积分不等式的证明

1、积分不等式的证明一、证明常用的性质性质1函数的代数和的积分等于各个函数积分的代数和bbbk1f(x)+k2g(x)dx=k1(f(x)dx+k21g(x)dx其中k1,k2都是常数。性质2如果在区间a,b上f(x)=1，则11d(x)=fd(x)=ba。aab性质3如果在区间a,b上f(x)之0,则f(x)dx>0(a<b)0,abb性质4如果在区间a,b上有f(x)至g(x)则(f(x)dx2(g(x)dx(a<b)aabb性质5ff(x)dx<ff(x)dx(a<b)Laa性质6(估值定理)如果M和m分别是f(x)在区间a,b上的最大值和最小b值，则有m(b-

2、a)<ff(x)dx<M(b-a),(a<b)。a性质7如果函数f(x)在区间上可积，c是a,b内的一点(a<c<b),则函数bccf(x)在a,c及c,b上也可积，并且f(x)dx=f(x)dx+Jf(x)dx。1aab性质7的证明：对于a,b的任意划分，在插入一个分点c,得到一种新的分划。在这些心的分划中，点c永远是一个分点，因而有Zf(1)Ax=£fG)Axi+£f(，)&x(a,b)(a,c)(c,b)bcb令九t0,上式两端同时取极限，就得到f(x)dx=ff(x)dx+ff(x)dx。a-a-c积分中值公式如果函数f(x)在

3、闭区间a,b上连续，则在积分区间a,b上至少存在点-,使得f(x)dx=f(：)(ba),(aw七Wb)。a证明：因为f(x)在闭区间a,b上连续，故在a,b上可积，且有最大值M及最小值m,即mMf(x)MM(aMb)于是，由定积分的估值定理，有bm(b-a)Mf(x)dxM(b-a),(a二b)a1b江息b#a,将上面各式除以b-a,得mWff(x)dxMb-aa.、一1b可见确定的数值1=f(x)dx介于连续函数f(x)在闭区间a,b上最大值b-aaM与最小值m之间。根据闭区间上连续函数的介值定理，在a,b上至少存在b一点:,使得f(0=R,即f仁)=f(x)dx,(a"<

4、b)b-aab亦即af(x)=fK)(b-a),(aMb)这个公式叫做积分中值公式(积分第一中值定理)，f代)叫做函数f(x)在区问a,b上积分平均值。性质8若f,g都在a,b上可积，则f,g在a,b上也可积。baa性质9af(x)dx=f(x)dx特别的f(x)dx=0。性质10(积分第二中值定理)：若f(x)是a,b上单调函数，g(x)为可积函b'b数，贝UmEua,b,使得/f(x)g(x)dx=f(a)Lg(x)dx+f(b)g(x)dx。性质11(柯西不等式)ff(x)g(x)dx2</f2(x)dxfg2(x)dx牛顿一莱布尼兹'a'a'a公式

5、(重要公式)若函数f(x)在a,b上连续，F(x)为f(x)的一个原函数，即F(x)=f(x),xwa,b,且jf(x)dx=F(b)F(a)a变限积分设f(x)在a,b上可积，对于任给xWa,b,f(x)在a,x和x,b.，xb上均可积，分别称ff(t)dt和f(t)dt为变上限的积分和变下限的积分，统称为ax变限积分。若f在a,b上连续，则其变限积分作为关于x的函数，在a,b上处处可导，且(xf(t)dt)=f(x),(bf(t)dt)二一f(x)dxadxx更一般的有。()f(t)dt=fg(x)g(x)-fh(x)h(x)dx力(刈二、积分不等式的证明例1.设f(x)在a,b上有一阶连

6、续导数，且f(a)=0,证明：.b(b-a)2|af3dxi一好器1f(x)|b2af(x)dx.：(b-a)2bf(x)dxa分析：(1)该不等式实际上给出了左边积分的一个界。若令M=max|fx)|,x=a,b则有|f(x)区M,即给出了导数的界，再加条件f(a)=0,估计出|f(x)|<M(x-a),xea,b,进而估计出积分的界。x(2)不等式两边分别有f(x)和(x),而等式f(x)=f'(x)dx+f(x0)可将两x者联系起来，这里x。要根据具体问题具体选择，本题中容易想到x°=a。证明：(1)令M=max|(x)|,由积分中值定理知f(x)=f(x)-f(

