递推数列求通项公式的典型方法

1、an解：原递推式可化为：ii贝Ua2=ai+-,i2iia4=a3+，),34逐项相加得：an=ai,i2、anian=g(n)型累积法：ananana2ai.ai例2:已知数列an满足an-=nnN*,ana1二i.anan+an>0,an1_nann1an(a2-ai)p-qan二：p-1ian+2,所2递推数列求通项公式的典型方法1、an+i=an+f（n）型累加法：an=(an-an-i)+(an-i-an-2)+,+(a2-ai)+ai=f(n-i)+f(n-2)+,f(i)+ai例i已知数列an满足ai=i,an+i=an+2n(nCM),求an角单：an=(an-an-i)

2、+(an-i-an-2)+,+(a2-ai)+ai=2n-i+2n-2+,+2i+i=21-i(nCN*)i例在数列an中，a=3,an噌=an+，求通项公式n(n+i)iiani=an-；nniiia3-a2一23ii,an=an二-n-ini,i一.故an=4一nn所以.an=gn-ign-2gn-3.gia1解：an=包生<包4ananIai=n-in-2n-3.i=n-i!-an=n-1!nN22-例2设数列an是首项为1的正项数列，且（n+1）an+-nan+an由an=0（n=i,2,3,）,则它的通项公式是an=（2000年高考15题）.解：原递推式可化为：（n1询i-同心

3、ian）=0则曳,色二,包，三二上Jai2a23a34,anina1i逐项相乘得：=,即an=.ainn3. an41=pan+q型（p,q为常数）方法：（1）an书十一q-=pan十一q-，再根据等比数列的相关知识求p-1<P-1J（2） an+-an=pan-an）再用累加法求an.（3） 将=3十%，先用累加法求粤再求anpppp例3.已知Qn1的首项a1=a（a为常数），an=2an（nwN+,nA2）,求斗解设an九=2（an一九），贝U九=ian1=2an1:Qn+i为公比为2的等比数列。an1=a12nan=a1*2n-l-1ii题目：在数列an（不是常数数列）中，an=a

4、n+2且a1=，求数列an的通项公式.23i_i一i斛法：因为an由=an+2,所以，an=an/+2,所以，an书an=（anan），所以，数列222一iiiiiiian书an是公比为一的等比数列.又a2ai=一，所以十an=一（一），将2口由=一烝+2代26622ii1入上式可得an=4-（1）n.32评注这种方法叫做差分法.即由条件an41=pan+q（pq（p-i）#0）进行递推可得an=pan/+q,进一步可得an5an=p（an-an_i）,数列an+an是公比为p的等比数列，所以，an+-an=(a2-ai)pn'，再将an+=pan+q代入即可求得i解法一：所给数列对应

5、的特征万程为：x=x+2，所以，特征根为x=4.因为an4i=2,、，i一一iii以，an+4=（an-4），即数列an-4是公比为一的等比数列，又a1一4=一一，所223ii/i、n,ii,i、nT以，4-4=一一父（一）.故an=4父（一）.3232评注：这种方法叫做特征根法，因为p#i，所以满足x=px+q（叫做此数列对应的特征方程）的x存在，由an+=pan+q可得an由一x=（pan+q）-x=p（an-x），所以，数列an-x是以a1一x为首项，以p为公比的等比数列或各项均为0,于是再根据条件an-x=（a1-x）pn，所以,an=（a1-x）pn1x.1.11.1一1一一斛法二：

6、设an+人=5（an+九），即an书=3an九与已知an+=-an+2对比可得一万人=2,所1 1以，儿=乂.所以，可得为44=（an4）,即数列an4是公比为1的等比数列或者各项均为2 20.（下同解法二）.评注:这种方法通常叫做构造法.即由已知递推式的特点构造一个等比数列，再求通项公式.设an噂+九=p（an+K），与原递推数列进行对比可以建立方程，求数所设实数九的值即可得an书+八是以a1十九为首项，以p为公比的等比数列.以上三种方法虽然各不相同，但是它们有一点是共同的，即构造一个等比数列，这就是本题的实质所在.4. an+=pan+f（n押（p为常数）方法：变形得笔=，+邛?，则之；&

