第三章(3)非周期信号的频谱

1、 1、周期信号的频谱、周期信号的频谱 2、周期信号频谱的特点、周期信号频谱的特点 3、周期信号的功率谱、周期信号的功率谱 3.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱 前已指出，当周期趋于无限大时，相邻谱线的间隔前已指出，当周期趋于无限大时，相邻谱线的间隔趋近于无穷小，从而信号的频谱密集成为连续频谱。同趋近于无穷小，从而信号的频谱密集成为连续频谱。同时，各频率分量的幅度也都趋近于无穷小，不过，这些时，各频率分量的幅度也都趋近于无穷小，不过，这些无穷小量之间仍保持一定的比例关系。无穷小量之间仍保持一定的比例关系。 为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度

2、的概念。概念。 TFTFjFnTnT lim/1lim)( 令令)( jF称称 为频谱密度函数。为频谱密度函数。一、傅里叶变换一、傅里叶变换. 22)(TTtjnndtetfTFTTeFtfntjnn1)( 当周期当周期 趋近于无限大时，趋近于无限大时， 趋近于无穷小，取其趋近于无穷小，取其 为为 ，而，而 将趋近于将趋近于 ， 是变量，当是变量，当 时，它是离散值，当时，它是离散值，当 趋近于无限小时，它趋近于无限小时，它 就成为连续变量，取为就成为连续变量，取为 ，求和符号改为积分。，求和符号改为积分。 Td21T 2dn0 ntjnneFtf)( 22)(1TTtjnndtetfTF由式

3、由式 ， 可得可得TFTFjFnTnT lim/1lim)( 如何求频谱密度函数？如何求频谱密度函数？于是当于是当 时，式时，式T 22)(TTtjnndtetfTFTTeFtfntjnn1)( 成为成为)1()(lim)( dtetfTFjFtjnT )2()(21)( dejFtftjdef （1）式称为函数）式称为函数 的傅里叶变换的傅里叶变换 。)(tf（2）式称为函数）式称为函数 的傅里叶逆变换。的傅里叶逆变换。 )(jF)( jF)(tf)(tf)( jF 称为称为 的频谱密度函数或频谱函数的频谱密度函数或频谱函数. 称为称为 的原函数。的原函数。 )()( jFtf简记为简记为

4、jFtf 与周期信号的傅里叶级数相类似，与周期信号的傅里叶级数相类似，在在f(t)是实函是实函数时，数时， F()、()与与R()、 X()相互之间存在下列相互之间存在下列关系关系： )()()()()( jXRejFjFj dtttfjdtttfdtetfjFtj sincos)()()( dtttfR cos)()()()(22 XRjF )()(arctan)( RX dtttfX sin)(是是 的偶函数。的偶函数。 是是 的奇函数。的奇函数。 在在f(t)是实函数时：是实函数时： (1) 若若f(t)为为t的偶函数，即的偶函数，即f(t)=f(-t)，则，则f(t)的频谱的频谱函数函

5、数F(j)为为的实函数，的实函数， 且为且为的偶函数。的偶函数。 (2) 若若f(t)为为t的奇函数，即的奇函数，即f(-t)=-f(t)，则，则f(t)的频的频谱函数谱函数F(j)为为的虚函数，且为的虚函数，且为的奇函数。的奇函数。 与周期信号类似，也可将非周期信号的傅里叶与周期信号类似，也可将非周期信号的傅里叶变换表示式改写成三角函数的形式，即变换表示式改写成三角函数的形式，即 结论：结论： dejFdejFtftjtj)()(21 )(21)( dtjF)(cos)(21 dtjFj)(sin)(21 dtjFtf)(cos)(210 0)(cos)(1 )(cos)(21)( dtjF

