概率论与数理统计第四版答案习题答案

1、习题1.1解答1 .将一枚均匀的硬币抛两次，事件A,B,C分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件A,B,C中的样本点O解：C=(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)A=(正，正)，(正，反)；B=(正，正)，(反，反)C=(正，正月(正，反)，(反，正)2 .在掷两颗骰子的试验中，事件A,B,C,D分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件AB,A+B,AC,BC,AB-C-D中的样本点。解：C=(1,1),(1,2)，(1,6),(2,1),(2,2)，(2,6

2、)，(6,1),(6,2)，(6,6);AB=：(1,1),(1,3),(2,2),(3,1);AB=X1,1),(1,3),(1,5),(6,2),(6,4),(6,6),(1,2),(2,1)?；AC=中；BC=X1,1),(2,2)?；A-B-C-D=X1,5),(2,4),(2,6),(4,2),(4,6),(5,1),(6,2),(6,4)?3 .以A,B,C分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用A,B,C表示以下事件：(1)只订阅日报；(3)只订一种报；(5)至少订阅一种报；(7)至多订阅一种报；(9)三种报纸不全订阅。解：(1)ABC；(2)ABC；(4)ABC+ABC十

3、ABC;(6)ABC;(7)(2)只订日报和晚报；(4)正好订两种报；(6)不订阅任何报；(8)三种报纸都订阅；(3)ABC+ABC+ABC；(5)A+B+C;ABC+ABC十ABC+ABC或AB十AC十BC(8)ABC;(9)A+B4.甲、乙、丙二人各射击一次，C事件A,A2,A3分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：A2,A2A3,A1A2,A1A2,A1A2A3,羯AA2A3AA3.解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。5.设事件A,B,C满足ABC#中，试把下列事件

4、表示为一些互不相容的事件的和:A+B+C,AB+C,B-AC.解：如图:ABC-ABCABCABCABCABCABCABC;ABC=ABCC;B-AC=ABCABCABC=BAABC=BCABC6,若事件A,B,C满足A+C=B+C,试问A=B是否成立？举例说明解：不一定成立。例如：A=3,4,5,B=3,C=45,那么，A+C=B+C,但A#B。7,对于事件A,B,C,试问A(BC)=(AB)+C是否成立？举例说明解：不一定成立。例如：A=a,4,5,B=%5,6,C=6,7,那么A-(B-C)=4,但是(A-B)+C=3,6,7)8,设P(A)=1,P(B)=1,试就以下三种情况分别求P(

5、BA):32(1)AB=，(2)AcB,解：(3)P(AB)1(1) P(BA)=P(BAB)=P(B)P(AB)=一；21(2) P(BA)=P(BA)=P(B)P(A)=6一一113(3) P(BA)=P(B-AB)=P(B)P(AB)=，2889.已知P(A)=P(B)=P(C)=4，P(AC)=P(BC)=16，P(AB)=0求事件A,B,C全不发生的概率。解：P(ABC)=PABC=1-P(ABC)=1-P(A)P(B)P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)P(ABC)1/111c11c=1,-0-0|444161610.每个路口有红、绿、黄三色指示灯，假设各色灯的开闭是等可能

6、的。一个人骑车经过三个路口，试求下列事件的概率:A=三个都是红灯”=“全红”；B=全绿”；C=“全黄”；D=“无红；E=“无绿”；F=三次颜色相同”；G=颜色全不相同”；解：H=颜色不全相同”。P(A)=P(B)=P(C)33327；P(D)=P(E)11P(F)二2727P(H)=1-P(F)=1_27一1-113!2一；P(G)=一；93339811.设一批产品共100件，其中98件正品，2件次品，从中任意抽取3件(分三种情况：一次拿3件;每次拿1件，取后放回拿3次；每次拿1件，取后不放回拿3次)，试求:(1)取出的3件中恰有1件是次品的概率;(2)取出的3件中至少有1件是次品的概率。解：

7、一次拿3件：Cn=C1(1)p=0.0588；Cw0每次拿一件，取后放回，拿3次:2298(1) P=298父3=0.0576.100c2c*+或=0.0594；(2)P=1-的=0.0588；100每次拿一件，取后不放回，拿3次：29897(1)p=29897乂3=0.05881009998989796(2) P=1989796=0.0594100999812 .从0,1,2，9中任意选出3个不同的数字，试求下列事件的概率:A=匕个数字中不含山5工A2=三个数字中不含0或5上解:P(A)c|_2C0二行P(A2)2C*或Si一C3015c8Cw141513 .从0,1,2一，9中任意选出4个

