生活中的优化问题举例练习

1、第一章1.4生活中的优化问题举例课后强化演练、选择题1.将8分成两个非负数之和,使这两个数中一个数的立方与另一个数的平方之和最小,那么这个最小值等于B.80C.52解析：设其中一个数为x,那么另一个数为8-x,且0WxW8,那么y=x3+(8x)C解析：y=-3x3+81x-234,y=x2+81.令v'=0,得x=9或x=9(舍).又当0Vxv9时,v'>0,当x>9时,y'<0,x=9时,y取得最大值.答案：C3.把一段长为12cm的细铁丝截成两段,各自围成一个正三角形,那么这两个三角形面积之和的最小值是3.32A.2cmD.273cm2解析：设一

2、段为xcm,那么另一段为(12-x)cm(0<x<12),那么S(x)=1-x2+闩g1；x223223¥誉一n16,当x=6时,Sx最小.此时S(x)=2*(cm2).=x3+x2-16x+64,V,=3x2+2x16=0,解得x=2x=8舍去,且当0WxW2时,v'W0,3当2WxW8时,v'>0,故当x=2时,y取最小值44.答案：A2.某生产厂家的年利润y单位：万元与年产量13x单位：万件的函数关系式为y=-x3+81x-234,那么使该生产厂家获取最大年利润的年产量为A.13万件B.11万件C. 9万件D.7万件C.372cm2答案：D4.

3、做一个容积为256cm3的方底无盖水箱,要使用料最省,水箱的底面边长为()A.5cmC. 7cm解析：设水箱的底面边长为xcm,容积为256,水箱的高为笔,x2256一,水相的外表积f(x)=4xq,+X2,10241024=x2d,f(x)=2x2xx2,令f'(x)=0,得x=8,又当0Vx<8时,f'(x)<0,当x>8时,f(x)>0,当x=8时,f(x)取得最小值.V,当其外表积最小时,底面边长为()答案：D5.设底面为等边三角形的直棱柱的体积为B.D. 23/V解析：设底面边长为x,那么S底=,三棱柱的高为7V=43V.,直棱柱的外表积S(x

4、上乎42+锹噜=/2+乎S'(x)=V3x41V,令S'(x)=0,得x=3/4V,x又当0Vxv3/4V时,S,(x)V0,当x>3/4V时,s'(x)>0,3.当x=34V时,s(x)最小.答案：C6.某厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,其他三边要砌新墙,当砌新墙所用的材料最省时,堆料场的长和宽分别为()A. 32米,16米B. 30米,15米C. 40米,20米D. 36米,18米解析：设新建堆料场与原墙平行的一边长为x米,其他两边长为y米,那么xy=512,新建围墙的长l=x+2y=512*,%+2y(y>0)

5、,令i512夕+2=0,解得y=16(另一负根舍去),当0vyv16时,I'<0;当y>16时.512一I'>0,所以当y=16时,函数取得极小值,也就是最小值,此时x=5y=32.件.答案:二、填空题7 .以边长为10的线段AB为直径作半圆,那么它的内接矩形面积的最大值为解析：设矩形的一边长为x,那么另一条边长为2252,矩形的面积S(x)=2x25x2,504x2S(x)=t=,令S(x)=0,*5x2得x=522或x=522(舍).当0Vxv平时,S'(x)>0,当x52时,S'(x)<0,S(x)max=25.答案：258

6、.某工厂生产x件产品的本钱为1CC=25000+200x+40x2(兀),那么当平均本钱最低时,x=解析：设平均本钱为y,那么y=竺丁点3+-x-+200>2a/25000+200.40,40当且仅当2500040,即x=1000时等号成立.答案：10009.将边长为1m的正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记S=梯形的周长2加梯形的面积'大S的最小值是x,解析：设剪成的两块中,小正三角形的边长为那么梯形的周长为x+1-x+1-x+1=3-x.梯形的面积为手一当x1-0<x<16,0<20%16,x,03-x2-S=-F(0<x&l

7、t;1),-1x24那么sz3-23x2-10x+31x22,令S'=0,那么x=1或x=3舍.3又当0Vx<1时,S'<0,当1<xv1时,S'>0,33当x=1时,S最小且Smin=S1=吟四.333答案：迎芳三、解做题10.某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200m2的三级污水处理池平面图如下图.如果池四周围墙建造单价为400元/m2,中间两道隔墙建造单价为248元/m2,池底建造单价为80元/m2,水池所有墙的厚度忽略不计.1试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价；2假设由于地形限制,该池的长和宽都不能超过16m,试设计

8、污水池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价.解：1设污水处理池的长为xm,那么宽为m,再设总造价为y元,那么有200y=2xX400+T*2X400+248X2X200+80X200x=800x+259200+16000=2X800X18+16000=44800,当且仅当800x=259200,x即x=18m时,y取得最小值.当污水池的长为18m,宽为邛m时总造价最低,为44800元.912.5<x<16,xw18,不能用根本不等式,但我们可用函数单调性定义证实上述目标函数在区间12.5,16上是减函数,从而利用单调性求得最小值.当然也可以利用导数解决.由(1)知,y=<

9、f)(x)=800x+324+16000(12.5WxW16).xy'=8(x)=8001324,当12.5<x<16时,x4(x)>曲16)=45000.,x2-324y=800-2<0,.&x)在12.5,16上为减函数.从而所以,当该池的长为16m,宽为12.5m时总造价最低,最低总造价为45000元.11.用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四个角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90.角焊接而成.问容器的高为多少时,容器的容积最大？最大容积是多少？解：设容器白勺高为xcm,那么容器的体积V(x)=x(90-2x)(4

10、8-2x)=4x3-276x2+4320x(0Vx<24).V'(x)=12x2552x+4320.令V'(x)=0,得*=10或*=36(舍去),当x变化时f'(x),f(x)的变化状态如表:x(0,10)10(10,24)f'(x)十0一f(x)19600由此可见当x=10时,V(x)取得最大值19600,即当容器的高为10cm时,容器的容积最大为19600cm3.12.某厂家拟对一商品举行促销活动,当该商品的售价为x元时,全年的促销费用为12(152x)(x4)万元；根据以往的销售经验,实施促销后的年销售量t=12(x8)2+a万件,其中4Vx<

11、;7.5,a为常数.当x4该商品的售价为6元时,年销售量为49万件.(1)求出a的值；(2)假设每件该商品的本钱为4元时,写出厂家销售该商品的年利润y万元与售价x元之间的关系；(3)当该商品售价为多少元时,使厂家销售该商品所获年利润最大.a解：(1)当x=6时,12(68)2+a-=49,解得a=2.6-4(2)y=(x-4)12(x-8)2+-12(15-2x)(x-4)=12(x-7)2(x-4)+2(4<x<7.5).x4(3)y'=24(x-7)(x-4)+12(x-7)2=36(x-7)(x-5).由y'>0得x<5或x>7;由y'<0得5<x<7.即函数在(8,5)上递增,在(5,7)上递减,在(7,+8)上递增.4VXV7.5,当X=5时,Ymax=50.当该商品售价为5元时,厂家销售该商品所获年利润最大.U选做13.某银行准备新设一种定期存款业务,经预测,存款量与存款利率成正比,比例系数为k(k>0),贷款的利率为4.8%,假设银行吸收的存款能全部放贷出去.假设存款利率为x(0<x<0.048),那么存款利率为时,银行可获得最大收益()A.0.012B,0.024C.0