小学数学奥数方法讲义之-分解质因数法_通用版

1、.第三十一讲 分解质因数法 通过把一个合数分解为两个或两个以上质因数，来解容许用题的解题方法叫做分解质因数法。分解质因数的方法在求最大公约数和最小公倍数时有用，在学习有理数的运算、因式分解、解方程等方面也有广泛的应用。分解质因数的方法还可为一些数学问题提供新颖的解法，有益于开拓解题思路，启迪创造性思维。例1 一块正方体木块，体积是1331立方厘米。这块正方体木块的棱长是多少厘米？适于六年级程度解：把1331分解质因数：1331=11×11×11答：这块正方体木块的棱长是11厘米。例2 一个数的平方等于324，求这个数。适于六年级程度解：把324分解质因数：324= 2

2、15;2×3×3×3×3=2×3×3×2×3×3=18×18答：这个数是18。例3 相邻两个自然数的最小公倍数是462，求这两个数。适于六年级程度解：把462分解质因数：462=2×3×7×11=3×7×2×11=21×22答：这两个数是21和22。*例4 ABC×D=1673，在这个乘法算式中，A、B、C、D代表不同的数字，ABC是一个三位数。求ABC代表什么数？适于六年级程度解：因为ABC×D=1673

3、，ABC是一个三位数，所以可把1673分解质因数，然后把质因数组合成一个三位数与另一个数相乘的形式，这个三位数就是ABC所代表的数。1673=239×7答：ABC代表239。例5 一块正方形田地，面积是2304平方米，这块田地的周长是多少米？适于六年级程度解：先把2304分解质因数，并把分解后所得的质因数分成积一样的两组质因数，每组质因数的积就是正方形的边长。2304=2×2×2×2×2×2×2×2×3×3=2×2×2×2×3×2×2&

4、#215;2×2×3=48×48正方形的边长是48米。这块田地的周长是：48×4=192米答略。*例6 有3250个桔子，平均分给一个幼儿园的小朋友，剩下10个。每一名小朋友分得的桔子数接近40个。求这个幼儿园有多少名小朋友？适于六年级程度解：3250-10=3240个把3240分解质因数：3240=23×34×5接近40的数有36、37、38、39这些数中36=22×32，所以只有36是3240的约数。23×34×5÷22×32=2×32×5=90答：这个幼儿园有

5、90名小朋友。*例7 105的约数共有几个？适于六年级程度解：求一个给定的自然数的约数的个数，可先将这个数分解质因数，然后按一个质数、两个质数、三个质数的乘积逐一由小到大写出，再求出它的个数即可。因为，105=3×5×7，所以，含有一个质数的约数有1、3、5、7共4个；含有两个质数的乘积的约数有3×5、3×7、5×7共3个；含有三个质数的乘积的约数有3×5×7共1个。所以，105的约数共有4+3+1=8个。答略。*例8 把15、22、30、35、39、44、52、77、91这九个数平均分成三组，使每组三个数的乘积都相等。这三

6、组数分别是多少？适于六年级程度解：将这九个数分别分解质因数：15=3×522=2×1130=2×3×535=5×739=3×1344=2×2×1152=2×2×1377=7×1191=7×13观察上面九个数的质因数，不难看出，九个数的质因数中共有六个2，三个3，三个5，三个7，三个11，三个13，这样每组中三个数应包括的质因数有两个2，一个3，一个5，一个7，一个11和一个13。由以上观察分析可得这三组数分别是：15、52和77；22、30和91；35、39和44。答略。*例

7、9 有四个学生，他们的年龄恰好一个比一个大一岁，他们的年龄数相乘的积是5040。四个学生的年龄分别是几岁？适于六年级程度解：把5040分解质因数：5040=2×2×2×2×3×3×5×7由于四个学生的年龄一个比一个大1岁，所以他们的年龄数就是四个连续自然数。用八个质因数表示四个连续自然数是：7，2×2×2，3×3，2×5即四个学生的年龄分别是7岁、8岁、9岁、10岁。答略。*例10 在等式35×    ×81×27=7