7、gt;可用累加法求出，由此求得为.pppp例4.已知&n）满足a1=2,an*=2an+2n*,求an解：nl=:+122手；>为等差数列。1=*n-1=n2n2an=n2n5. and2=pan+qan型（p,q为常数）方法：待定系数法设an七-苴=3-九an）构造等比数列例5.数列4中，a1=2,a2=3,且2an=an4+an41（neN+,n>2）,求为.2例右数列an中，4=3且2叶=2门（n是正整数），则匕的通项公式是an=（2002年上海高考题）.解由题意知a>0,将an41=a；两边取对数得lgan41=2lga，即旦更史=2,所以数列nn1nn1nl

8、gann12n2nlgan是以lg&=lg3为首项，公比为2的等比数列，lgan=lga1-2n=lg32,即an=32.8、平方（开方）法例8若数列an中，a=2且an=d3+211（n之2）,求它的通项公式是an.解将an=J'3+a；两边平方整理得a；a；,=3。数列a；是以a12=4为首项，3为公差的等差数列。a2=a12+（n-1）父3=3n+1。因为an>0,所以an=J3n+1。9、待定系数法待定系数法解题的关键是从策略上规范一个递推式可变成为何种等比数列，可以少走弯路.其变换的基本形式如下：1、an书=Aan+B（A、B为常数）型，可化为an+1十九=A（

9、an+九）的形式.S例9若数列an中，a1=1,Sn是数列an的前n项之和，且S（论1）,求数列an的通项公式是an.Sc解递推式Sn书=n可变形为一348nS设（1）式可化为一S1、=3()Sn6、取倒数法an1已知数列an中，其中a1=1,且当n>2时，an=一n,求通项公式an。2am1a111.一解将an=两边取倒数得：-=2,这说明一是2anI1anandan11r1一=1,公差为2,所以一=1+(n1)父2=2n1,即an=.a1an2n-1个等差数列，首项是7、取对数法1=34Sn（2）比较（1）式与（2）式的系数可得2=2,1一+2=3为首项，3为公比的等比数歹U。S1当

10、n之2,an=SnSn1_n3-231Sn-1则有,Sn.112=3(-Sn，一1一+2）。故数列+2是以Sn+2=33n/=3n。所以Sn1_n一2-23n32n-83n12°a1数列an的通项公式是an=-2332n-83n12(n=1)(n-2)2、an书=Aan+BCn（A、B、C为常数，下同）型，可化为an木十九-Cn+l=A（4十九Cn）的形式.例10在数列an中，a1=-1,an书=2an+4g：求通项公式an。解：原递推式可化为：an+人3n=2（an+九I）比较系数得九=-4,式即是：an+-43n=2（an4-3n）.则数列anan-43-43n二是一个等比数列，

11、其首项a1-4，31=-5,公比是2.即an=43n二52n二-52nJ.:迭代法。an=3an-1+1=3(3an-2+1)+1=32an-2+3M1+1=,=3。+3n-2工1+3、1+,3、an-B=Aan书十Ban型，可化为an书+通书=(A+?J，中十7间例11在数列an中，a1=一1,a2=2,当nwn,anq2=5an书-6an)的形式。求通项公式an.解:式可化为:3n.1+31+1=-2点评：(1)分析一中先猜测出前后两项差的关系，再用累加法求出通项；这种用不完全归纳法求出前几项再找规律的的方法，对所有求数列通项的题均适用，应培养归纳能力；(2)分析二中构造出新数列，由新数列

