椭圆常见题型与典型方法归纳

1、椭圆常见题型与典型方法归纳考点一椭圆的定义椭圆的第一定义：我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数2a(2aA|F1F2)的点的轨迹叫做椭圆.这两定点Fi,F2叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距e=(0<e<1)的动点M的a,这个常数e是椭圆的离心椭圆的第二定义：我们把平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数轨迹叫做椭圆.这个定点是椭圆的焦点，这条定直线叫做椭圆的准线率.注意：当平面内与两个定点F1,F2距离的和等于常数2a(2a=FR)的点的轨迹是线段F1F2；当平面内与两个定点F1,F2距离的和等于常数2a(2a<|FF2)的点的轨迹不存

2、在.例动点P到两个定点F1(-4,0)、F2(4,0)的距离之和为8,则P点的轨迹为A、椭圆B、线段F1,F2C、直线Fi,F2D、不能确定考点二椭圆的标准方程标准方程1焦点在x轴上标准方程是：土La2b2=1(其中b2-c2,a>b>0).焦点的坐标分别为(c,0),(c,0)2焦点在y轴上标准方程是：22。点2=1(其中b2a2b2-c2,a>b>0).焦点的坐标分别为。一c),(0,c)3焦点位置判断22xy哪项分母大焦点就在相应的轴上如求一+2=1的焦点坐标794椭圆过两定点，22焦点位置不确te时可设椭圆方程为mx+ny=1(其中m>0,n>0)例

3、已知椭圆过两点.15.3_A(,-1),B(-,2),求椭圆标准方程42225与二十自=1(a>b>0)共焦点的椭圆为a2b222xy二1a2kb2k重难点问题探析1.要有用定义的意识例已知F1,F2为椭圆22土工259=1的两个焦点，过Fi的直线交椭圆于A、B两点若F2A+F2B=1222i则AB=2.标准方程要注意焦点的定位例椭圆+=1的离心率为一，m=4m2练习.1如果方程x2+ky2=k表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为222点P在椭圆x-+匕=1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，求点P的横坐标259考点三椭圆的简单几何性质标准方程22。十冬=1(a&g

4、t;b>0)ab22-yy+当=1(a>b>0)ab图形i二_:,F1-a1MJM/-1下1L范围-a<x<a1,-b<y<b-a<y<a,-t)<x<b对称性关于原点对称x轴和y轴是椭圆的对称轴顶点(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b)(b,0),(-b,0),(0,a),(0,-a)离心率ce=-(0,1)a焦点(c,0),(c,0)(0,c),(0,-c)焦距|F1F2=2c(其中c2=a2b2)长轴长2a短轴长2b准线方程2ax=±-c2+且y=±c通径d*a二典型练习22i.椭圆上+_L

5、=1的长轴位于轴，长轴长等于；短轴位于轴，短轴长等于；焦点在轴上，焦点坐标43分别是和；离心'率e=;左顶点坐标是；下顶点坐标是；椭圆上点的横坐标的范围是,纵坐标的范围是;*0+丫0的取值范围是。2.(1)若椭圆短轴一端点到椭圆一焦点的距离是该点到同侧长轴一端点距离的3倍，则椭圆的离心率(2)若椭圆的长轴长不大于短轴长的2倍，则椭圆的离心率e(3)若椭圆短轴长的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则椭圆的离心率e=。考点四点、线与椭圆的位置关系一-.一x2v2_.一一一点p(x0,y°)和椭圆-y+=1(aAba0)的位置关系ab2222一，一八x0y0,一，一，x0y0(

6、1)点p(x0,y0)在椭圆外u矢十号-aI(2)点p(%,y0)在椭圆上u号"+*=1abab22(3)点p(x°,y°)在椭圆内u容+4<1ab二.直线与椭圆的位置关系：1判断直线与椭圆相交仁A0;直线与椭圆相切a=%直线与椭圆相离u&<02.弦长问题(1)步骤：由椭圆方程与直线l方程联立方程组；消元得一元二次方程；用韦达定理写成两根和积(2)弦长公式直线y=kx+b(k却)与椭圆相交于A(x1，yjB(x2,y?)两点，则当直线的斜率存在时，弦长公式：l=J1+k2|x1一x2=v(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2当k存在且不为零时

7、l=i,1+'21yl-y2=<1+'rd(yi+y2)2-4yly2。VkVk三常用方法22xy.1设而不求法例经过椭圆一+匚=1的右焦点作一条斜率为-1的直线，与椭圆相交于A,B;43(I)求线段AB的中点的坐标；(II)求线段AB的长2点差法例求椭圆x2+2y2=1中斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程22小结】设A(x1，y2),B(x2,y2)是椭圆，+<=1上不同的两点，且xwx2,x+x2w0,M(x0,y°)为AB的中ab点，则两式相减可得之土，也x1廿2x1x2b2a223.中点弦问题：例若椭圆2L工=1的弦被点369(4,2)平分，则此弦所

