微积分下册知识点

1、微积分下册知识点第一章空间解析几何与向量代数（一）向量及其线性运算1、向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；2、线性运算：加减法、数乘；3、空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；4、利用坐标做向量的运算：设a=（ax,ay,az）,b=（bx,by,b）,则a土b=（a*土bx,ay土by,azbz）,九a=（九a*,九a,，九az）；5、向量的模、方向角、投影：1）向量的模：r卜&+y2+z2；2）两点间的距离公式：AB|=J%Xi）2+也一y）2+匕一4）23）方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角a,Pj4）方向余弦：cos。，A0,函数有极小值，若

2、AC-B20,A0,函数有极大值；若AC-B20,函数没有极值；若AC-B2=0,不定。2)条件极值：求函数z=f(x,y)在条件(x,y)=0下的极值令：L(x,y)=f(x,y)+九*(x,y)Lagrange函数Lx=0x解方程组Ly=0(x,y)=02、几何应用1）曲线的切线与法平面x=x（t）I曲线：y，则上一点M（xo，yo，zo）（对应参数为t。）处的z=z（t）x-x。y-y。_z-z。切线方程为：7而一装了一而法平面方程为：x（to）（x-x。）y（to）（y-Vo）z（t）（z-z。）=02）曲面的切平面与法线曲面工：F（x,y,z）=。，则工上一点M仪。,丫。，4）处的切

3、平面方程为：Fx（x。，丫。2。）（乂-xo）Fy（xo,yo,zo）（y-y。）Fz（x。,y。,）（z-）=。“、xx。-y-y。-zz。法线万程为：匚人、，一匚人、，一匚人、，匕（，丫。，4）匕（,丫。，4）吃（，丫。，2。）第三章重积分（一）二重积分（一般换元法不考）n1、定义：/xyR_1盘工fGdkDk工2、性质：（6条）3、几何意义：曲顶柱体的体积。4、计算：1） 直角坐标rD=(x,y)i(x)Ey，(x)amx三bf(x,y)dxdy二Db2(x)adxI,f(x,y)dyD=(x,y)i(y)三c三x2(y)ywdjd2(y)f(x,y)dxdy=dyf(x,y)dxci(

4、y)D2）极坐标D=(丁)：iG)aM：2口)ePj二2f(x,y)dxdy=d【f(:cos?，:sin)d?iOD(二)三重积分n1、定义：ffLf(x,y,z)dv=lim-f(,，)Vk,k=12、性质:3、计算:1）直角坐标f(x,y,z)dv二z2(x,y)dxdyf(x,y,z)dzDz(x,y)一f(x,y,z)dv二bdzf(x,y,z)dxdyadz“先二后一”2） 柱面坐标x二cosF,f(x,y,z)dv=f(：cos,、sin,z)：dddzy=：sinrz=z3） 球面坐标x=rsincos1:y=rsinsin1rz=rcos!！f(x,y,z)dv=f(rsin

5、cos?,rsinsin?,rcos)r2sindrdd1（三）应用曲面S:z=f(x,y),(x,y/D的面积:Adxdy第五章曲线积分与曲面积分n呵f(i,i)V(一)对弧长的曲线积分1、定义：f(x,y)ds=i12、性质：1) jf(x,y)(x,y)ds=:f(x,y)ds：g(x,ys2) f(x,y)ds=f(x,y)dsf(x,y)ds.(L=L1L2).LLiL23)在L上，若f(x,y)Eg(x,y),贝ULf(x,y)dsg(x,y)ds.4)1LdS=I(I为曲线弧L的长度)3、计算：x=(t),设f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为:卜wt4B),y=

6、(t),其中*(t)V(t)在u,P上具有一阶连续导数，且W2(t)”2(t)#0,则f(x,y)ds=f(t)；(t)J2(t)；2(t)dt,(二：)L(二)对坐标的曲线积分1、定义：设L为xoy面内从A到B的一条有向光滑弧，函数P(x,y),Q(x,y)n在L上有界，定义(P(x,y)dx=ljm产P(Jk/xk,k=1nQ(x,y)dy=limQ(,k)y-L.0.k1向量形式：LFdr=LP(x,y)dxQ(x,y)dy2、性质：用L一表示L的反向弧,则1F(x,y)dr=-(F(x,y)dr3、计算：设P(x,y),Q(x,y)在有向光滑弧L上有定义且连续，L的参数方程为x=(t)

7、,i山(tT其中华/(t)在。J上具有一阶连续导数，且y=(t),中，2(t)”，2(t)#0,则P(x,y)dxQ(x,y)dy=P(t)J(t)(t)Q(t)J(t)(t)dtL4、两类曲线积分之间的关系：x=(t)设平面有向曲线弧为L：,八，L上点(x,y)处的切向量的方向角为:y=(t)(t):(t)ccosu=/cosP:/,2(t),2(t):2(t)2(t)则(Pdx+Qdy=(Pcosa+QcosP)ds.(三)格林公式1、格林公式：设区域D是由分段光滑正向曲线L围成，函数P(x,y),Q(x,y)在rJeQepcD上具有连续一阶偏导数,则有Hdxdy=qpdx+QdyDx&V

8、)L2、G为一个单连通区域，函数P(x,y),Q(x,y)在G上具有连续一阶偏导数，则QfP_=U曲线积分JPdx+Qdy在G内与路径无关xyLu曲线积分NPdx+Qdy=LuP(x,y)dx+Q(x,y)dy在G内为某一个函数u(x,y)的全微分(四)对面积的曲面积分1、定义：设工为光滑曲面，函数f(x,y,z)是定义在工上的一个有界函数，n定义：f(x,y,z)dS=li”、f(,i,。Si1i12、计算：“一投二换三代入”工：z=z(x,y),(x,y)wDxy,贝U；f(x,y,z)dSnfx,y,z(x,y)h1zx2(x,y)zy2(x,y)dxdyDxy(五)对坐标的曲面积分1、