8、不同的数字，计算它们能组成一个4位偶数的概率。解:P419014.一个宿舍中住有6位同学，计算下列事件的概率:(1)6人中至少有人生日在10月份;=0.00061;c4c133+C4c1235c；9C52=0.602或P=1cF&C、C；2=0.602习题1.2解答1.假设一批产品中一、二、三等品各占60%,30%、10%,从中任取一件，结果不是三等品，求取到的是一等品的概率。解：令A=取到的是等品，=1,2,3PZAAXP(A14)P(A1)0.62P(A1A3)P(A)P(A3)0.932 .设10件产品中有4件不合格品，从中任取2件，已知所取2件产品中有1件不合格品，求另一件也是不合格品

9、的概率。解：令A=两件中至少有一件不合格”“BIT)B=P(B1-P(A)3 .为了防止意外在矿内同时装有两种报警系统“两件都不合格”15I和II。两种报警系统单独使用时，系统I和II有效的概率分别0.92和0.93,在系统I失灵的条件下，系统II仍有效的概率为0.85,求(1)两种报警系统I和II都有效的概率；(2)系统II失灵而系统I有效的概率；(3)在系统II失灵的条件下，系统I仍有效的概率。解：令A=系统(I)有效，B=系统(n)有效”贝UP(A)=0.92,P(B)=0.93,P(B|A)=0.85(1) P(AB)=P(B-AB)=P(B)-P(AB)-P(B)-P(A)P(B|A

10、)=0.93-(1-0.92)0.85-0.862(2) P(BA)=P(AAB)=P(A)P(AB)=0.920.862=0.058(3)p(a|B)=P4!1=0.8286P(B)1-0.934 .设0cP(A)1,证明事件A与B独立的充要条件是P(B|A)=P(B|A)证：=：;A与B独立，,二A与B也独立。P(B|A)=P(B),P(B|A)=P(B)P(B|A)=P(B|A)u:0P(A)1:0P(A)0,P(B)0,则有(1)当A与B独立时，A与B相容；(2)当A与B不相容时，A与B不独立。证明：P(A)0,P(B)0(1)因为A与B独立，所以P(AB)=P(A)P(B)0,A与B

11、相容。(2)因为P(AB)=0,而P(A)P(B)0,二P(AB)=P(A)P(B),A与B不独立。7 .已知事件A,B,C相互独立，求证AUB与C也独立。证明：因为A、B、C相互独立，P(AB)C=P(ACBC)=P(AC)P(BC)-P(ABC)=P(A)P(C)P(B)P(C)-P(A)P(B)P(C)二P(A)P(B)-P(AB)P(C)=P(AB)P(C)AUB与C独立。8 .甲、乙、丙三机床独立工作，在同一段时间内它们不需要工人照顾的概率分别为0.7,0.8和0.9,求在这段时间内，最多只有一台机床需要工人照顾的概率。解：令A,A2,A3分别表示甲、乙、丙三机床不需要工人照顾，那么

12、P(A)=0.7,P(A2)=0.8,P(A3)=0.9令B表示最多有一台机床需?人照顾，_那么P(B)=P(AiA2A3AiA2A3AiA2A3AA2A3)=P(AA2A3)P(AA2A3)P(AA2A3)P(AA2A3)=0.70.80.90.30.80.90.70.20.80.70.80.1=0.9029 .如果构成系统的每个元件能正常工作的概率为p(0p1).,0,1解：P(X=0)=e,.1=In20!2P(X1)=1-P(X1)=1-P(X=0)P(X=1)111=1一In2=(1-In2)2228 .设书籍上每页的印刷错误的个数X服从Poisson(泊松)分布。经统计发现在某本书

13、上，有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，求任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率。11.2解：:P(X=1)=P(X=2),即一e4=eA,九=21!2!二P(X=0)=e2X4-8P二(e)=e9 .在长度为的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数服从参数为的Poisson分布，而与时间间隔的起点无关(时间以小时计)，求(1)某一天从中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率；(2)某一天从中午12时至下午5时收到1次紧急呼救的概率；10 在长度为t的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数X服从参数为2的Poisson(泊松)分布，而与时间间隔的起点无关(时间以小时计).求(1)

14、某一天从中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率；(2)某一天从中午12时至下午5时收到1次紧急呼救的概率;解:3(1) t=3,九二2(2) t=5,，=523P(X=0)=e”11.试求：(1)t的值；(2)X的概率密度;(3)P(-2:二XM2).5P(X-1)=1-P(X=0)=1-e210.已知X的概率分布为:X-2-10123P2a110-3aaa2a2试求(1)a；(2)Y=X1的概率分布。解：,1(1) -2a+3a+a+a+2a=110-1.a-o10(2)Y-1803313P1051015解：1 1(1)(t)父0.5+70.5M3=1t二一1(2) f(x)21-x60