12、求出an的通项；(3)分析三使用迭代法，这也是由递推式求通项的基本方法。an2an1=(5)(an1an)比较系数得九=-3或K=-2,不妨取九=-2.式可化为：an2-2an1-3(an1-2an)则an.2an是一个等比数列，首项a22al=2-2(-1)=4,公比为3.n1an书2an=43.利用上题结果有：n-1n1an=43-524、an+=Aan+Bn+C型，可化为an书+%n+欠2=Aan+儿(n1)+九2的形式。本文将由此例题展开，对它进行各种变形,二、例题精讲力求归纳出由递推公式求通项公式的方法。例1.已知数列an中,ai=1,对任意自然数分析：由已知，a2一a1=,累力口,

13、2324n都有an=an+,求n(n1)2anoan_an_1n(n1)an-an_2=3例12在数列an中，&=一，2anan,=6n32=22n1an-avILn(n1)(n-1)n1+(n-1)n(n-2)(n-1)求通项公式an.解式可化为：2(加E-)=an(n-1)2点评：(1)例3由例1(2)递推式为an+1=an+f(n)中的常数项1变为,只要f(1)+f(2)+比较系数可得:(3)今年安徽题中也有这样一题：已知数列f(n)而得来；,+f(n-1)是可求的，可用累加法求出。an中a1=1,且a2k=a2k-1+(-1)k,a2k+1=a2k+3k,其中兀=-6,九2=9

14、,式为k=1,2,3,(1)求a3,a5(2)求数列an的通项公式。这是an+i=an+f(n)型的函数，只不过bn是一个等比数列，首项偶数项减奇数项与奇数项减偶数项的(4)运用类比推理的思想方法，把例类同。f(n)不同而已，依照上法，可以轻松求解。3与例1的形式进行比较后可看出类似之处，从而在方法上9/1n.bn=二(二)22对递推式为an+i=pan+q(p、q为常数)时，可构造新数列an+l+-q=p(an+q)。其证明的简略过p-1p-'1一1n即an-6n9=9(一)2程如下：由an+1=pan+q,令an+1+x=p(an+x),化简，得an+1=pan+px-x,因此px

15、-x=q,即x=。得P-1，,1.C故an=9(-)6n-9.2一、复习回顾引入问题：已知数列an满足分析一：归纳法。由递推公式，证。例2：已知数列an中,ai=1,an1-a,求anoan3a1=1,且an+1=3an+1,求an。可求出a2=4,a3=13,a4=40。则a2-a1=3=3：a3-a2=9=32,a4-a3=27=33o由此猜测：an-an-1=3n-1(可用数学归纳法证明)，所以an-1-an-2=3n-2,an-2-an-3=3n-3,a4-a3=3、a3-a2=3：3n-1a2-a1=3,把上式子累加，得，an-a1=3+3+3+,+3=，得an=。211分析：把两边

16、取倒数，可得1=3，1+1。令bnan1an1,则bn+1=3bn+1,即引入问题，按上法an可求解。点评：(1)转换问题，化成基本型后求解(运用反思维定势定势方法中的转移思维方法)分析二：构造法。由an+1=3an+1,得an+1+=3(an+1),即数列an+1为一个公比为3的等比数列，则an+l=(1+1)-3n-1=3-。222(2)对分式型递推数列可归纳如下：设ai=a,an*=%上d(a¥0)aanb例5.已知数列an满足an42一5an中+6an=0,且a=1,a2=5,且满足，求an.解：令an卡xan+=y(an+-xan),即an也(x+y)an41+xyan=0

17、,与已知若d=0,则上式变形为L=B，十号，令0=1，则bn=b，bn+a,即基本型。a11cancancc若d,cw0,且bcwad,令an=bn+t(t为待定系数)转化为情形。an425an+1+6an=0比较，则有'x+y=5故，xy=6x=2或1y=3(x=3、y=23例3.在数列a。中，ai=,2anan=6n3,求通项an.2解：原递推式可化为2(anxny)=an-x(n-1)-y比较系数可得：x=-6,y=9,上式即为2bn=bnx=2-下面我们取其中一组来运算，即有an+2-2an41=3(an+1-2an),J=3则数列an+-2an是以a2-2a1=3为首项，3为