9、预备知识：曲面的侧，曲面在平面上的投影，流量2、定义:设工为有向光滑曲面，函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)是定义在工上的有界函数,n定义(x,y,z)dxdy=limjR(i,i,)()xy一i=1n同理P(x,y,z)dydz=limjP(i,i,i)(S)yzi1nQ(x,y,z)dzdx=limjR(；,i,i)(L-i=13、性质:D工二工1+工2,则TPdydzQdzdxRdxdy!PdydzQdzdxRdxdyn.PdydzQdzdxRdxdy二1二22)工一表示与工取相反侧的有向曲面，贝uH匕Rdxdy=-jqRdxdy4、计算：一一“一投二代三定号”工：

10、z=z(x,y),(x,y)WDxy,z=z(x,y)在Dxy上具有一阶连续偏导数,R(x,y,z)在工上连续，贝UQR(x,y,z)dxdy=Rx,y,z(x,y)dxdy,工为上侧取“+”，一Dxy工为下侧取“-”.5、两类曲面积分之间的关系：vPdydzQdzdxRdxdyiiJPcos二QcosRcosdS其中。，PJ为有向曲面工在点(x,y,z)处的法向量的方向角。（六）1、高斯公式：设空间闭区域。由分片光滑的闭曲面上所围成，工的方向取外侧函数P,Q,R在C上有连续的一阶偏导数，则有（&PeQeR.一.人.+dxdydz=qPdydz+Qdzdx+Rdxdycxcyzz；工MPR成1

11、“+dxdydz=GMPcosu+Qcosp+Rcos2s受0、exeydz,三（七）斯托克斯公式1、斯托克斯公式：设光滑曲面工的边界r是分段光滑曲线，工的侧与r的正向符合右手法则，P（x,y,z）,Q（x,y,z）,R（x,y,z）在包含Z在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数，则有6Q底PdR、(cQdydz+dzdx+zZJ、0Zex)/x冲八一dxdy=qPdx+Qdy+RdzV)dydzH工xP为便于记忆，斯托克斯公式还可写作dzdxdxdy=:PdxQdyRdzccLL二yzQR第六章常微分方程1、微分方程的基本概念含未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程；未知函数是一元函数的微

12、分方程，称为常微分方程；未知函数是多元函数的微分方程，称为偏微分方程；微分方程中未知函数的导数的最高阶数，称为微分方程的阶能使微分方程成为恒等式的函数，称为微分方程的解.如果微分方程的解中含任意常数，且独立的(即不可合并而使个数减少的)任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解为微分方程的通解.不包含任意常数的解为微分方程特解.2、典型的一阶微分方程可分离变量的微分方程：g(y)dy=设小或学二”居)dx对于第1种形式，运用积分方法即可求得变量可分离方程的通解：g(y)dy=f(x)dx2、齐次微分方程：y1=邛送)或者x，川(勺xy在齐次方程y=中(义)中，令u=?,可将其化为可分离方程x

13、.x人ydydu令u=j贝Uy=xu,=x+u,xdxdx代入微分方程即可。(1)形如y=f(ax+by+c)的方程.F令口=ax+by+c,则u=a+by：原方程可化为-=f(u).b(2)形如y，=f(a1x一0)的方程.a2xb2yc2可通过坐标平移去掉常数项。3、一阶线性微分方程型如y+p(x)y=q(x)称为一阶线性微分方程。其对应的齐次线性微分方程的解为y=ce-p(x)dxo利用常数变异法可得到非齐次的线性微分方程的通解-lP(x)dx.|p(x)dxy=e.(fq(x)etdx+C)。4、伯努利方程：y+p(x)y=q(x)yn(n#0,1)将方程两端同除以丫得=yfy+p(x

14、)yi=q(x)(n*0,1)令u=y则犯=(1-n)y.n,yTS=吗于是U的通解为dxdxdx1一ndxu=e-(1J)P(x)dx(l_n)q(x)e(1J)P(x)dx-C)o5、全微分方程：7、可降阶的高阶常微分方程(1) |y目f(x)型的微分方程(2) 6.4.2y(nJf(x,y(n,，)型的微分方程(3)6.4.3ygf(y,曜型的微分方程8、线性微分方程解的结构(1)函数组的线性无关和线性相关(2)线性微分方程的性质和解的结构叠加原理：二个齐次的特解的线性组合仍是其特解；二个线性无关齐次的特解的线性组合是其通解-p(x)dx(3)刘维尔公式y2(x)=y1(x).e2dxy

15、1(4)二阶非齐线性微分方程解的结构y=y(x)y*(x)特解的求解过程主要是通过常数变异法，求解联立方程的解：C1(x)y1(x)+C；(x)y2(x)=0,C；(x)y；(x)+C2(x)y2(x)=f(x)。y*(x)=G(x)y1(x)Cz(x)y2(x)9、二阶常系数线性微分方程(1)齐次线性微分方程的通解特征方程：九2+，p+q=0。1)特征方程有两个不同的实根匕，则y1=e*,y2=ex其通解为：y=Gy1-C2y2=C1e1xC?e嗔22)特征方程有实重根儿1=%，则九12=P的=-卫，22此时，必=3地是方程(1)的一个解。再利用刘维尔公式求出另外一个线性无关的解即可3)特征方程有一对共轲复根=仪+iP,%=u-iP,则y=C1yl+C2y2uCed+B+C2e(crLPx。或丫=e(C1cosPx+C2sinPx)。(2)二阶常系数非