概率统计大题题型总结理学生版

1、统计概率大题题型总结题型一频率分布直方图与茎叶图例1.2021广东理17某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如下图,其中茎为十位数,叶为个位数.第17题图I根据茎叶图计算样本均值；n日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人,根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人；m从该车间12名工人中,任取2人,求恰有名优秀工人的概率.例2.2021新课标II理经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出t该产品获利润500元,未售出的产品,每t亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如下图.经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品,以

2、X单位:t,100X150表示下一个销售季度内的市场需求量,T单位：元表示下一个销售季度内销商该农产品的利润.I将T表示为X的函数；II根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；田在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率例如：假设X100,110,那么取X105,且X105的概率等于需求量落入100,110的概率,求利润T的数学期望.变式1.12021高考重庆,理3】重庆市2021年各月的平均气温°C数据的茎叶图如下：那么这组数据的中位数是A、19B、20C、D、23变式2.12021高考新课标2,理18此题

3、总分值12分某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：6273819295857464537678869566977888827689B地区：7383625191465373648293486581745654766579(I)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比拟两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,得出结论即可)；B地区A地区456789(n)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不两点、丫两点、非常泓忠

4、记时间C:“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级.假设两地区用户的评价结果相互独立.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C的概率.变式3.(2021辽宁理)电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图；将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷.(I)根据条件完成下面的22列联表,并据此资料你是否认为“体育迷与性别有关(n)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽样方法每次抽取1名观众,抽取3次,记被抽取的

5、3名观众中的“体育迷人数为X.假设每次抽取的结果是相互独立的,求X的分布列,期望E(X)和方差D(X).变式4【2021新课标I理18(本小题总分值12分)从某企业的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图：(I)求这500件产品质量指标值的样本平均数X和样本方差s2(同一组数据用该区间的中点值作代表)；(H)由频率分布直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(,2),其中近似为样本平均数X,2近似为样本方差s2.(i)利用该正态分布,求P(187.8Z212.2);(ii)某用户从该企业购置了100件这种产品,记X表示这100件产品中质

6、量指标值为于区间(,)的产品件数,利用(i)的结果,求EX.附：比5"假设ZN(,2),那么P(Z)=,P(2Z2)=.题型二抽样问题例【2021高考广东,理17】某工厂36名工人的年龄数据如下表:工人编P年龄工人编p年龄工人编p年龄工人编p年龄140103619272834244113120432939340123821413043441133922373138533144323343242640154524423353745163925373437842173826443549943183627423639(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本,且在第一分段里用随机抽

7、样法抽到的年龄数据为44,列出样本的年龄数据；(2)计算(1)中样本的平均值x和方差s2;(3)36名工人中年龄在xs与xs之间有多少人所占的百分比是多少(精确到)变式(2021天津卷文)为了了解某工厂开展群众体育活动的情况,拟采用分层抽样的方法从A,B,C三个区中抽取7个工厂进行调查,A,B,C区中分别有18,27,18个工厂(I)求从A,B,C区中分别抽取的工厂个数；(n)假设从抽取的7个工厂中随机抽取2个进行调查结果的比照,用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率.题型三古典概型有限等可能事件的概率在一次实验中可能出现的结果有n个,而且所有结果出现的可能性都相等.如果事件A包含的

8、结果有m个,那么P(A)=m.这就是等可能事件的判断方法及其概率的n计算公式.高考常借助不同背景的材料考查等可能事件概率的计算方法以及分析和解决实际问题的水平.例题1【2021高考天津,理16(本小题总分值13分)为推动乒乓球运动的开展,某乒乓球比赛允许不同协会的运发动组队参加.现有来自甲协会的运发动3名,其中种子选手2名；乙协会的运发动5名,其中种子选手3名.从这8名运发动中随机选择4人参加比赛.(I)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会求事件A发生的概率；(II)设X为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.例2【2021高考安徽,理

9、17】2件次品和3件正品放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.(I)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(n)每检测一件产品需要费用100元,设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元),求X的分布列和均值(数学期望).变式1【2021高考重庆,理17】端午节吃粽子是我国的传统习俗,设一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2个,肉粽3个,白粽5个,这三种粽子的外观完全相同,从中任意选取3个.1求三种粽子各取到1个的概率；2设X表示取到的豆沙粽个数,求X的分布列与数学期望变式2

10、2021天津理一个盒子里装有7张卡片,其中有红色卡片4张,编号分别为1,2,3,4;白色卡片3张,编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片假设取到任何一张卡片白可能性相同.I求取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率.H再取出的4张卡片中,红色卡片编号的最大值设为X,求随机变量X的分布列和数学期望.题型四几何概型-无线等可能事件发生的概率例1【2021高考湖北,理7】在区间0,1上随机取两个数x,y,记R为事件“xy12AP1P2P3C.P3P1P2的概率,p2为事件|xy|1"的概率,p3为事件“xy1的概率,那么B.P2P3P1D.P3P2P1变式1【2021高考福建,理13