7、a)=f()(x-a)从而|f(x)|=|f()(x-a)|<M(x-a),xa,b2bbb(b-a).所以|f(x)dx|_|f(x)|dx-M(x-a)dx=Ma-aa2xx(2)f(x)=dt+f(a)=fdt,则aa一x_xx2b-f2(x)=f(t)dt2<1dtf(t)2dt<-5-f(x)2dx,a'a'a2'a2一b2b2b(ba)2b2故f2(x)dx<f(t)2dt(x-a)dx<A"f(x)2dxaaa2a例2.比较定积分jexdx与(1+x)dx的大小。解：(用性质3)设f(x)=ex1x,我们只需判别f(

8、x)在0,1的正负号,因f(x)=ex1之0,f(0)=0，故f(x)之0。11所以ge'dxa1(1+x)dx。例3.设函数y=f(x)定义在区间a,b上，且对于区间a,b上任意二点x1,x2,有f(X)-f(x2)Wx1x2。证明，(1)对于(a,b)内每一点，f(x)是连续函数；,1,b1o(2)如果f(x)在a,b上可积，则af(x)dx(ba)f(x)M2(b-a)。证明：(1)任给xw(a,b),由题设知,y=|f(x+Ax)-f(x)<Ax.于是当Axt0时，©T0,故f(x)连续。(2)当x之a时，有f(x)-f(a)Mx-a=x-a,即f(a)-(x-

9、a)<f(x)<f(a)+(xa)。bbb两边积分，可得f(a)-(x-a)dx<ff(x)dx<ff(a)十(x-a)dxLa1a、a22即-a_f(x)dx-(b-a)f(a)<3(b-a)2o22a2故有f(x)-(b-a)f(a)<a例4.设f(x)在a,b上有二阶连续导数，M=max|f"(x)|,证明:xa,bb,abM3If(x)dx-(b-a)f(-)|(b-a)a224方法1:由泰勒公式有abab、/a-b.1ab、2f(x)-f()f()(x-)-f()(x-)22222b两边在a,b上积分并注息到(x-)dx=0得a2bab1

10、b.a，baf(x)dx=(b-a)f(2-)+±Lf(-)(x-2)dx,从而得3bab1b.ab2Mbab2M(b-a)|f(x)dx一(b-a)f(-)|=-|f()(x-)dx|(x-)dx=a22a22a224x万法2:令F(x)=ff(t)dt,则F(x)=f(x),F(x)=f(x),F(x)=f(x)且,abf(t)dt=F(b)-F(a)(牛顿-莱布尼兹公式),a由泰勒公式有:F(b)=F(F(a)=F(S).F(5)F(U)(小尸222222ab)F(a%"。1F(a'尸一4222222.LUU)62.F(2)(a-b)62(1)由(1)-(2)

11、得aHb(b-a)3F(b)-F(a)=F(一)(b-a)(b-(F(i)-F(2)2483f(x)(U(i止三1f(2)M3例5.设f(x)为0,1上的非负单调非增连续函数(即当x<y时，f(x)f(y)证明：对于0<P<1,有下面的不等式成立f(x)dx之',/f(x)dx。证法1:(用积分中值定理)由题设及中值定理有f(x)dx=f(1)(-：)<f(a)(-a),(：一1)a1：1：从而一f(x)dx_f(a)f(x)dx:.0、，、，：_：-PaP因此可得(-1)°f(x)dx:二.f(x)dxajetot(1-.)f(x)dx_.f(x)d

12、xp-0:_aaQfp又因0<a<P<1,所以1一百<1,故！f(x)dx2gQf(x)dx。证法2:(用性质3)，一«.aP一八、，分析：If(x)dx之b£f(x)dx可化为aPocPPf(x)dx至aQf(x)dx=PIf(x)dx-af(x)dx>0aP将P换成x(x±a),于是辅助函数F(x)=x(f(t)dt-af(t)dt.人0tp令F(x)=x0f(t)dt"lf(t)dt.(x-)F(x)=；f(t)dt-：f(x)=,0：f(t)dt-.0：f(x)dt=ff(t)-f(x)dt之0(因为f(x)单调递减

13、)所以F(x)单增，又因为F(a)=a/f(t)dtA0pA0,f(x)>0)-opu艮f(x)dx-«Tf(x)dx>0故0f(x)dx>f(x)dxo例6.设a>0,函数f(x)在0,a上连续可微,证明：f(0)|0f(x)dx+(|fx)dx。证法1:因为f(x)在0,a上连续可微a所以积分J0(a-x)f'(x)dx存在，且aa0(a-x)f(x)dx=0(a-x)df(x)_af(0)=0(a-x)f(x)dx-,0f(x)dxa=(a-x)f(x)0-0f(x)d(a-x)a=-af(0)of(x)dx因为af(x)<1(ax)f&#

