概率论与数理统计(4183)第02章课后习题解答

1、习题2.1a1 .设随机变量X的分布律为PX=kh,k=1,2,N,求常数a.N解:由分布律的性质量二iPk=1得P(X=1)+P(X=2)+P+X=N)=1aN*-=1,即a=113572 .设随机变量X只能取-1,0,1,2这4个值,且取这4个值相应的概率依次为一,jj，求常数c.2c4c9c16c.1,3,5,7i解：-.2c4c9c16c37C=U3 .将一枚骰子连掷两次，以X表示两次所得的点数之和，以Y表示两次出现的最小点数，分别求X,Y的分布律.注：可知X为从2到12的所有整数值.可以知道每次投完都会出现一种组合情况，其概率皆为(1/6)*(1/6)=1/36,故P(X=2)=(1

2、/6)*(1/6)=1/36(第一次和第二次都是1)P(X=3)=2*(1/36)=1/18(两种组合(1,2)(2,1)P(X=4)=3*(1/36)=1/12(三种组合(1,3)(3,1)(2,2)P(X=5)=4*(1/36)=1/9(四种组合(1,4)(4,1)(2,3)(3,2)P(X=6)=5*(1/36=5/36(五种组合(1,5)(5,1)(2,4)(4,2)(3,3)P(X=7)=6*(1/36)=1/6(这里就不写了，应该明白吧)P(X=8)=5*(1/36)=5/36P(X=9)=4*(1/36)=1/9P(X=10)=3*(1/36)=1/12P(X=11)=2*(1/

3、36)=1/18P(X=12)=1*(1/36)=1/36以上是X的分布律投两次最小的点数可以是1到6里任意一个整数，即Y的取值了.P(Y=1)=(1/6)*1=1/6一个要是1,另一个可以是任何值P(Y=2)=(1/6)*(5/6)=5/36P(Y=3)=(1/6)*(4/6)=1/9P(Y=4)=(1/6)*(3/6)=1/12P(Y=5)=(1/6)*(2/6)=1/18P(Y=6)=(1/6)*(1/6)=1/36以上是Y的分布律了.一个是2,另一个是大于等于2的5个值一个是3,另一个是大于等于3的4个值一个是4,另一个是大于等于4的3个值一个是5,另一个是大于等于5的2个值一个是6,

4、另一个只能是64 .设在15个同类型的零件中有2个是次品，从中任取3次，每次取一个，取后不放回.以X表示取出的次品的个数，求X的分布律.解:X=0,1,2X=时，P磕=三c彳X=1时,PL一L15X=2时,PL-L1512351355 .抛掷一枚质地不均匀的硬币的分布律.解:PX=k=_：j：g”；d*k,2，每次出现正面的概率为一,连续抛掷8次，以X表示出现正面的次数，求X3k=1,2,3,86 .设离散型随机变量X的分布律为X-123P111424解:25),P(-X-|,P2X31P2X32,I2)4pf-x-l=132J2P2X3)=-+-=-2441P2X2=l-PX=0-PX=l=

5、1-隘(0耐(Q册产温00饿耐(0嬲产=l-e-011-flle11=1-0.9048一0.0905=0,004710 .一电话交换台每分钟收到的呼唤次数服从参数为4的泊松分别，求：(1)每分钟恰有8次呼唤的概率；(2)每分钟的呼唤次数大于10的概率.解:(1)PX=8=PX8-PX9=0.051134-0.021363=0.029771(2)一一一:习题2.21 .求0-1分布的分布函数.0湛12 .设离散型随机变量X的分布律为：X-123P0.250.50.25求X的分布函数，以及概率PL5Jf0.5.解:惚一，一.一.:一常一14x2碌F(x)=PXx=PX=1=025;富24x3除心=

6、PXx=PX=-1+PX=2+PX=3=025+0.5+0.25=1；则X的分布函数F(x)为：0.xT0.25,-1x20.75,2x31,x3P15X05=1-F(0,5)=1-025=0J53 .设Fi(x),E(x)分别为随机变量Xi和X2的分布函数，且F(x)=aF(x)-bE(x)也是某一随机变量的分布函数证明a-b=1.证:：,二:：二；二一二.：=14 .如下4个函数，哪个是随机变量的分布函数：(0,x0J0,i0(2)F2(x)=sinx7QxnfOjx0sinx,0以:L心r0,r0Iii%。芯3(Lx或5 .设随机变量X的分布函数为F(x)=a+bjrctanx,-G；(

