数阶导数. 第三章第三章 微分学微分学.,11)5(2yxy求求设设例7例7 )1111(21112 xxxy)1(! 5)1(! 52166)5( xxy)1(1)1(16066

48、 xx解解 第三章第三章 微分学微分学.,cossin)(66nyxxy求求设设例8例8 3232)(cos)(sinxxy )coscossin)(sincos(sin422422xxxxxx xxxx22222cossin3)cos(sin x2sin4312 24cos1431x x4cos8385 ).24cos(483)( nxynn解解 第三章第三章 微分学微分学4 4 隐函数与参数方程的高阶导数隐函数与参数方程的高阶导数,)()(二二阶阶可可导导若若函函数数 tytx.)()()()()(322tttttdxyd 即即 一阶导数继续在方程两边求导一阶导数继续在方程两边求导, ,即

49、可得到隐即可得到隐函数的高阶导数。函数的高阶导数。 第三章第三章 微分学微分学yxyxeeyyyee 111 31)1)(yyxyxeeee 2)1()1()1(yyxyxeyeeeey 2)1(11)1()1(yyxyxyxeeeeeee 例例1 1 求由方程求由方程 所确定的所确定的 y = y(x) 的的二阶导数二阶导数yexeyx 解解方程两边对方程两边对x求导得求导得方程两边再对方程两边再对x求导得求导得 第三章第三章 微分学微分学yyyyxeeyyxeey 100)(2 yxeyxeyeyeyyyyyyyxeyxyey 1)2(yyyyyyxexeexxeee 1)12(132)1

50、 ()2(yyyxexee 解解方程两边对方程两边对x求导得求导得方程两边再对方程两边再对x求导得求导得 例例2 2 求由方程求由方程 所确定的所确定的 y = y(x)的的二阶导数二阶导数1 yxey 第三章第三章 微分学微分学解解)1(04433 yyyxyx;4110 yxy04)(122123222 yyyyyxyx4110 yxy.16110 yxy 例例3 3 设设 , ,求求 在点在点(0, 1)处的值处的值. .144 yxyxy 方程两边对方程两边对x求导得求导得代入代入 x = 0, y = 1得得方程方程(1)两边再对两边再对x求导得求导得代入代入 x = 0, y =

51、1得得 第三章第三章 微分学微分学解解dtdxdtdydxdy )sin(cos3cossin322ttatta ttan )(22dxdydxddxyd )cos()tan(3 tatttatsincos3sec22 tatsin3sec4 例例4 4 求由方程求由方程 表示的函数的二阶导数表示的函数的二阶导数 taytax33sincos 第三章第三章 微分学微分学)(22dxdydxddxyd 0022 tdxyd2)1(1)1(tetyyt tytxtety 2)1(1)1(10 yttteey22)1()1()1(1(teetyeteyytyty 1)1(0 texttt 第三章第三

52、章 微分学微分学2.1.11 函数的不可导情形函数的不可导情形 通常满足下列条件之一的函数通常满足下列条件之一的函数,我们认为是不可我们认为是不可导的函数导的函数.10 函数在不连续点一定不可导函数在不连续点一定不可导. 20 函数在连续点处函数在连续点处,当左导数当左导数右导数时右导数时,不可导不可导.或者说切线不存在的点处不可导或者说切线不存在的点处不可导. 30 函数在某些点处切线存在函数在某些点处切线存在,但切线是但切线是y轴或平轴或平行于行于y轴的直线轴的直线;例如例如 f(x) = |x| 在在 x = 0处连续处连续, ,但不可导但不可导. .例如例如 在在 x = 0 处不可导

53、处不可导. .3)(xxf 第三章第三章 微分学微分学事实上事实上 3203001limlim0)0()(limxxxxfxfxxx 即函数即函数f(x)在点在点x0不可导不可导. 它的几何意义是它的几何意义是, 曲曲线在点线在点(0, 0)存在切线存在切线, 切线就是切线就是 y 轴轴. 第三章第三章 微分学微分学xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2 1. 常数和基本初等函数的导数公式常数和基本初等函数的导数公式xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21 axxaaaaxxln1)(logln)( xxeexx1

