概率经典例题及解析、近年高考题50道带答案【精选】

1、【经典例题】中,OAB例12021湖北如图,在圆心角为直角的扇形随机取一点,那么此点取自阴影局部的概率是分别以OA,OB为直径作两个半圆.在扇形OAB内D.21-兀A令OA=1,扇形OA昉对称图形,ACBD®成面积为.一兀12为直径的半圆面积减去三角形OACW面积,S2=22-S,1围成OES2,作对称轴OD那么过C点.S2即为以OA1兀-2.、.S1.、.刁=6一.在扇形OAD中方为扇形面积减去三角2o2SiS2兀-2兀-2=Si+S2=2164兀,扇形OAB面积S=,选A.125个同样大小的小正方体,经过搅拌后,【例2】2021湖北如下图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为从中

2、随机取一个小正方体,记它的涂漆面数为X,那么X的均值E(X)=()A.126125B.5C.168125D.【解析】X的取值为0,1,2,3且PX=027_54_36_8_27=125,P(X=1)=砺,P(X=2)=,P(X=3)=,故E(X)=0X+1X54十2X12536十3X12581256,.【例3】2021四川节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是1137a.4b.2c.4D.8,、一一一,一一,、-0<

3、x<4,【解析】设第一串彩灯在通电后第x秒闪亮,第二串彩灯在通电后第y秒闪亮,由题意满足条件的关系式0<y<4,为一2WxyW2.根据几何概型可知,事件全体的测度(面积)为16平方单位,而满足条件的事件测度(阴影局部面积)为12平方单位,123故概率为16=4【例4】(2021江苏)现有5根竹竿,它们的长度(单位：m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,假设从中一次随机抽取2根竹竿,那么它们的长度恰好相差0.3m的概率为.【答案】0.2【解析】从5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的事件总数为10,它们的长度恰好相差0.3m的事件数为2,分别是:2.5和2.8,2.6和

4、2.9,所求概率为0.2【例5】(2021江苏)现有某类病毒记作XmYn,其中正整数m,n(m<7,nW加以任意选取,那么m,n都取到奇数的概率为.【答案】§n可以取1,3,5,7,9.所以m,n都取到奇数共有20【解析】根本领件共有7X9=63种,m可以取1,3,5,7,种,故所求概率为2063.【例6】(2021山东)在区间3,3上随机取一个数x,使得|x+1|x2|>成立的I率为.,1【答案】13【解析】当x<1时,不等式化为x-1+x-2>1,此时无解；当1<x<2时,不等式化为x+1+x-2>1,解之得x>1;当x>2时

5、,不等式化为x+1x+2>1,此时恒成立,.,.|x+1|-|x-2|>1的解集为1,+°°).在3,33-11上使不等式有解的区间为1,3,由几何概型的概率公式得P=-一-(=-.3-(3)3【例7】(2021北京)下列图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染.某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天.数(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；(2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数,求X的分布列与数学期望；(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数

6、方差最大？(结论不要求证实)212G；而3月5日1313【解析】设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市(i=1,2,13).根据题意,P(Ai)=白,且AiCAj=(iwj).13(1)设B为事件“此人到达当日空气重度污染",那么B=A5UA8.所以P(B)=P(A5UA8)=P(A5)+P(A8)=篇.(2)由题意可知,X的所有可能取值为0,1,2,且P(X=1)=P(A3UA6UA7UA11)一一一一4=P(A3)+P(A6)+P(A7)+P(A11)=,13P(X=2)=P(A1UA2UA12UA13)一一一一4=P(A1)+P(A2)+P(A12)+P(A13)=,13P(X

7、=0)=1P(X=1)P(X=2)=75.13所以X的分布列为X012P54413131354412故X的期望E(X)=0><13+1X+2X-=-(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.2【例8】(2021福建)某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲、乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为今中奖可以3获彳#2分；方案乙的中奖率为2,中奖可以获得3分；未中奖那么不得分.每人有且只有一次抽奖时机,每次抽奖中5奖与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品.(1)假设小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为X,求XW3的概率；(2)假设小明、小红两人都选择方案甲或都选