6、dtjFtf dfjFdjF 2 上式表明，非周期信号可看作是由不同频率的余弦上式表明，非周期信号可看作是由不同频率的余弦“分分 量量”所组成，它包含了频率从零到无限大的一切频率所组成，它包含了频率从零到无限大的一切频率“分分 量量”。由式可见，。由式可见， 相当于各相当于各 “分量分量”的振幅，它是无穷小量。的振幅，它是无穷小量。 所以信号的频谱不能再用幅度表示，而改用密度函所以信号的频谱不能再用幅度表示，而改用密度函 数来表示。类似于物质的密度是单位体积的质量，函数数来表示。类似于物质的密度是单位体积的质量，函数 可看作是单位频率的振幅，称可看作是单位频率的振幅，称 为频谱密度为频谱密度函

7、数。函数。 jF jF)(tg 1例例3.4-1 下图所示为门函数（或称矩形脉冲），用符号下图所示为门函数（或称矩形脉冲），用符号 表示，其宽度为表示，其宽度为 ，幅度为，幅度为 。求其频谱函数。求其频谱函数。01 tg 2 2 t二、二、 典型信号的傅里叶变换典型信号的傅里叶变换解：解： 如图所示的门函数可表示为如图所示的门函数可表示为 2 ,02 ,1 tttg其频谱函数为其频谱函数为 dtetfjFtj )()( jeedtejjtj 22221)2(2sin2sin22 Sajj 2 Satg图 3.4-1 门函数及其频谱一般而言，信号的频谱函数需要用幅度谱一般而言，信号的频谱函数需要

8、用幅度谱 和相位和相位 谱谱 两个图形才能将它完全表示出来。但如果频谱两个图形才能将它完全表示出来。但如果频谱 函数是实函数或虚函数，那么只用一条曲线即可。函数是实函数或虚函数，那么只用一条曲线即可。 为负代表相位为为负代表相位为 ， 为正代表相位为为正代表相位为 。)(jF)()(jF)(jF001 tg 2 2 t0 2 aSjF 2 4 4 2 实偶实偶实偶实偶由图可见，第一个零值的角频率为由图可见，第一个零值的角频率为 （频率（频率 ）。）。 21当脉冲宽度减小时，第一个零值频率也相应增高。当脉冲宽度减小时，第一个零值频率也相应增高。 对于矩形脉冲，常取从零频率到第一个零值频率对于矩形

9、脉冲，常取从零频率到第一个零值频率 之间的频段为信号的频带宽度。之间的频段为信号的频带宽度。 )1(这样，门函数的带宽这样，门函数的带宽 ，脉冲宽度越窄，脉冲宽度越窄， 其占有的频带越宽。其占有的频带越宽。1f0 jF 2 4 4 2 (时域越窄时域越窄,频域越宽频域越宽)例例3.4-2 求下图所示的单边指数函数的频谱函数求下图所示的单边指数函数的频谱函数. tet 0t图图 3.4-2 单边指数函数单边指数函数1 0 tet解解: 将单边指数函数的表示式将单边指数函数的表示式 代入到式代入到式 tet dtetfjFtj )()(中得：中得：0 1 )()(0 jdteedtetfjFtjt

10、tj这是一复函数这是一复函数,将它分为模和相角两部分：将它分为模和相角两部分：)()arctan(22)( 11)( jjejFejjF 幅度谱和相位谱分别为：幅度谱和相位谱分别为：221)( jF)arctan()( 频谱图如下图所示：频谱图如下图所示： ()0- / 2 / 2(b) 相位频谱图 3.4-3 单边指数函数 0 t te01/(a) 振幅频谱 jF例例 3.4-3 求下图所示双边指数信号的频谱函数。求下图所示双边指数信号的频谱函数。 et10tf1 (t)e-t解：上图所示的信号可表示为：解：上图所示的信号可表示为：tetf )(10 , 或者写为或者写为 0 ,0 ,)(1