7、工求(1)常数a,b;(2)一卜断切解：(1)由分布函数的基本性质F(-3)=O,F(+3)=1得：a+b*(柒=0a+b*(；)=l解之a=-,bH2ITITTlJI(将x=1带入F(x)=a+barctanx)注：arctan为反正切函数，值域(-),arctan1=-2246.设随机变量X的分布函数为r0,煞1F(x)=lnxT1xe11,e求-二解:PX42=F=M2注:F=PXxP0/3=F(3)-F0=1-0=1;P2X42.5=F(2.5)-F2)=Inl5-ln2=M?=lnl.25习题2.31.设随机变量X的概率密度为：J11acos%|x|-：闻=；甘心20其他求：常数a;

8、(2)P0*；(3)X的分布函数F(x).解：(i)由概率密度的性质/“卜他二L(27n/甯、=asin-+asin-=a+a=1acosxdx=asinx|=asinasin一一J_2U221A=?。叫：=(力唱血(0)=*+刎一些常用特殊角的三角函数值正弦余弦正切余切0010不存在无/61/2V3/2V3/3V3兀/4M2/2M2/211无/3V3/21/2V3V3/3无/210不存在0冗0-10不存在(3)X的概率分布为：f芯0,xV2F(x)=J-C1+的冀).一无乂3J上上2 .设随机变量X的概率密度为f(x)=白限电一8X+00,求：(1)常数a;(2)P0X1；(3)X的分布函数

9、.解：(1)。f(x)dx=aexdx+1、-辿=a+a=1,即a=庠球茕修)癖由。3 3)X的分布函数(弓叽x0L3 .求下列分布函数所对应的概率密度：(1) ：仍我0x(指数分布)x00,x0sinxj0x-cosx?解：&6)nQj”唱(均匀分布)其他4 .设随机变量X的概率密度为!苟0x12X,1x(2)pgXa解：x,Ox1例2设Xf(x)=2-x,x*注意分段求.工，0x1*7O)=2Ix2LQ其它尸(*)=rjwJ-oo/。x0oai)=加j.+1(2-rWrx2Qx2产(X)=；22x-lLx00x1TIx2i2（1） P*X-=1-F（-=1=1-=-L2）2728S（2）（

10、2）pf-X-）=Ff-）-F（-）=（2*-l-2-匕2）2J2/I225 .设K在（0,5）上服从均匀分布，求方程4代+4Kx-K-2=0有实根的概率.（利用二次式的判别式）解：KU（0,5）0x5f（K）=5（口，其他方程式有实数根，则-二-三2K-1故方程有实根的概率为：1PK2=I-dx=0.6_6 .设XU（2,5）现在对X进行3次独立观测，求至少有两次观测值大于3的概率.解:PK3）=l-F（3）=l-=-至少有两次观测值大于3的概率为:5-237 .设修理某机器所用的时间X服从参数为人=0.5（小时）指数分布,求在机器出现故障时，在一小时内可以修好的概率.解:岑8 .设顾客在某

11、银行的窗口等待服务的时间X（以分计）服从参数为人A的指数分布，某顾客在窗口等待Y的分布律YP0-8413-(1-0,6915)=0.532810-3即C=3POX1x0,12l-0(x)c=l-PXPXc+PXc=(3,5)-1-虱35)=0.9998-0。002=0599601234510.设XN(0,1)设x满足P|x|x0,95即:1.65子711.XN(100)，求:(i)工7：加；理(2)一：一解：(i)叩1(用-+型卜4(2.5)-1-。(均卜0.9938-0.0668=0927(2)-。/10+d-10x/10-d-10=*(-j-4(-j0.9二中g卜站d经查表I即d=3.32

12、12 .某机器生产的螺栓长度X(单位:cm)服从正态分布N(10.05QO6：)，规定长度在范围10.05:0.12内为合格，求一螺栓不合格的概率.解：螺栓合格的概率为：P(10t05-042Jf10.05+012=P953J?-*k0.06/0.06/=仪2)-1-蚁2=0.9772*2-1二0.9544螺栓不合格的概率为1-0.9544=0.045613 .测量距离时产生的随机误差X(单位:m)服从正态分布N(20,4()2).进行3次独立测量.求:(1)至少有一次误差绝对值不超过30m的概率；(2)只有一次误差绝对值不超过30m的概率.解：P-300,0,y0”胴二1航/；如A二iliy