8、择方案乙进行抽奖,问：他们选择何种方案抽奖,累计得分的数学期望较大？,11、一【答案】瞿；方案甲.15【解析】方法一：(1)由得,小明中奖的概率为|,小红中奖的概率为|,且两人中奖与否互不影响.记“这235人的累计得分XW3的事件为A,那么事件A的对立事件为“X=5,由于P(X=5)=;X=彳,所以P(A)=1P(X=5)=,35151511即这两人的累计得分XW3的概率为左.15(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1,都选择方案乙抽奖中奖次数为X2,那么这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1),选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2).由可得,X1B2,2,X2B

9、2,2,35所以E(X1)=2x|=4,E(X2)=2x|=4,3355从而E(2X1)=2E(X1)=-,E(3X2)=3E(X2)=.35由于E(2X1)>E(3X2),所以他们都选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望较大.22一一,万法二：(1)由得,小明中奖的概率为牙小红中奖的概率为中且两人中奖与否互不影响.记“这两人的累计得分XW3的事件为A,那么事件A包含有“X=0“X=2“X=3三个两两互斥的事件,由于P(X=0)=1-2X1-2=1,P(X=2)=2X12P(X=3)=12x1=2-,3553553515,_11所以P(A)=P(X=0)+P(X=2)+P(X=3)=而

10、,15r、,11即这两人的累计得分XW3的概率为.15(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1,都选择方案乙所获得的累计得分为X2,那么X1,X2的分布列如下：X1024P194949X2036P9124252525,_1448所以E(X1)=0X-+2X-+4X-=-,9993912412E(X2)=0珠+3珠+6*彳y.由于E(X1)>E(X2),所以他们都选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望较大.【例9】(2021浙江)设袋子中装有a个红土b个黄球,c个蓝球,且规定：取出一个红球得1分,取出一个黄球得2分,取出一个蓝球得3分.假设Ey=MDr=,求a：b：c.39(

11、1)当a=3,b=2,c=1时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的时机均等)2个球,记随机变量E为取出此2球所得分数之和,求E的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的时机均等)1个球,记随机变量刀为取出此球所得分数.【答案】3：2：12,3,4,5,6.【解析】(1)由题意得,E=3X31P(E=3)=2X3X26X613'P(E=4)=2X3X1+2X26X6518.2X2X1P(E=5)=7T1X11P(E=6)=6S?=无,所以E的分布列为23456P115114318936,a2b所以印=0+4(2)由题意知Y的分布列为123Pabca+b+ca+b+ca+b+c3c5a+

12、b+c=3,59'5-a_5_b_5-cdl132.ar+232ar+"32,ar2ab4c=0,化简得解得a=3c,b=2c,a+4b-11c=0,故a：b：c=3：2：1.【例10】(2021北京理)某学生在上学路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的1概率都是1,遇到红灯时停留的时间都是2min.3(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；(2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望.【答案】二；二278【解析】此题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型随机变量的分布列和期望等根底知

13、识,考查运用概率与统计知识解决实际问题的水平(1)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A,由于事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯,所以事件1A的概率为PA1-31141-一3327(2)由题意,可得可能取的值为0,2,4,6,8(单位：min)事件“2k等价于事件“该学生在路上遇到k次红灯(k0,1,2,3,4),1k24kP2kC433ko,1,2,3,4即的分布列是02468P1632881818127818116328818的期望是E02468.81812781813X的分布列为X123P33151010【课堂练习】1.2021广

14、东离散型随机变量那么X的数学期望EX=D.3B.22.2021陕西如图,在矩形区域ABCD的A,C两点处各有一个通信基站,假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF该矩形区域内无其他信号来源,基站工作正常.假设在该矩形区域内随机地选一地点,那么DB*E一.兀A.1-43.在棱长分别为大于3的概率为.4A.71,(B.2,)兀2T3的长方体上随机选取两个相异顶点,-2c.7D.假设每个顶点被选的概率相同,那么选到两个顶点的距离4.2021安徽理考察正方体6个面的中央,甲从这6个点中任意选两个点连成直线,乙也从这6个点中任意选两该地点无信号的概率是个点连成直线,那么所得的两条直线相互

15、平行但不重合的概率等于1A.752B.753C.754D.75?F?D?C'?E?A31A.8133B.8148C.816.2021辽宁文ABCD为长方形,AB=2,BC=1,O的距离大于1的概率为A.B.1一C.4487.2021上海理假设事件E与F相互独立,且PEA.011B.一C.164某食品厂制作了种卡片可获奖,现购置该种食品5袋,能获奖的概率为5.2021江西理为了庆祝六一儿童节,3种不同的精美卡片,每袋食品随机装入一张卡片,集齐D.50.81O为AB的中点,在长方形ABCD内随机取一点,取到的点到D.1-81一,那么PEIF的值等于418.2021广州在区间1,5和2,4上