15、21+2x-1,0)x0,3)其它(3) P(-2解：令ff(x)dx=1,即fsinxdx=1二-cosa=1,即cosa=0,a=22.尚再=sinxdxcox|2产二62613.乘以什么常数将使e*变成概率密度函数？-bo解：令cedx=1二4xJ.)21ce2e4dx=114.1 1J.即ce4=1ce4Jn随机变量XN（N,。2）,其概率密度函数为f(x)7e-6二-bo试求N,。2；若已知ff(x)dx=Cx2-4x：4-6CLJ(x)dx,求C.解：x2-4x41 ：f(x)=e66二:2,(x4)212(3)22二，3，二2二3-be若Jf(x)dx=f(x)dx,由正态分布的

16、对称性c可知15.6c=口=2.f(X)=32x,0x10,其他设连续型随机变量X的概率密度为以Y表示对X的三次独立重复试验中XE1”出现的次数，试求概率P(Y=2).1一12一1解：P(X)=2xdx=204-21239P(Y=2)=C3(-)(-)=-o446416.设随机变量X服从1,5上的均匀分布，试求P(x1Mxx2).如果:x1:5:x2.(1)x11x25；11解:X的概率密度为f(x)=4，0，其他(2)17.P(Xi：二XX2)P(XiX：X2)211dx(x2-1)1445111,、=-dx=(5-x1)4均4设顾客排队等待服务的时间待服务，若超过10分钟，他就离开。他未等

17、到服务而离开的次数，试求解：X(以分计)服从九=1的指数分布。某顾客等5他一个月要去等待服务5次，以Y表示一个月内Y的概率分布和P(Y之1).J-10P(X-10)=1-P(X二10)=1-1-e5=e.P(Y=k)=C：(eJ)k(1),k=0,1,2,3,4,5_25P(Y-1)=1-(1-e)5:0.5167习题1.4解答1,已知随机变量X的概率分布为P(X=1)=0.2,P(X=2)=0.3,P(X=3)=0.5,试求X的分布函数；P(0.5X2)；画出F(x)的曲线。解：0,x1P(0.5X2)=0.50.2,1x2F(x)=0.5,2x:二31 ,x_3F(x)曲线:F(x)0.5

18、0.202 .设连续型随机变量X的分布函数为0,x-10.4,-1x1F(x)：0.8,1x:二31,x_3试求：(1)X的概率分布；(2)P(X2|X#1).解：(1)X-113P0.40.40.2P(X-1)2P(X；2|X=1)-=P(X=1)3(2)3.从家到学校的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的概率是相互独立的，且概率均是0.4,设X为途中遇到红灯的次数，试求(1)X的概率分布；X的分布函数。解：(1)P(X=k)=C；(2)k(3)3*,k=0,1,2,355列成表格022713361258125125125F(x)=02712581x:00Mx：二1125117125

19、12x：3x-34.解:1.3中第11题X的分布函数,试求习题F(x)设连续型随机变量X的分布函数为-2xABex0并画出F(x)的曲线。5.F(x)=54f(x).试求：(1)A,B的值；P(-1X1);(3)概率密度函数解：(1) ;F(y)=lim(A+Blx)=1二A=1X)二又!im(ABex)=F(0)=0,B=一A二-1(2) P(-1：:X二1);F(1)-F(-1)=1-e2c-2X.c(3)f(x)=F(x)=，0,x06.设X为连续型随机变量，其分布函数为a,x1;F(x)=bxlnxcxd,1MxMe;d,xe.试确定F(x)中的a,b,c,d的值。解：.f(-二)=0

20、.a=1又.f(二)=1.d=1又lim(bxlnxcx1)=a=0.c=一1x1-又：lim(bxlnx-x+1)=d=1，bee+1=1即b=1x)e-7.设随机变量X的概率密度函数为f(x)=a,，试确定a的值并求二(1x2)F(x)和P(X|t)=P(N(t)=0)=e3t,F(t)-P(Xt)-1-P(Xt)=1_e01t当t0F(x)=，0x0X服从指数分布(九=0.1)(2) F(3)=1e1#之0.26(3) F(5)-F(3)：0.139.设XN(1,16),试计算(1)P(X2.44)；(2)P(Xa1.5)；(3)P(X|1).解：(1)P(X：二2.44)=4；(2.4

21、4(一1)1344)士0.805144(2)P(X-1.5)=1-P(X()=(-)一)4444=：.：,(5).中(3)一1=0.667844(4)P(|X-1|1)=P(X：二0)(X2)=P(X：二0)P(X2),01,21,1,3二：,：,（）1一：.：，（）二口（）1-.：，（一）二0.8253444410.某科统考成绩X近似服从正态分布N（70,102）,第100名的成绩为60分,问第20名的成绩约为多少分？解:而又即P(X-x|X-60)=20100P(X-x|X-60)P(Xx)(X60)1_P(X一x)P(X-60)P(X-60)丁P(X60)=1G1=6(1)=0.8413I10JP(X-x)=0.20.84130.1682670P(X之x)=1-70i=G(1)=0.16826I10J一G-701x-70xx701=083174,70.96,x定79.610J1022.11.设随机变量X和Y均服从正态