18、公比的等比数列，故an412an=3，3n=3n,即an41=2an+3n,利用类型的方法，可得即：之卜21(马pqpq然后类型1,累加求通项.ii.两边同除以qn书.即：“一a令bn=七，则可化为bn由=q九，转化为等比数列求通项所以bn是一个等比数列，首项bi=ai-6n+9=-,公比为-.22bn=9(1)nA即：an6n+9=9(3n222一1故an=9(-)6n-9.2(2)若f(n)=qn(其中q是常数，且n=0,1)若p=i时，即：an4i=an+qn,累加即可若p#1时，即：an+=p，an+qn,求通项方法有以下三种方向：i.两边同除以pn*.令bn=0-,则-bn='

19、;()nppqan1二Ea.1n1n,qqqq,bn+-.然后转化为类型5来解，qiii.待定系数法:设an书+%d*=p(an十九'pn).通过比较系数，求出形如an+=pan+qan4其中p,q为常数)型(1)当p+q=1时用转化法例4.数列an中，若a1=8,a2=2,且满足an七4an+3an=0,求an.解：把an电-4an+3an=0变形为an七一an+=3(an+-an).则数列On书-an是以a2-a1=-6为首项，3为公比的等比数列，则an=3n-2n.评注：形如an也=aan书+ban的递推数列，我们通常采用两次类型(5)的方法来求解，但这种方法比较复杂，我们采用特

20、征根的方法：设方程(x-a)x=b的二根为a,P，设an=p0n+q'Pn,再利用a1,a2的值求得p,q的值即可.形如an41=pa：(其中p,r为常数)型(1) p>0,an>0用对数法.例6.设正项数列GJ满足a1=1,an=2a3(n>2).求数列QJ的通项公式.解：两边取对数得：logan=1+2log；n，lo&n+1=2(loga+1),设bn=lon+1,则1n1n_1bn=2bn/，是以2为公比的等比数列，b=log2+1=1，=1父2=2,an1an_12n-1log2n+1=2，10g2n=2-1,an=2练习数列Gn中，a1=1,an=

21、2yan_i(n>2),求数列an的通项公式.qq2_n答案：an=2(2) p<0时用迭代法.课堂小结：学生的体会是多方面、多角度的，因此小结内容也很灵活。知识方面：数列的概念、数列的通项公式能力方面：掌握研究问题的一般方法，主要有：观察、发现、归纳、总结、类比思考问题：是否每一个数列都能写出它的通项公式？每一个数列的通项公式是否唯一？根据前n项写出的不同形式的通项公式所确定的数列是否是相同的？求递推数列通项公式是数列知识的一个重点，也是一个难点，高考也往往通过考查递推数列来考查学生对知识的探索能力，求递推数列的通项公式一般是将递推公式变形，推得原数列是一种特殊的数列或原数列的项

22、的某种组合是一种特殊数列，把一些较难处理的数列问题化为中学中所研究的等差或等比数列。利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值，下面介绍一下利用构造法求递推数列的通项公式的方法和策略.、构造等差数列法an+an=-63n"利用类型6的方法可得an=113n.(2)当p2+4q之0时用待定系数法.例1.在数列an中，a1=3,nane=(n+2)an+2n(n+1)(n+2),求通项公式为。解：对原递推式两边同除以n(n+1)(n+2)可得：an1(n2)(n1)-+2(n1)na式可化为上=2,则数列bn是以b1=lgana121,22一、-尸=lg匚=2lgJ2+1)为

23、首项,a1-22-、2令bn(n1)n公比为2的等比数歹U,是bn=21g(J2+1)X2n/=2n1g(J2+1)，代入式得:a43n则即为bn书=bn+2,则数列bn为首项是b1=1=,公差是6中、=2的等(J2+1)2,解得an(1+1)X12',n何1尸+1为所求。321)2n-131-1差数列，因而bn=+2(n-1)=2n-，代入式中得an=n(n+1)(4n-1)。222故所求的通项公式是2.an1=Aan+B(A、B为常数)型递推式可构造为形如1ann(n1)(4n-1)2an41+九=A(an+儿)的等比数列J。、构造等比数列法1.定义构造法利用等比数列的定义q=更吐