8、5;18×    ×162的两个括号中，填上适当的最小的数。适于六年级程度解：将等式的两边分解质因数，得：5×37×7×    =22×36×7×    把上面的等式化简，得：15×    =4×    所以，在左边的括号内填4，在右边的括号内填15。15×4=4×15答略。*例11 把84名学生分成人数相等的小组每组最少2人，

9、一共有几种分法？适于六年级程度解：把84分解质因数：84=2×2×3×7除了1和84外，84的约数有：2，3，7，2×2=4，2×3=6，2×7=14，3×7=21，2×2×3=12，2×2×7=28，2×3×7=42。下面可根据不同的约数进展分组。84÷2=42组，84÷3=28组，84÷4=21组，84÷6=14组，84÷7=12组，84÷12=7组，84÷14=6组，84÷21=4

10、组，84÷28=3组，84÷42=2组。因此每组2人分42组；每组3人分28组；每组4人分21组；每组6人分14组；每组7人分12组；每组12人分7组；每组14人分6组；每组21人分4组；每组28人分3组；每组42人分2组。一共有10种分法。答略。*例12 把14、30、33、75、143、169、4445、4953这八个数分成两组，每组四个数，要使各组数中四个数的乘积相等。求这两组数。适于六年级程度解：要使两组数的乘积相等，这两组乘积中的每个因数不必一样，但这些因数经分解质因数，它们所含有的质因数一定一样。因此，首先应把八个数分解质因数。14=2×7 

11、       143=11×1330=2×3×5    169=13×1333=3×11       4445=5×7×12775=3×5×5    4953=3×13×127在上面的质因式中，质因数2、7、11、127各有2个，质因数3、5、13各有4个。在把题中的八个数分为两组时，应使每一组中的质因数2、

12、7、11、127各有1个，质因数3、5、13各有2个。按这个要求每一组四个数的积应是：2×7×11×127×3×3×5×5×13×13因为，2×7×3×5×5×11×13×3×13×127=14×75×143×4953，根据接下来为“14、75、143、4953正符合题意，因此，要求的一组数是14、75、143、4953，另一组的四个数是：30、33、169、4445。答略。*例13 一

13、个长方形的面积是315平方厘米，长比宽多6厘米。求这个长方形的长和宽。适于五年级程度解：设长方形的宽为x厘米，那么长为x+6厘米。根据题意列方程，得：xx+6= 315xx+6=3×3×5×7=3×5×3×7xx+6=15×21xx+6=15×15+6x=15x+6=21答：这个长方形的长是21厘米，宽是15厘米。*例14 三个连续自然数的积为210，求这三个自然数各是多少？适于五年级程度解：设这三个连续自然数分别是x-1，x，x+1，根据题意列方程，得：x-1×x×x+1=210=21

14、5;10=3×7×2×5=5×6×7比较方程两边的因数，得：x=6，x-1=5，x+1=7。答：这三个连续自然数分别是5、6、7。*例15 将37分为甲、乙、丙三个数，使甲、乙、丙三个数的乘积为1440，并且甲、乙两数的积比丙数的3倍多12，求甲、乙、丙各是几？适于六年级程度解：把1440分解质因数：1440= 12×12×10=2×2×3×2×2×3×2×5=2×2×2×3×3×2×2×5=8×9×20假如甲、乙二数分别是8、9，丙数是20，那么：8×9=72，20×3+12=72正符合题中条件。答：甲、乙、丙三个数分别是8、9、20。*例16 一个星期天的早晨，母亲对孩子们说：“你们是否发如今你们中间，大哥的年龄等于两个弟弟年龄之和？儿子们齐声答复说：“是的，我们的年龄和您年龄的乘积，等于您儿子人数的立方乘以1000加上您儿子人数的平方乘以10。从这次谈话中，你能否确定母亲在多大时，才生下第二个儿子？适于六年级程度解：由题