54、)(ln)( 小小 结结 第三章第三章 微分学微分学2. 函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则设设)(),(xvvxuu 可导，则可导，则（1） vuvu )(, （2）uccu )(（3）vuvuuv )(, （4）) 0()(2 vvvuvuvu.( ( 是常数是常数) )C 2211)(arctan11)(arcsinxxxx 2211)cot(11)(arccosxxxx arc xxxx2cosh1tanhcoshsinh xxxx2sinh1cothsinhcosh 第三章第三章 微分学微分学3. 复合函数的求导法则复合函数的求导法则 设设 ，而，而 ，则复

55、合函数，则复合函数的导数为的导数为 或或. )()()(xufxy)(ufy)(xu)(xfydxdududydxdy 利用上述公式及法则初等函数求导问题可完利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决全解决.注意注意: :初等函数的导数仍为初等函数初等函数的导数仍为初等函数. 第三章第三章 微分学微分学 隐函数求导法则隐函数求导法则: : 直接对方程两边求导直接对方程两边求导; 对数求导法对数求导法: : 对方程两边取对数对方程两边取对数,按隐函数的按隐函数的求导法则求导求导法则求导; 参数方程求导参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导实质上是利用复合函数求导法则法则; 相关变化率相关变化

56、率: : 通过函数关系确定两个相互依通过函数关系确定两个相互依赖的变化率赖的变化率; ; 解法解法: : 通过建立两者之间的关系通过建立两者之间的关系, , 用链式求导法求解用链式求导法求解. .高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则(莱布尼兹公式莱布尼兹公式);n阶导数的求法阶导数的求法;1. 直接法直接法;2. 间接法间接法. 第三章第三章 微分学微分学综合习题综合习题.的导数的导数函数函数求求例1例1xxxy解解)(21 xxxxxxy)(211(21 xxxxxxx)211(211(21xxxxxx .812422xxxxxxxxxx 第三章第三章 微分学微分学.)(sin的导数的导数函

57、数函数求求例2例2nnnxfy解解)(sin)(sin1nnnnnxfxnfy )(sin)(sin1nnnxxn 1cos nnnxx).(sin)(sin)(sin)(sincos1113nnnnnnnnnnxxfxxfxxn xeysin xexsinsinxexcossin xeysin 例例3 3 求函数求函数 的导数的导数. .解解 第三章第三章 微分学微分学2cosxetgy 22coscossec2xxee 222sincossec2xxxeee 22222sincossecxeeexxx 222sincossec22xxxeeex 例3 求 的导数.2cosxetgy 解解

58、第三章第三章 微分学微分学21xxy xxxx112 21112xxx 112223 xxx 1243 xx2)1(xxy 例例4 4 求函数求函数 的导数的导数解解 第三章第三章 微分学微分学22111xxxxy 221111xxx 222121111xxxx 221111xxxx211x 例例6 6 求求 的导数的导数.)1ln(2xxy 解解 第三章第三章 微分学微分学x1 xx1x1 11 xx1 解解当当x 0时时例例5 求求 y = ln|x| 的导数的导数.xyln当当x 0时时xylnxln当当x0时时2lnxy 或将函数改写为或将函数改写为该函数的定义域为该函数的定义域为x0

59、的一切实数的一切实数. 第三章第三章 微分学微分学)(ln2xy)(122xx)(211222xxxxx2212 x1 一般地一般地, ,若若f( (x) )可导可导, ,f( (x)0,)0,则有则有)()( )(ln|)(|(lnxfxfxfxf 第三章第三章 微分学微分学 xxgexg111 xgexxg1112例例6 6 求函数求函数 的导数的导数, ,g g 可导可导; ;)1(xgey xgeyxg11解解 第三章第三章 微分学微分学23211cos1sin3)(xxxxxxfxxxx1cos1sin32 001sinlim030 xxxfxxxx1sinlim20 不存在不存在0

60、1cos1sin3)(2 xxxxxxf解解 0001sin)(3xxxxxf例例7 求函数求函数 的导数的导数.当当x0时时 第三章第三章 微分学微分学 22112222xtgbabaxtgbababay 22sec21122222xxbabaxtgbababa2sec21112222xbabaxtgbababa 解解)2(222xtgbabaarctgbay 例例8 求函数求函数 的导数的导数. 第三章第三章 微分学微分学2sec21112222xbabaxtgbababa 2sin2cos122xbaxba 2sin2cos2sin2cos12222xxbxxaxbasin1 第三章第三