11、如图,点A的坐标为1,0,点C的坐标为2,4,函数fxx2,假设在矩形ABCD内随机取一点,那么此点取自阴影部分的概率等于.、.一0x2.变式22021年图考北京理设不等式组表小的平面区D.在区0y2域D内随机取一个点,那么此点到坐标原点的距离大于2的概率是A.一4C.一6D.44题型五相互独立事件发生概率计算事件A或B是否发生对事件B或A发生的概率没有影响,那么A、B叫做相互独PAPB计算.立事件,它们同时发生的事件为ABo用概率的乘法公式PAB例12021辽宁数学理现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答.I求张同学至少取到1道乙类题的概率；(II)所取的3道题中

12、有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是3,答对每道乙类题的概率都是4,且各题答对与否相互独立.用X表示张同学答对题的个数,求X的分布列和数学期望.例2(2021山东理)甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束,除第五局甲队获胜的概率是1外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是-,23假设各局比赛2果相互独立.(I)分别求甲队以3:0,3:1,3:2胜利的概率；(H)假设比赛结果为3:0或3:1,那么胜利方得3分,对方得0分;假设比赛结果为3:2,那么胜利方得2分、对方得1分.求乙队得分X的分布列及数学期望.变式1(2021年高考(山东理)先在甲、乙两个靶.

13、某射手向甲靶射击一次,命中的概率为3,命中得1分,没有命中得0分；向乙靶射击两次,每次命中的概率为2,每命中43一次得2分,没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.(I)求该射手恰好命中一次得的概率；(R)求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX.变式2(2021重庆理)(本小题总分值13分,(I)小问5分,(H)小问8分.)甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为-,乙每次投篮投中的概率为311,且各次投篮互不影响.2(I)求甲获胜的概率；(H)求投篮结束时甲的投篮次

14、数的分布列与期望题型六n次独立重复试验的概率-二项分布假设在n次重复试验中,每次试验结果的概率都不依赖其它各次试验的结果,那么此试验叫做n次独立重复试验.假设在1次试验中事件A发生的概率为P,那么在n次独立惩办试验中,事件A恰好发生k次的概率为PnkC；Pk1Pnk.高考结合实际应用问题考查n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率的计算方法和化归转化、分类讨论等数学思想方法的应用.例1【2021高考湖南,理18】某商场举行有奖促销活动,顾客购置一定金额商品后即可抽奖,每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球,在摸出的2个球中,假设都是红球,那

15、么获一等奖；假设只有1个红球,那么获二等奖；假设没有红球,那么不获奖.(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2)假设某顾客有3次抽奖时机,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X的分布列和数学期望.例2【2021辽宁理18(本小题总分值12分)一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.(1)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X的分布列,期望E(X)及方差D(X).变式1(

16、2021四川理)某居民小区有两个相互独立的平安防范系统(简称系统)A和B,系统A和B在任意时刻发生故障的概率分别为工和p.10(I)假设在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为49,求p的值；50(n)设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量,求的概率分布列及数学期望E.题型七离散型随变量概率分布列设离散型随机变量的分布列为它有下面性质：Pi0(i1,2,)P1P2Pi1,即总概率为1；期望Ex1PlXiP；方差D函E)2P1(E)2P离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和高考常结合应用问题对随机变量概率分布列及其性质的应用进行考查.例题1(2

17、021天津理)某射手每次射击击中目标的概率是2,且各次射击的结果互不影3响.(I)假设这名射手射击5次,求恰有2次击中目标的概率(H)假设这名射手射击5次,求有3次连续击中目标.另外2次未击中目标的概率；(田)假设这名射手射击3次,每次射击,击中目标得1分,未击中目标得0分,在3次射击中,假设有2次连续击中,而另外1次未击中,那么额外加1分；假设3次全击中,那么额外加3分,记为射手射击3次后的总的分数,求的分布列.题型八标准正态分布例(2021年高考湖北卷(理)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N800,502的随机变量.记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为P0.(I

18、)求P0的值;(参考数据：假设X:N,2,有PX0.6826P2X20.9544,P3X30.9974.)(II)某客运公司用A.B两种型号的车辆承当甲.乙两地间的长途客运业务,每车每天往返一次,A.B两种车辆的载客量分别为36人和60人,从甲地去乙地的运营本钱分别为1600元/辆和2400元/辆.公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队,并要求B型车不多于A型车7辆.假设每天要以不小于Po的概率运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地的运营本钱最小,那么应配备A型车.B型车各多少辆变式112021高考湖北,理4】设X:N(1,12),Y:N(2,；),这两个正态分布密度曲线如下图.以下结论

19、中正确的选项是()A.P(Y2)P(Y1)B.P(X2)P(X1)C.对任意正数t,P(Xt)P(Yt)D.对任意正数t,P(Xt)P(Yt)变式2【2021高考山东,理8】某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N0,32,从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为()(附：假设随机变量己服从正态分布N68.26%,(A) %95.44%.)(B) %(C) %(D) %题型九线性回归分析例1【2021年全国新课标H理19】本小题总分值12分某地区2007年至2021年农村居民家庭纯收入y单位：千元的数据如下表:年份2007202120212021202120212021年份代号t1234567人均纯收入yI求y关于t的线性回归方程；tiII利用I中的回归方程,分析2007年至2021年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2021年农村居民家庭人均纯收入.V附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:ti<?例2【2021年重庆卷理03】变量x与y正相关,且由观测数据算得样本平均数x3,y3.5,那么由观测的数据得线性回归