11、tetetftt 将将 代入到式代入到式 ， 可得其频谱函数为：可得其频谱函数为：)(1tf dte )t (f)j(Ftj jj 11 001dteedtee)j(Ftjttjt 222 其频谱图如下所示其频谱图如下所示 ：F1(j)02/2212 )( jF实偶实偶实偶实偶et10tf1 (t)e-t例例3.4-4 求下图所示信号的频谱函数。求下图所示信号的频谱函数。-et10tf2 (t)e-t-1解解: 上图所示的信号可写为上图所示的信号可写为 ： 0 ,0 ,)( 2tetetftt （其中（其中 ) 0 dtetfjFtj )()(2 jjdteedteetjttjt 110 0

12、222 j-et10tf2 (t)e-t-1其频谱图如下图所示：其频谱图如下图所示：X2()01/-1/ 22222jXjjF 实奇实奇虚奇虚奇-et10tf2 (t)e-t-1例例3.4-5 求求冲激函数的频谱冲激函数的频谱 1)()( dtetttj 即单位冲激函数的频谱是常数即单位冲激函数的频谱是常数 ，如下图所示。其频，如下图所示。其频 谱密度在区间谱密度在区间 处处相等，常称为处处相等，常称为“均匀谱均匀谱”或或“白色频谱白色频谱”。 10t (t )01F(j)(a)(b)图 3.4-6 单位冲激函数的频谱1)(t 冲激函数一阶导数的频谱函数为冲激函数一阶导数的频谱函数为 ： dt

13、etttj )()( 按冲激函数导数的定义按冲激函数导数的定义 ：)0()1()()()()(nnndttt 可知可知 jedtddtetttjtj 0 )(即即 jt 同理可得同理可得nnjt)()()(例例3.4-6 求求单位直流信号的频谱单位直流信号的频谱 ttf- 1)(显然，该信号不满足绝对可积条件，但其傅里叶变换显然，该信号不满足绝对可积条件，但其傅里叶变换 却存在。它可以看作是函数却存在。它可以看作是函数 )0()(1 tetf当当 时的极限时的极限 。则直流信号的频谱函数也应。则直流信号的频谱函数也应 是是 的频谱函数的频谱函数 当当 时的极限。时的极限。 0)(1tf)(1

14、jF0 0et1tf1 (t)e-t0 dd 22212020limlim 2)arctan(2lim0 所以所以 )(22lim220 即即 )(2 1 )(1tf当当 趋近于零时趋近于零时我们已经知道我们已经知道 的频谱函数为：的频谱函数为：2212 )j (F 0 , 0 , lim 2202 f1 (t)0t1234(a)432102 ()(b)图3.4-7 求 1的极限过程02 ()(b)0t1(a)图 3.4-8 直流信号的频谱例例3.4-7 求求符号函数的频谱符号函数的频谱 符号函数定义为符号函数定义为 0 ,10 ,00 ,1 sgntttdeft显然显然,该函数也不满足绝对可

15、积条件。该函数也不满足绝对可积条件。 函数函数 可看作函数：可看作函数：)sgn(t 0 ,0 ,)( 2tetetftt )0( 0当当 时的极限。时的极限。则它的频谱函数也是则它的频谱函数也是 的频谱函数的频谱函数 ，当，当 时的极限。时的极限。 )(2tf)(2 jF0 我们已知我们已知 的频谱函数为：的频谱函数为：)(2tf222222)()()( jjXRjF00)0(2 F它是它是 的奇函数，在的奇函数，在 处处 。 因此，当因此，当 趋近于零时，有趋近于零时，有 ： j2 0 , 0 , 2lim220 j0于是得于是得jt2)sgn(0 它在它在 处的值等于零。处的值等于零。0tSgn(t)1-1(a)X()0(b) 图 3.4-9 sgn(t)及其频谱例例3.4-8 求求阶跃函数的频谱阶跃函数的频谱 )sgn(2121)(tt对上式两边进行傅里叶变换，得对上式两边进行傅里叶变换，得 :)(t21)sgn(21t)1()