24、，通过变换，构造等比数列的方法。an例2.设在数列an中，a1=2,同二2,求an的通项公式。2an解：将原递推式变形为an+及=(an'2)22an;回2an/得:an12an1an22=:an-2aj2a-2即lg咄一2二2lg亘一an1-2an-2an2“1g例3.已知数列an,其中a1=1,an书=3an+2,求通项公式an。解：原递推式可化为：an41+1=3(an+1),则数列an的等比数列，于是an+1=(a1+1)x3n/=2x3n，故anann3an书AanB.C(A可构造为形如an+九Cn书例4.已知数列an,其中.1解：将原递推变形为an-1得bn+=-3bn+2

25、na1设式可化为bn书十九2"数列bnn：!l112二一班一5-2n是一个以所以bn-25_5a2n-(-3)n+1是以a1+1=2为首项，公比为3_n1i=2X31。B、C为常数，下同)型递推式=A(an+九Cn)的等比数列。=1,且an+1=an2n-an-3,求通项公式ano3c1+2，设bn=。=3(bn+九2n)，比较得九=11,1于是有52n)21=V为首项，公比是一3的等比数歹U。5=2(-3广即bn5为所求。n1n2n(3)n，代入式中得:54.an+=Aan+Bn+C型递推式可构造为形如an书+%n+九2=Aan+3(n1)+九2的等比数列。3,一一,例5.在数列a

26、n中，a1=-,2anan=6n3,求通项公式an。2解：原递推式可化为2(an+九1n+九2)=an+九1(n-1)+入2，比较系数可得：儿=一6,K2=9,上式即为2bn=bn，bn是一个等比数列，首项b1=a1一6n914=9,公比为L2291所以bn-|(1)nJoaa1斛：(1)nan+)=(n+1)an+1=+n1nn(n1)an1令bn=，则灯=a1=1,bn+)=bn+nn(n1)本题用n(n+1)除递推式两边，再进行变量代换，就可转化为“1可信bn=2-一一an=nbn=2n1nan+1=an+f(n)型”，(2)递推式两边同除以2n，得粤=帮(1)n,就可转化为“an+1=

27、an+f(n)型”，当2n22然，也可以在递推式两边同除以(_1)n,得力=生！-1即三=_2,三工-1,()(-1)n(-1)n(-1)n(1)1一，1、n-1n即an-6n+9=9(一)n,故an=9(一)n+6n-9为所求。22三、函数构造法对于某些比较复杂的递推式，通过分析结构，联想到与该递推式结构相同或相近的公式、函数,再构造“桥函数”来求出所给的递推数列的通项公式的方法。例6.在数列an中，a1=1,an+=a；-3an,求通项公式an。分析：首先考虑所给递推式与公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的联系。则可转化为“an+=pQ+q型”，所以得an=112n+(1)田

28、31.、(3)递推式两边同取对数，得lgan一lgan=一(lgan_i一lgan)2令bn=lgan+lgan，则b二lga2lga二1bn=lgan1-lgann_11,二bn_2(n=3,4,5,)2I=102,已转化为“1n1bn=(-)n-1(n=1,2,3)an书=an-f(n)型”，由累乘相消法可解：设a1=x+x，,则a2=a；3al=(x+x,)33(x+x,)=x3+x二同理992727a3=x+x,a4=x+x,。a二一.、得=1010210410a1(fn，=10：2=anQ0Q0Q1q1Q2q2Q3q3即a1=x+x,a2=x+x,a3=x+x,x4=x+x,猜想”1