13、=f/l：y)二二JJ11flT.ply4t即fy(y)=fY(y)=fx(h(y)l(y)i=i*-=-OJ1 0.其他注：由XU(0,1)，丫=3X+1，当X=0时,Y=3*0+1=1;,当X=1时,丫=3*1+1=4？必。不一“工)一|心二11fyCy)=f(h(y)lhr(y)l=l-=-oy4即；-一(0,其他注：，当x=0时,丫二点二o；,当x=1时,Y=g1二24 .设随机变量X的概率密度为(32&出二更1I0Ia其他.求以下Y的概率密度：(1)Y=3X;(2)Y=3-X;(3)二：解：(1)Y=g(x)=3X,X=h(y)=-,h(y)=：Y21Y2fy(y)=fx(h(y)l

14、hr(y)=-*-=Oclo(2)Y=g(x)=3-X,X=h(y)=3-Y,-1fY(y)=fx(h(y)lH(y)|=；*(:璋-Y)z”.A3y4,0.其他注意是绝对值&S=0(h的I的|=手白占uVA3五z、I,0y0是,15 .设X服从参数为入=1的指数分布，求以下Y的概率密度:(1)Y=2X+1;(2)二三(3).二解：Y=g(x)=2X+1,-2,二X的概率密度为：Jx0,0,x0fy(y)=fK(h(y)lh)|=Ae-x*即&(y)=二心;二1;=.忘;工地4)二:111111fY(y)=虱血)1N(y)|=/丫3=蠲qrw!1仁XAjLJL工豳/秒*2威瞅fv(y)=4(h

15、(y)l踮).看$=看产1I6.XN(0,1)求以下Y的概率密度:其他二三二厂二,1解：(1).一一:A一二；一二二/一11fvfx)=-Je-2ff2-00X0yo(2)Y=g(x)=2X1+11X=h(y)=j,hr(y)=j422狞iq苧)tify(y)=&(h(y)|hf(y)|=-=e2*=/千V2n2JlEl27ir(y-l)fi士即一.0,y1自测题一,选择题1,设一批产品共有1000件,其中有50件次品，从中随机地，有放回地抽取500件产品,X表示抽到次品的件数，则PX=3=C.aE9下33=PX=4=。2；T：。,2T(二项分布)3 .设随机变量X的分布函数为F(x)，下列结

16、论中不一定成立的是D.A.F(+oo)=1B.F-句=0C.0F(x)1D.F(x)为连续函数4 .下列各函数中是随机变量分布函数的为BA.三：1 f1+r0,B.F2(x)=xz0D.31F4(x)二+不arctanXj-co工10厂,八则吊数a=A.10不晓得为何课后答案为D1A.-10B.潮C.D.10500解：F(x)r+a.ad一二.1xa工Vb6 .如果函数f(x)=0其他是某连续型随机变量X的概率密度，则区间a,bl可以是CA.0,1B.0,2C.D.1,27 .设随机变量X的取值范围是卜1,1,以下函数可以作为X的概率密度的是A:-1%1(2,-1xlA,。，其他吨其他fx,-

17、1X1(x2,-1X1C.=.；”/X；j0x28.设连续型随机变量X的概率密度为f(x)=2则P-1X&1)=B.0,其他A.0B.0.25C.0.5D.1解：P14Xl=f-dx=-1=-J-124-149.设随机变量XU(2,4)则P3X4=A.(需在区间2,4内)a.P225i3,25b.PUz25c.P3(Sx45d.P4,5z0)的泊松分布，且PX二0)二；P(二2,则入=2亦解:分别将.i.P.5 .设随机变量X的分布函数为OfxaF(x)=O4?azb其中0ab,则P，Y-卜_0.4.l22J解#1噌=偿)-刑=04-0=04LZ22/2l6 .设X为连续型随机变量，c是一个常

18、数，则PX=c=0.7 .设连续型随机变量X的分布函数为(：铲,篮V0-(x+1),0x2山、，Li口I则X的概率密度为f(x)，则当x0是f(x)=-e.2iHp_2xrSn8 .设连续型随机变量x的分布函数为F(x)=J其中概率密度为则f(i)=二.-ax0耍使：二01其他9 .设连续型随机变量X的概率密度为f(x)=2a3.41*21fl?：pxi=i-pUi=；,pU(X)为其分布函数，则Q(X)+0(-X)=1.11 .设XN内吟,其分布函数为F(x)g(x)为标准正态分布函数，则F(x)6(x)之间的关系是12 .设XN(2,4)则PX2=0.5.13 .设XN(5,9),已知标准正态分布函数值3(05)=06915，为使PXq0.6915，则常数a6.5.解：F(a)二01Uj=F，?4514 .设XN(0,1)贝UY=2X+1的概率密度,心)=弱=e3解：Y-l1Y=