8、在直线的斜率为练习：设Fi、F2分别是椭圆22x,y+=1的左、54(1)若P是该椭圆上的一个动点，求PF1PF2的最大值和最小值；(2)是否存在过点A(5,0)的直线l与椭圆交于不同的两点C、D,使得|F2c|=|F2D|?若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由.考点五焦点三角形的性质及应用定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形设P(x0,%)为椭圆上一点,|PFi|=ri,|PF2|=i%/F1PF2)1方法(1)定义：/r2=2a(2)余弦定理：(2c)2=r2+2rj2cose1.1一(3)面积S加正=3和5日二2cy2性质已知椭圆方程为22xyf+2"

9、;=1(a>ba0),左右两焦点分力U为F1,F2,在焦点PF1F2中，则ab2.1S.Epf2=btan2若ZF1PF2最大，则点P为椭圆短轴的端点cos9>1-2e2.22例已知椭圆1+1=1(aAb>0)的两焦点分别为Fi，F2,若椭圆上存在一点P,使得/FPF2=120°,求椭圆ab的离心率e的取值范围。练习已知椭圆的焦点是Fi(-1,0)、F2(1,0),P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PFi|和|PF2|的等差中项求椭圆的方程；(2)若点P在第三象限，且/PF1F2=1200求tanF2PF.考点六椭圆标准方程的求法一常用方法：1定义法，2待定系数法步

10、骤定位：确定椭圆的焦点在哪个坐标轴上；设方程：根据焦点位置设出相应方程；定值：根据题目条件确定相关的系数。223当椭圆过两te点时，其标准万程可设为mx+ny=1(m>0,n>0),二应用示例1.定义法例1已知4ABC的顶点B,C的坐标分别为(4,0),(30),AB边上的中线CE与AC边上的中线BF交于点G,且GF|+|GE|=5,求点G的轨迹方程.例2求到两定点F1(3,0),F2(3,0)的距离和等于10的点的轨迹方程.练习1已知B,C是两个定点BC长等于8,且ABC的周长等于20,求顶点A的轨迹方程2已知4ABC三边AB,BC,CA的长成等差数列，且AB长大于CA长，点B,

11、C的坐标为（-2,0）,（2,0）,求顶点A的轨迹方程，并说明它是什么曲线22F2,I且FiF21=8,弦AB过点F1，则4ABF2的周长XV已知椭圆一2+'=1(a>5)的两个焦点为Fi,a25椭圆的两个焦点是（索,0）,（*；'6,0）,过点（J6,i）,求椭圆的方程。待定系数法例已知椭圆的焦距离为2而且过点（瓜后，求焦点在x轴上时的标准方程.3.轨迹法例ABC的顶点A,B的坐标分别为（-4,0）,（4,0）边AC,BC所在直线的斜率之积等于-9,求顶点C的轨迹方16程，并说明其轨迹是什么曲线；三典型练习练习1.求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别

12、是（一4,0）,（4,0）,椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10;35.（2）两个焦点的坐标分别是（0,2）、（0,2）,并且椭圆经过点（-一，一）；22（3）长轴长是短轴长的3倍，并且椭圆经过点A（-3,而）22练习2.已知点P（3,4）是椭圆三十.=1（a>b>0）上的一点，F1，F2是它的两焦点，若PFJPF2,求a2b2椭圆的方程(2)WPFi的面积.22.3根据下列条件求椭圆的标准方程和椭圆£=1共准线,且离心率为3.(2)已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为3#和三片，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点33考点七椭圆定义与性质的应用一

13、定义的运用二椭圆的几何性质应用22xV1、基础知识例对椭圆一+工=1,求(1)回出草图焦点，焦距(3)顶点，长轴的长，短轴的长，259(4)离心率，(5)左右准线方程，(6)P是椭圆上动点，则P到左焦点的距离最值.(-3,0)练习求椭圆的标准方程(1)长轴是短轴的2倍，经过点(4,0)(2)一个焦点为(2,0),经过点(3)一个焦点为(2,0),一条准线方程为X=Y(4)长轴在x轴上，一条准线方程是x=3,离心率为2离心率方法：求椭圆离心率e时，只要求出a,b,c的一个齐次方程，再结合a2=b2+c2就可求得e(0<e<1).221例若椭圆+-=1的离心率是一，则m等于2m2一222若A、B是椭圆与+4=1(aAb0)上的两个顶点，F是右焦点，若AB_LBF,求椭圆的离心率ab22xV练习1设已知椭圆r+=i(a>b>0)的右焦点为