29、Qn1_.an=x3+x。下面用数学归纳法加以证明(证明略)。由于,rr二，-3±5a1=1,即x+x=1,解得x=,2是an=(3士、.5转化为常见类举求解：例2设数列4满足下列条件，试求各通项:(1)(2)(3)a1=1,同1=(n1)an1(n=1,2,3)a=1自=2an,(-1)n1(n=2,3,4)Ia=1包=10，2-=i佟jn=3,4,5)an4根据上述的介绍，下面问题你能解决吗？练习：设数列QJ满足下列条件，试求各通项：(1)a1=0®=羯=+2(n=2,3,4-)(2)a1=a,an1an=n(n=1,2,3)(3)4=1,(n2)(an1)=nanr(

30、n=1,2,3)(4)a1三1,an-an=同_冏(-2,3,4)(5)司=1,a。=3n"-2an(n=2,3,4)(6)-=00=1,an2=3anr-271(n=1,2,3,)(7)4=7,an1=5%23n1-4(n=1,2,3,)4一a.(8)a1=1,an=(nu2,3,4;)3-an（6）型如：至=（用迭乘法）an例7、已知an由=*an,求ann1专题二由递推公式求通项的技巧（1） 递推式为：an+i=an+f（n）型,，（用迭加法）11,、例1、已知an中ai=,an4=an+2一，求an24n-1（2） 递推式为：an+i=pan+q型（p,q为常数）”（用特征根

31、法转化成等比数列）例2、an中，a=1，对于nWN,有an+=3an+2,求an（3） 递推式为：an+i=pan+qn型（P,q为常数）,（同除qn或qn+1,再用特征根法转化成等比数列）例3、an中，a=5，对于nwN有an+=1an+（1）n*,求an632（4） 递推式为：an+2=pan+i+qan型（p,q为常数）,（变行为：an+2-aan+1=3（an+i-aan）2 1例4、aJ中，a1=1色=2,有an丑=-an+十二an,求an3 3型如：an，an书=tn（此类题把an分成奇数项与偶数项）1例8、已知an中，a1=1,an、an+）是方程x-bnx十一=0勺两根,3n求

32、an的通项（2）bn的前n项和Tn的极限（8）双递推-同一个题中，出现两个递推式（用“减少变量”法）例9、已知数列为a0,bn>0,小、42、an书成等差；2、an.、bn成等比,且8=1,b1=,2，分别求出an,bn的通项(5)递推式为sn与an的关系式：此类型可利用an=四(n=1/nnn1-LSnSn.(n2)例5、设an中，an+=Sn+门+1©=2,求Hn例10已知an、bn满足W=1,bi=2,an、bn、an大成等比,bn、an+、bn+成等差,分别求出an、bn的通项12r、例6、已知an中，Sn为其刖n项的和，且Sn=（an+1），求an4递推数列求通项公式

33、的基本类型及其对策高中数学递推数列通项公式的求解，在高考中娄见不鲜，其丰富的内涵及培养学生思维逻辑性具有较高的价值，同时对于培养学生的归纳推理能力也具有十分重要的意义，下面就递推数列求通项的基本类型作一个归纳，以供读者参考。an-anL=f(n)或=g(n)型类型一、an对策：利用迭加或迭乘方法，即：bn-1（II）由（I）得4121ani-an=1即42nnanananian=（anan）十（anan/）+（3ai）+ai或anan.2a2aiai例1、(2006年山东高考文科)已知数列an中,ai点(n,2an书一an)在直线.31an.-an-由：an-（an一an_1）（an一an_2

34、）（a2-ai）ain_21一nJJ；n-2类型二、Sn=f(an)型对策：巧用anW（n=i）&-&5一2）y=x上，其中n=i,2,3,.(I)令bn=a-an-1,求证数列£bn一等比数列;(H)求数列an粕通项；例2、(2007年福建高考文科)数列an的前N项和为Sn,ai=1,an+i=2Sn(nCN*).求数列an的通项3n。解析：（I）.an+i=2Sn,-Sn+1-Sn=2Sn,解析：(I);点(n,2an+-an)在直线y=X上.2ani-an=nSniSn=3.,2anan/=nT电一彳导:2an书3an+anU=1Z.又1->S1=a1=i