16、分别取一个数,记为a,b,那么方程x2y2.孑+萨=1表小焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为B.1532C.1732D.31329. 数列an满足an=an1+n-1n"nCN,一颗质地均匀的正方体骰子,其六个面上的点数分别为1,2,3,4,5,6,将这颗骰子连续抛掷三次,得到的点数分别记为a,b,c,那么满足集合a,b,c=a1,a2,a31W宸6,i=1,2,3的概率是1721B.36C-24D.1120.8、0.6、0.5,那么三人都达标的概率10. 2021湖北文甲、乙、丙三人将参加某项测试,他们能达标的概率分别是是,三人中至少有一人达标的概率是11. 2021新课标全国

17、H从n个正整数1,2,3,n中任意取出两个不同的数,假设取出的两数之和等于5的概率1-为商那么n=12. 2021福建利用计算机产生01之间的均匀随机数a,那么事件“3a1>0发生的概率为.13. 2021辽宁为了考察某校各班参加课外书法小组的人数,从全校随机抽取5个班级,把每个班级参加该小组的人数作为样本数据.样本平均数为7,样本方差为4,且样本数据互不相同,那么样本数据中的最大值为.14. 在长为10cm的线段AB上任取一点C,并以线段AC为边作正方形,这个正方形的面积介于25cm2与49cm2之间的概率为.15. 2021全国甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁

18、判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判.设各局中双方获胜的概率均为：各局比赛的结果相互独立,第1局甲当裁判.1求第4局甲当裁判的概率；.（2） X表示前4局中乙当裁判的次数,求X的数学期望.16. 2021辽宁现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答.1求张同学至少取到1道乙类题的概率；32所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对每道甲类题的概率都是3,答对每道乙类题的概5率都是4,且各题答对与否相互独立.用X表示张同学答对题的个数,求X的分布列和数学期望.517. 2021江西小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队.游戏规那么为：以.为

19、起点,再从Ai,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8如图15这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为X.假设X=0就参加学校合唱团,否那么就参加学校排球队.1求小波参加学校合唱团的概率；2求X的分布列和数学期望.人一1上1总乂1>1II*-13二1图1518. 2021天津一个盒子里装有7张卡片,其中有红色卡片4张,编号分别为1,2,3,4;白色卡片3张,编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片假设取到任何一张卡片的可能性相同1求取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率；2在取出的4张卡片中,红色卡片编号的最大值设为X,求随机变量X的分布列和数学期望.19

20、. 2021重庆某商场举行的三色球购物摸奖活动规定：在一次摸奖中,摸奖者先从装有3个红土与4个白球的袋中任意摸出3个球,再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球.根据摸出4个球中红球与蓝球的个数,设一、二、三等奖如下表,其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级.奖级摸出红、蓝球个数获奖金额一等奖3红1蓝200元二等奖3红0蓝50元三等奖2红1蓝10元1求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；2求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与期望EX.20.2021安徽某高校数学系方案在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动,分别由李老师和张老师负责.已知该系共有n位学生,每次活动均需该系k位学生

21、参加n和k都是固定的正整数.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生,且所发信息都能收到.记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X.1求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；2求使PX=m取得最大值的整数m.【课后作业】1. 2021江西文甲、乙、丙、丁4个足球队参加比赛,假设每场比赛各队取胜的概率相等,现任意将这4个队分成两个组每组两个队进行比赛,胜者再赛,那么甲、乙相遇的概率为A.1B.1C.1D.164322. 2021广东文广州2021年亚运会火炬传递在A、B、C、D、E五个城市之间进行,各城市之间的路线距离单位：百公里见下表.