14、39;(x)dx+f(x)dxj0(a-x)fx)dx+j0|f(x)dxWaf'(x)dx+f|f(x)dx所以|f(0)M；(a|f(x)dxa11f'(x)dx证法2:因为f(x)连续，由积分中值定理，存在Cw0,a,使得又因为f(E-f(0)=0f'(x)dx所以|f(0)=«)_(f(x)dx<f(?)aaa一f(x)dx+j0|f'(x)dxaIf'(x)dx<1aaa0f(x)dx0f(x)dx例7.设f(x)为a,b上的连续递增函数，则不等式成立:bxf(x)dx之baf(x)dx(D证明：(用性质10)(2)要证(

15、1)式只要证明f(x-ab)f(x)dx>0a2由于f(x)单调递增，利用积分第二中值定理(性质10),则存在Uwa,b,bab使a(、。)f(x)dx.ab.bab=f(a)a(x-)dxf(b)(x-)dx222,ba，b,ba，b=f(a)，(x)dx+f(b)f(a)8x)dx2-2<f(b)-f(a)-a-(b-)22一一b-=f(b)-f(a)2(-a).0故(2)成立，原不等式成立。例8.柯西不等式的证明。bbb证明：柯西不等式为f(x)g(x)dx2<ff2(x)dxg2(x)dxaaabbb9b9设(u)uaf(x)g(x)dx-af(x)dxag(x)dx

16、显然中(u)在a,b上连续，在(a,b)内可导，且,z.u2u22u2u(u)=2f(u)g(u)Jf(x)g(x)dx-f(u)fg(x)dx-g(u)Jf(x)dxaaa=2Jf(u)g(u)f(x)g(x)dx-1f2(u)g2(u)dx-/f2(x)g2(u)dx=£f2(u)g2(x)2f(u)g(u)f(x)g(x)+f2(x)g2(u)dxu2=-af(u)g(x)-f(x)g(u)dx<0a所以中(u)在a,b上单调减少，则中(b)EW(a)=0,即干(b)=Jf(x)g(x)dx2-bf2(x)dx/g2(x)dx<0aaa得到结论ff(x)g(x)dx

17、2<bf2(x)dxfg2(x)dx。aaa例9.设f(x)的一阶导数在0,1上连续，且11f(0)=f(1)=0,求证：f(x)dxE；暝f<x)111证明：由于ff(x)dx=ff(x)d(x-).,1、11,1、，=f(x)(x-2)0-j,0(x-)f(x)dx1 1.-0(x-£)f(x)dx.因此有积分中值定理及基本积分不等式，有x-1dx21111(f(x)dx<.0(x万)f'(x)dx=gf'(x)，11=fV)0x-dx,0,1.xdx=2dxT111102(2-x)dx八x一万)1 1.一1、所以1f(x)dx、|f住)、嘤f(

18、x)。例10.函数f(x)在0,1上有定义且单调不减，证明：对于任何aw(0,1),有a10f(x)dx-a0f(x)dx。证明：(分析：用换上限法)由0<a<1,对t>0,有0<at<t.又由于f(x)在0,1上单调不减，有ax旬111f(at)>f(t),从而0f(x)dx=aj0f(at)dt之af(t)dt=a(f(x)dx例11.设f(x)是a,b的连续函数，而且是非负和下凸的，f(0)=0求证:一11一f(x)dxWgf(x)dxo1x:i证明：令(x)=Jf(t)dt-f(t)dt,则11x11x(0)=0,(x)=4f(x)2f(2)=4f(

19、x)2f(2)+f(0)x1_.由于f(x)下凸的,故f(-)<-f(x)+f(0)o22所以(x)之0,(x)在0,1上单调增加，从而(x)之(0)=0即x0,11特别，当x=1时，0f(t)dt10f(t)dt。1x-0f(t)dt-)二2(-t)f(t)dt>0,其中,例12.设f(x)在a,b上二阶可导，且f"(x)<0,求证:b.abff(x)dx<(b-a)f()0a-x证明：令(x)=(x-a)f()-2a-x1ax(a)=0,6(x)=f(ja-)+1(x-a)fHea-)f(x)222二f”.匕f()f”.f-f()=222222222&qu

20、ot;f()()2022bab所以，6(x)之0。特别的有(b)>0O即f(x)dx<(b-a)f(-ayb)0例13.求证:2sinx1x2ji2cosx,7dx。)1x2一.一入inv5分析：只要证I=f2s1nxcosxdx<0,利用三角函数之间的相互转换及定积01x2分的性质证之。证明：设7sinx-cosxx2dx=Nsinx-cosx1x2,2sinx-cosxdx21x2在I2中，令nrx=t,贝UI20sint-cost,二7dt241(-t)22冗一dX4cost-sint2)-n-2/V十x2)dx22：(sinx-cosx)1(-x)(cosx-sinx)(