35、,数列&是首项为1、公比为3的等比数列，S1=3n-1(nN*).当n之2时，an-2Sn-i=2-3n-2（n之2）,又bn=an书-an-ibn=1bn21,n=1,n>2.-a,23Tan=a2而2a2=ai1得类型三、an=panqq（pq=0）型bi，数歹Ubn是以首项为=a2-ai-i=-34,公比为12的等比数列q.q、.qan'-P(anA')an'对策：等价转化为：P1P-1从而化为等比数列P1,并且该a1数列以p-1为首项，公比为p解析：:点（n,2a叶一小）在直线y=x上.2an中一an=n"例3、（2006年福建高考理科）

36、已知数列Qn满足a=1,an书=2an+1（nN）.求数列an的通项公式.解：an1.-2an1(nN),.斗.11=2(41)，'an是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列.an1=2.即an=2-1(nN).1an1x(n1)y=-(annxy)令2,可化为:2an+an+xn+2x+y=0与比较系数得x=1,y=2an1-(n1)2可化为：1=2(an-n2)变式1：an二panrqn(pqr=0)型an1n1-n2=(-)n-1(a1-12)对策：（1）若anan一二rrnn1p=q,则化为qqai，从而化为以q为首项，公差等于r的等差数列qan1n-2(2)若pwq,an

37、n则化为qpanrn1qq,进而转化为类型三求通项pan例4、已知数列an满足an=4an二+2n(n之2,nN*),且a1=2.求及a0an1-变式3、qan+r型解析:=4an12nan2nan二2”1？n对策：取侄数后得a1an2n,则bn1=2(bn工1)例6、已知数列an满足an1二a1=1,bb1=曳1=2'n+1是以首项为2,公比为2的等比数列3an,一,1二.A解析：由3an6,得an-1bn1=2n即：an12non得数列an的通项公式为%=2-2变式2：an=pan4qnr(pq=O)型an+xn+y=p(an二十xn+y)再化为an+xn+y=pani+（p1）x

38、n十（pDy,对照系数，解出x,y,进而转化为类型三例5、题见例1（2006山东高考文科）化为类型三3an3an6an11=2（1）an,以下请读者解决。变式4：an=pa：_1(pA0)型若p=1,则等式两边取常用对数或自然对数，化为:比为r的等比数列lgan,所以lgan=rn"lga，得lgan=rlgan_1,得到首项为幻为，公rnan=a1若pW1,则等式两边取以p为底的对数得：lgpan=1gpan-1+1,转为类型三求通项。例7、（06年石家庄模拟）若数列中，&=3且an+=a；（n为正整数），则数列的通项公式为2解析：:an¥=及0=3知an之3,两

39、边取对常用对数得:_1an1-an-1=(an-an_11)一得：2an+13anan_1_124,公比为2的等比数列lgan+=2lgan.lgan是以首项为lga1=lg3,公比为2的等比数列。a2-a1-1=-数列an-an_1-1是以首项为nJ2lgan=2lg3.an=3以下同例1（II）求通项an变式5、an1pan=qan.1an(pq=0*类型四、奇偶项型对策：两端除以an书an得：an对策一：求出奇数项（或偶数项）的递推关系，再对应以上方法求解。例10（2005年高考北京卷改编）设数列an的首项（1）若P=-1,则构成以首项为a1,公差为一q的等差数列an；例8、（07保定摸

40、底）已知数列an满足a1=1,n至2时，an-an=2anan,求通项公式ano-an,n为偶数21an+-，n为奇数4，求an解：;an1-an=24向1二2anan.,数列an是以首项11a1,公差为2的等差数列解：若,an1n为偶数，则12an112/4)=anan=12(n-1)=2n-111曰a2n-1=_a2n_1二即28a?n+-T=(a2n/2nU3,4an2n-1（2）若P*-1,转化为类型三求解。变式6：an+=pan+qan,(pq#0)型对策：等彳转化为小书+Xan=丫包+X%4）,利用与小木=Pan+qan二恒等求出x,y得到a2n-1=11(a)-44等比数列an书