22、假设以A为起点,E为终点,每个城市经过且只经过一次,那么火炬传递的最短路线距离是A.20.6B.21C.22D.233. 2021安徽文考察正方体6个面的中央,从中任意选3个点连成三角形,再把剩下的3个点也连成三角形,那么所得的两个三角形全等的概率等于A.1B.D.0.4.在长为3m的线段AB上任取一点P,那么点P与线段两端点A、B的距离都大于1A. 一41B. .-31C. 一25.在棱长为2的正方体ABCDA1B1clD1中,点O为底面ABCD的中央,在正方体ABCDA1B1c1D1内随机取一点P,那么点P到点O的距离大于1的概率为A.B.1C.D.16.甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击工

23、程选拔赛,四人的平均成绩和方差如下表所示:甲乙丙丁平均环数x8.68.98.98.2力差s23.53.52.15.6从这四个人中选择一人参加奥运会射击工程比赛,最正确人选是A.甲B.乙C.丙7.2021山东在某地的奥运火炬传递活动中,有编号为的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为D.丁1,2,3,18的18名火炬手.假设从中任选3人,那么选出.1A.51B.168-11C.D.3064088.2021江西电子钟一天显示的时间是从00:00到23:59的每一时刻都由四个数字组成,那么一天中任一时刻的四个数字之和为23的概率为111A.B.C.180288360在区间卜1,1上随机取一个数

24、x,D.14809. 2021山东理xcos2.1A.310. 2021湖北理2B.一的值介于0到1之间的概率为.2r2D.一投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次,记3硬币正面向上为事件A,骰子向上的点数是3为7C12事件B,那么事件A,B中至少有一件发生的概率是5A12212,3,A3411.2021安徽从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条,那么以这三条线段为边可以构成三角形的概率12.如图,A,B两点之间有4条网线连接,每条网线能通过的最大信息量分别为4.从中任取两条网线,那么这两条网线通过的最大信息量之和为5的概率是,假设13、2021广东某单位200名职工的年龄分布情况如

25、图2,现要从中抽取40名职工作样本,用系统抽样法,将全体职工随机按1200编号,并按编号顺序平均分为40组15号,6-10号,196200用分层抽样方法,那么40岁以下年龄段应抽取号.假设第5组抽出的号为22,那么第8组抽出的号应是14 .某校高三级要从3名男生a、b、c和2名女生d、e中任选3名代表参加学校的演讲比赛.1求男生a被选中的概率；2求男生a和女生d至少有一人被选中的概率.15 .2021湖南某人在如下图的直角边长为4米的三角形地块的每个格点指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点处都种了一株相同品种的作物,根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获量Y单位：kg与它的相近作物株数X之间

26、的关系如下表所示：这里,两株作物相近是指它们之间的直线距离不超过1米.X1234Y51484542(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰好相近的概率;(2)从所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与数学期望.16 .某地区对12岁儿童瞬时记忆水平进行调查.瞬时记忆水平包括听觉记忆水平与视觉记忆水平.某班学生共有40人,下表为该班学生瞬时记忆水平的调查结果.例如表中听觉记忆水平为中等,且视觉记忆水平偏高的学生为3人.,一、.视觉听觉,二视觉记忆水平偏低中等偏Wj超常听觉记忆水平偏低0751中等183b偏Wj2a01超常0211由于局部数据丧失,只知道从这40位学生

27、中随机抽取一个,视觉记忆水平恰为中等,且听觉记忆水平为中等或2中等以上的概率为一.5(1)试确定a、b的值；(2)从40人中任意抽取1人,求此人听觉记忆水平恰为中等,且视觉记忆水平为中等或中等以上的概率.17 .(2021新课标全国卷I)一批产品需要进行质量检验,检验方案是：先从这批产品中任取4件作检3这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,假设都为优质品,那么这批产品通过检验；如果n=4.再从这批产品中任取1件作检验；假设为优质品,那么这批产品通过检验；其他情况下,这批产品都不能通过1检验.假设这批产品的优质品率为50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为)

28、且各件产品是否为优质品相互独立.(1)求这批产品通过检验的概率；(2)每件产品的检验费用为100元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元),求X的分布列及数学期望.18 .(2021山东)甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是2外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是3.假设各局比赛结果相互独立.(1)分别求甲队以3：0,3：1,3：2胜利的概率；(2)假设比赛结果为3：0或3：1,那么胜利方得3分、对方得0分；假设比赛结果为3：2,那么胜利方得2分、对方得1分.求乙队得分X的分布列及数学期望.19 .(2

29、021陕西)在一场娱乐晚会上,有5位民间歌手(1至5号)登台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢送歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手,其中观众甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,不选2号,另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱,因此在1至5号中随机选3名歌手.(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求X的分布列及数学期望.20.(2021新课标全国卷H)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1t该产品获利润500元,未售出的产品,每1t亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图1-4所示,经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品,以X(单位：t,100WX<15味示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.(1)将T表示为X的函数；T=(2)根据直方图估计