41、*Xan,得an由*Xan=f（n）,进而化为变式2类型若n为奇数，则1二an-12例9、题见例1（2006山东高考文科）解析：二.点（n,2an+-为）在直线y=x上a2n即2n=2a2nqa2n.2anan7=n-12nTn-1(a2-)2(22)nan_a1-3,.*、1=0，an书=T=(n匚N),人a20-3an1'32-3、3,a3=3,a4=01+1,因此数列51a#=-一，两边同时减2an1221,n为奇数4对策二：an+'an=pqn(pq*0)型，这种类型一般可转化为a2n与a2n是等差或等比数列。例11、在数列an中，al=1anan书=2,求annnT解

42、：由anan由=2,得为+为士二2an2Q=2两式相除得：an,，电门力与电”均为公比为2的等比数列，易求得:-n12h,n为奇数anin、2万，n为偶数类型五、周期型例12、(2005年高考湖南卷)已知数列an满足()A.0B.一、'3C.、3D.a1-3a1a1=0,an1a2一略解：由v3an*1，得中;是以3为周期的数列，所以a20=a2=一石，选B探究递推公式为分式型数列的通项问题AaB对于形如递推公式为a=a(C0,ADBC=0)的数列an,这类问题有一CanD般性的公式解法，通常用特征方程求不动点，即先求解递推公式所对应的特征方程，求出不动点，然后再解。虽然这类题本身有特

43、征方程求不动点等的知识背景，但高考题并不考，也不依赖于这知识，从所给的标准答案来看，其立意在于将递推数列求通项问题转化为已知数列的已知知识来解决，即转化为等差数列或等比数列来解决。那么，有没有不用高等数学知识，而只用高中数学知识的方法？这类问题是否存在通项公式？若存在又怎么来求？下面通过具体例子介绍一种方法，仅供参考！例题例题1：(2010年全国高考数学理科第22题)已知数列an中，a1=1,an41=c-an(I)设c=性，bn=1,求数列bn的通项公式;2an-2(n)求使不等式anvan由<3成立的c的取值范围.分析：(I)题目已经明确告诉学生要构造：2的倒数，也就是说在51a&#

44、176;2142得：an由一2=一一2=一，再倒数即：=+2,亦即bn+=4bn+2,下2an2anan1-2an-22221一步再变形：bn由+=4.bn+,所以<bn+>是首项为一一，公比为4的等比数列，进而可3.3.33求出数列bn的通项公式。(n)略例题2:(2008年全国高考数学陕西卷理科第22题)已知数列an的首项a1=-,an七=3一，n=1,2,352an1(i)求an的通项公式；.11'2"(11)证明：对任息的x>0,an>-X,n=1,2,31n1+x(1+x)213nJ2(通)证明：aI+a2+1"+an>n1分

45、析:（i）由a"=0J两边同时加上儿，得an.+九=（3+2问+2玛1n12an1可令:3x4x二2x3倒数得24132an1一工32(211则（1）32,an232,+2;,1式可化为一1一bn1x3-2x2x3bnx2x3(2)an-32,由方程3x4x二2x3得x=±J2；不妨取x=J2（目的使分母成“an+九”型）；得九=0,或九=1,不妨取九=0,于是有1an1贝U(2)式可变为32.2bnJ-、23-22bn-"23-2.23an,变形1=1an1312为公比的等比数列。于是：有-12an3又工-1=2,所以，数列|.1,1l是以2为首项,现3烝312/曰3n=n"，倚an=n33n3n2即:bn1-2=(我十1)4它是形如“an1二pan十2(72+1)2q”的式子；易求bn-一2=2.2（ii）略例题3:（2007年全国高考数学理科试卷第22题）：4n_2-1已知：数列圆中，a=2,an书=(J21XK+J2),n=1,2,3(i)求Qn的通项公式；(n)若数列>中匕=2,bn卅=3+4,n=1,2,32bn3证明：J2bnwa4n工，n=1,2,3分析：(I)由题